Algebraische Potenzgesetze üben

Theorem 1: Potenzgesetze

Für jede Zahl a,b,na, b, n und mm gilt:

DEF:an=a⋅...⋅a⏟n timesa0=1a−n=1anam/n=amnGB:an⋅am=an+m and anam=an−mGE:an⋅bn=(ab)n and anbn=(ab)nPP:(an)m=anm\begin{array}{|r|rll|}\hline \text{DEF:} & a^n &=&\underbrace{a\cdot ...\cdot a}_{n \text{ times}}\\[0.2em] & a^0&=&1\\[0.2em] & a^{-n} &=& \frac{1}{a^n}\\[0.2em] & a^{m/n} &=& \sqrt[n]{a^m}\\\hline \text{GB:} & a^n\cdot a^m &=& a^{n+m} \quad\text{ and }\quad \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\\[0.2em] \text{GE:} & a^n\cdot b^n &=& (ab)^n \quad\text{ and }\quad \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\\[0.2em] \text{PP:} & (a^n)^m &=& a^{nm}\\\hline \end{array}

wobei DEF='Definition', GB='gleiche Basis', GE='gleicher Exponent', und PP='Potenz einer Potenz' steht.

Exercise 1

Schreibe als Potenz der Form xnx^n oder a⋅xna \cdot x^n

  1. 1x4\frac{1}{x^4}

  2. 3x2\frac{3}{x^2}

  3. x3\sqrt[3]{x}

  4. 1x\frac{1}{\sqrt{x}}

  5. x25\sqrt[5]{x^2}

  6. 2x5\frac{2}{x^5}

  7. 12x3\frac{1}{2x^3}

  8. 4⋅x34 \cdot \sqrt{x^3}

  9. 5x3\frac{5}{\sqrt[3]{x}}

  10. 14x\frac{1}{4x}

  11. x⋅xx \cdot \sqrt{x}

  12. xx2\frac{\sqrt{x}}{x^2}

  13. x⋅x3\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}

  14. 23x4\frac{2}{3x^4}

  15. 1x54\frac{1}{\sqrt[4]{x^5}}

  16. (x2)3⋅1x(x^2)^3 \cdot \frac{1}{x}

  17. 32x\frac{3}{2\sqrt{x}}

  18. 1x3\sqrt{\frac{1}{x^3}}

  19. x2x3\frac{x^2}{\sqrt[3]{x}}

  20. 4x⋅x\frac{4}{x \cdot \sqrt{x}}

Solution
  1. x−4x^{-4}
  2. 3x−23x^{-2}
  3. x13x^{\frac{1}{3}}
  4. x−12x^{-\frac{1}{2}}
  5. x25x^{\frac{2}{5}}
  6. 2x−52x^{-5}
  7. 12x−3\frac{1}{2}x^{-3}
  8. 4x324x^{\frac{3}{2}}
  9. 5x−135x^{-\frac{1}{3}}
  10. 14x−1\frac{1}{4}x^{-1}
  11. x1⋅x12=x32x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}
  12. x12⋅x−2=x−32x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{-2} = x^{-\frac{3}{2}}
  13. x12⋅x13=x36+26=x56x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}} = x^{\frac{5}{6}}
  14. 23x−4\frac{2}{3}x^{-4}
  15. x−54x^{-\frac{5}{4}}
  16. x6⋅x−1=x5x^6 \cdot x^{-1} = x^5
  17. 32x−12\frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}}
  18. (x−3)12=x−32(x^{-3})^{\frac{1}{2}} = x^{-\frac{3}{2}}
  19. x2⋅x−13=x63−13=x53x^2 \cdot x^{-\frac{1}{3}} = x^{\frac{6}{3} - \frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{3}}
  20. 4x1,5=4x−32\frac{4}{x^{1,5}} = 4x^{-\frac{3}{2}}