Die Euler'sche Konstante e

Die Euler'sche Konstante, mit $e$ bezeichnet, hat den Wert

e=2.71828182845904523536028747135266249775724709...

Diese Zahl ist die Grundlage für einige Funktionen mit sehr schönen Eigenschaften, von denen wir einige später noch genauer kennenlernen werden. Sie ist auch Teil einer der wohl schönsten Gleichungen überhaupt (ist natürlich Geschmackssache):

e^{i\cdot \pi}=-1

Diese Gleichung wird als schön angesehen, weil sie drei sehr wichtige und scheinbar disparate Zahlen ( $\pi, e$ und die imaginäre Zahl $i$ ) auf unerwartete Weise kombiniert, und das Ergebnis ist ... $-1$ .

Wie $\pi$ ist auch die Zahl $e$ eine irrationale Zahl und hat als solche eine unendliche, sich nicht wiederholende Dezimaldarstellung. Wir können $\pi$ eine geometrische Bedeutung geben - es ist der Umfang eines Kreises (mit dem Durchmesser $1$ ). In diesem Abschnitt besprechen wir, wo die Zahl $e$ vorkommt: es in nicht ein geometrischer, sondern ein finanzieller Kontext.

Nehmen wir an, du hast ein Bankkonto mit $1\text{ EUR}$ darauf. Nehmen wir weiter an, die Bank ist grosszügig, und du bekommst $100\%$ Zinsen pro Jahr. Das heisst, nach einem Jahr bekommst du $100\%$ des Betrags auf dem Konto, also $1\text{ EUR}$ . Somit ist nach einem Jahr der Betrag

2\text{ EUR}

auf dem Konto.

Jetzt kommt der interessante Teil. Du weist die Bank an, die Zinsen in zwei Hälften auszuzahlen, $50\%$ des Betrags auf dem Konto nach einem halben Jahr, und $50\%$ des neuen Betrags am Ende des Jahres. Das ist ganz klar ein Vorteil, denn nach dem ersten halben Jahr hast du nun $1.5$ EUR auf dem Konto, und am Ende des Jahres bekommst du die restlichen $50\%$ dieser $1.5$ EUR, also insgesamt

2.25\text{ EUR}

Die Aufteilung der Zinsen auf diese Weise wird Zinseszins genannt (im Sinne von Zins auf den Zins des ersten halben Jahres). Die Frage ist natürlich, ob wir noch mehr Geld bekommen können, wenn wir öfter uns den Zins noch öfter pro Jahr auszahlen lassen? Können wir mit dieser Strategie sogar Millionäre werden, indem wir zum Beispiel uns den Zins in jeder Sekunde auszahlen lassen? Hier ist eine Übung, die diese Frage beantwortet.

Exercise 1

Du hast $1\text{ EUR}$ auf dem Konto und die Bank zahlt $100\%$ Zinsen pro Jahr. Wie viel Geld hast du nach einem Jahr auf dem Konto, wenn

der Zins dreimal pro Jahr ausbezahlt wird (daher immer $33.\overline{3}\%$ des aktuellen Betrags im Konto)?
der Zins $365$ mal pro Jahr ausbezahlt wird (d.h. jeden Tag)?
der Zins $n$ mal pro Jahr ausbezaht wird, wobei $n$ eine beliebige natürliche Zahl ist?

Wenn man $n$ immer weiter erhöht, erhält man dann nach einem Jahr einen unbegrenzten Geldbetrag, oder gibt es eine Grenze für den Betrag, den man erhalten kann? Wenn es eine Grenze gibt, welchen Wert hat sie?

Solution

Bezeichne mit $y$ den Betrag auf dem Konto nach einem Jahr.

