Ableiten üben

Theorem 1: Ableitungsregeln
Grundregelnf(x)f′(x)Potenzregelxn=n⋅xn−1Faktorregelc⋅u(x)=c⋅u′(x)Summenregelu(x)+v(x)=u′(x)+v′(x)Produktregelu(x)⋅v(x)=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)Quotientenregelu(x)v(x)=u′(x)⋅v(x)−u(x)⋅v′(x)(v(x))2Kettenregelg(h(x))=g′(h(x))⋅h′(x)\begin{array}{|l|rcl|}\hline \textbf{Grundregeln} & f(x) & & f'(x) \\[0.2em] \hline \text{Potenzregel} & x^n &=& n \cdot x^{n-1} \\[0.2em] \text{Faktorregel} & c \cdot u(x) &=& c \cdot u'(x) \\[0.2em] \text{Summenregel} & u(x) + v(x) &=& u'(x) + v'(x) \\[0.2em] \text{Produktregel} & u(x) \cdot v(x) &=& u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \\[0.4em] \text{Quotientenregel} & \frac{u(x)}{v(x)} &=& \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2} \\[0.6em] \text{Kettenregel} & g(h(x)) &=& g'(h(x)) \cdot h'(x) \\ \hline \end{array}Spezielle Funktionenf(x)f′(x)e-Funktionex=exNat. Logarithmusln⁡(x)=1xSinussin⁡(x)=cos⁡(x)Kosinuscos⁡(x)=−sin⁡(x)\begin{array}{|l|rcl|}\hline \textbf{Spezielle Funktionen} & f(x) & & f'(x) \\[0.2em] \hline \text{e-Funktion} & e^x &=& e^x \\[0.2em] \text{Nat. Logarithmus} & \ln(x) &=& \frac{1}{x} \\[0.4em] \text{Sinus} & \sin(x) &=& \cos(x) \\[0.2em] \text{Kosinus} & \cos(x) &=& -\sin(x) \\\hline \end{array}
Note 1

Fürs Ableiten, forme Terme mit Wurzeln oder xx im Nenner immer zuerst in Potenzen um, bevor du die Regeln anwendest:

  • xmn=xmn\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}
  • 1xn=x−n\frac{1}{x^n} = x^{-n}
Exercise 1

Bilde die erste Ableitung f′(x)f'(x)

  1. f(x)=x6−4x3+12f(x) = x^6 - 4x^3 + 12

  2. f(x)=5x2f(x) = \frac{5}{x^2}

  3. f(x)=2xf(x) = 2\sqrt{x}

  4. f(x)=sin⁡(4x)f(x) = \sin(4x)

  5. f(x)=e3x−2f(x) = e^{3x-2}

  6. f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln(x^2 + 1)

  7. f(x)=x⋅exf(x) = x \cdot e^x

  8. f(x)=cos⁡(5x+π)f(x) = \cos(5x + \pi)

  9. f(x)=(2x+5)4f(x) = (2x + 5)^4

  10. f(x)=1x2+3f(x) = \frac{1}{x^2 + 3}

  11. f(x)=3⋅x3f(x) = 3 \cdot \sqrt[3]{x}

  12. f(x)=12ex2f(x) = \frac{1}{2} e^{x^2}

  13. f(x)=ln⁡(5x)f(x) = \ln(5x)

  14. f(x)=x2−1xf(x) = \frac{x^2 - 1}{x}

  15. f(x)=4⋅sin⁡2(x)f(x) = 4 \cdot \sin^2(x)

  16. f(x)=5e−xf(x) = 5e^{-x}

  17. f(x)=2x+3f(x) = \sqrt{2x + 3}

  18. f(x)=x2⋅sin⁡(x)f(x) = x^2 \cdot \sin(x)

  19. f(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)f(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

  20. f(x)=34x3f(x) = \frac{3}{4x^3}

Solution
  1. f′(x)=6x5−12x2f'(x) = 6x^5 - 12x^2
  2. f(x)=5x−2⇒f′(x)=−10x−3=−10x3f(x) = 5x^{-2} \Rightarrow f'(x) = -10x^{-3} = -\frac{10}{x^3}
  3. f(x)=2x1/2⇒f′(x)=x−1/2=1xf(x) = 2x^{1/2} \Rightarrow f'(x) = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}
  4. f′(x)=4cos⁡(4x)f'(x) = 4\cos(4x)
  5. f′(x)=3e3x−2f'(x) = 3e^{3x-2}
  6. f′(x)=2xx2+1f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}
  7. f′(x)=1⋅ex+x⋅ex=(1+x)exf'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x
  8. f′(x)=−5sin⁡(5x+π)f'(x) = -5\sin(5x + \pi)
  9. f′(x)=4(2x+5)3⋅2=8(2x+5)3f'(x) = 4(2x+5)^3 \cdot 2 = 8(2x+5)^3
  10. f(x)=(x2+3)−1⇒f′(x)=−(x2+3)−2⋅2x=−2x(x2+3)2f(x) = (x^2+3)^{-1} \Rightarrow f'(x) = -(x^2+3)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2+3)^2}
  11. f(x)=3x1/3⇒f′(x)=x−2/3=1x23f(x) = 3x^{1/3} \Rightarrow f'(x) = x^{-2/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}
  12. f′(x)=12ex2⋅2x=x⋅ex2f'(x) = \frac{1}{2} e^{x^2} \cdot 2x = x \cdot e^{x^2}
  13. f′(x)=15x⋅5=1xf'(x) = \frac{1}{5x} \cdot 5 = \frac{1}{x}
  14. f(x)=x−1x⇒f′(x)=1+1x2f(x) = x - \frac{1}{x} \Rightarrow f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2}
  15. f′(x)=4⋅2sin⁡(x)⋅cos⁡(x)=8sin⁡(x)cos⁡(x)f'(x) = 4 \cdot 2\sin(x) \cdot \cos(x) = 8\sin(x)\cos(x)
  16. f′(x)=−5e−xf'(x) = -5e^{-x}
  17. f(x)=(2x+3)1/2⇒f′(x)=12(2x+3)−1/2⋅2=12x+3f(x) = (2x+3)^{1/2} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2}(2x+3)^{-1/2} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+3}}
  18. f′(x)=2xsin⁡(x)+x2cos⁡(x)f'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)
  19. f′(x)=cos⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)(−sin⁡(x))cos⁡2(x)=cos⁡2(x)+sin⁡2(x)cos⁡2(x)=1cos⁡2(x)f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)(-\sin(x))}{\cos^2(x)} = \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)}
  20. f(x)=34x−3⇒f′(x)=−94x−4=−94x4f(x) = \frac{3}{4}x^{-3} \Rightarrow f'(x) = -\frac{9}{4}x^{-4} = -\frac{9}{4x^4}