Nach jedem drittel Jahr wird $\frac{100\%}{3}=33.\overline{3}\%$ des aktuellen Betrags im Konto ausbezahlt, also der Betrag erhöht sich immer $33.\overline{3}\%$ . Dies ist, wie wir wissen, exponentielles Wachstum mit Wachstumskonstante $1+\frac{33.\overline{3}}{100}=1+\frac{1}{3}$ Also $\begin{array}{rllll} \text{amount}:& 1 &\xrightarrow[]{\cdot (1+1/3)} & \frac{4}{3} &\xrightarrow[]{\cdot (1+1/3)} & ... & \xrightarrow[]{\cdot (1+1/3)} & y\\ \text{year}:& 0 & \xrightarrow[]{+1/3} & \frac{1}{3} & \xrightarrow[]{+1/3} & \frac{2}{3} & \xrightarrow[]{+1/3} & 1\\ \end{array}$ Somit, nach einem Jahr ist der Betrag auf dem Konto $y=1\cdot \left(1+\frac{1}{3}\right)^3 =\underline{2.370...}\text{ EUR}$
Prozentuale Zunahme pro $365. Teile eines Jahres ist $\frac{100\%}{365}=\frac{100}{365}\%$ Die Wachstumskonstante ist also $1+\frac{\frac{100}{365}}{100}=1+\frac{1}{365}$ und somit haben wir $\begin{array}{rllll} \text{amount}:& 1 &\xrightarrow[]{\cdot (1+1/365)} & \frac{366}{365} &\xrightarrow[]{\cdot (1+1/365)} & ... & \xrightarrow[]{\cdot (1+1/365)} & ...& \xrightarrow[]{+1/365} & y\\ \text{year}:& 0 & \xrightarrow[]{+1/365} & \frac{1}{365} & \xrightarrow[]{+1/365} & \frac{2}{365} & \xrightarrow[]{+1/365} & ... & \xrightarrow[]{+1/365} & 1\\ \end{array}$ Nach einem Jahr haben wir also auf dem Konto den Betrag $y=1\cdot \left(1+\frac{1}{365}\right)^{365} =\underline{2.714...}\text{ EUR}$
Ähnlich wie oben, lassen wir uns den Zins $n$ Mal pro Jahr auszahlen, ist der Betrag $y=1\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ EUR. Setzt man ein paar $n$ in die obige Formel ein, so sieht man, dass sich mit zunehmendem $n$ der Betrag $y$ dem Wert $e$ nähert! $\begin{array}{r| l | l} n & y=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\\\hline 1\,000 & \mathbf{2.71}69239... \\ 10\,000 & \mathbf{2.718}1459...\\ 100\,000 & \mathbf{2.7182}682...\\ 1\,000\,000 & \mathbf{2.71828}04...\\ 10\,000\,000 & \mathbf{2.718281}6...\\ \end{array}$ Die fett gedruckten Ziffern stimmen mit den Ziffern der Zahl $e$ überein.

Fassen wir zusammen:

Theorem 1

Für immer grösser werdende Werte von $n$ strebt der Ausdruck

\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

gegen $e$ . Wir können dies kurz so schreiben:

\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \xrightarrow[]{n\rightarrow \infty} e

Exercise 2

Du hast $120\text{ EUR}$ auf dem Konto. Die Bank gibt $5\%$ Zinsen pro Jahr. Wie viel Geld hast du nach einem Jahr, wenn du jeden Monat Zinsen bekommst?
Du hast $A$ Euro auf einem Bankkonto, und die Zinsen pro Jahr betragen $p\%$ . Wie hoch ist der Betrag $y$ nach einem Jahr, wenn du $n$ mal pro Jahr verzinst?

Solution

Jeden Monat erhöht sich der Betrag um

\frac{5\%}{12}=\frac{5}{12}\%

. Der Wachstumsfaktor ist also

1+\frac{\frac{5}{12}}{100}=1+\frac{5}{12\cdot 100}

und somit

y=120\cdot \left(1+\frac{5}{12\cdot 100}\right)^{12}=126.139\text{ EUR}

Wie oben:

y=A\cdot \left(1+\frac{p}{n\cdot 100}\right)^n

Exercise 3

Welchen Wert nähert sich der folgende Term für $n\rightarrow \infty$ ?

$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$
$A\cdot \left(1+\frac{p}{n\cdot 100}\right)^n$

Solution

\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n/x}\right)^n = \left(\left(1+\frac{1}{n/x}\right)^{n/x}\right)^x =\left(\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}\right)^x \rightarrow e^x

A\cdot \left(1+\frac{p}{n\cdot 100}\right)^n=A\cdot \left(1+\frac{p/100}{n}\right)^n = Ae^{p/100}