Der Logarithmus

Nehmen wir an, wir haben eine Zahl, sagen wir 77, und wollen diese Zahl mit der Basis 1010 ausdrücken, d.h. wir suchen eine Zahl aa, so, dass

10a=710^a=7

Was ist der Wert von aa? Nun, aa muss kleiner als 11 sein, denn für a=1a=1 erhalten wir 101=1010^1=10, was bereits grösser als 77 ist. Aber a=0a=0 ist zu klein, denn 100=110^0=1. Also muss aa irgendwo zwischen 00 und 11 liegen, aber was ist der genaue Wert?

Exercise 1

Finde mit Hilfe des Taschenrechners einen Wert für aa, bei dem

10a≈710^a \approx 7
Solution

Wenn wir einige Werte ausprobieren, ergibt sich zum Beispiel für a=0.85a=0.85 folgendes Ergebnis

100.85=7.07945...10^{0.85} = 7.07945...

was schon recht nahe bei 77 liegt.

Um den exakten Wert zu finden, brauchen wir ein neues Werkzeug, den Logarithmus. Auf deinem Taschenrechner ist dies die Taste

ln log\boxed{\texttt{ln log}}

Du must die Option log\texttt{log} wählen (also zweimal die Taste drücken). Wir werden die andere Option später besprechen. Wie können wir nun den Wert aa ermitteln? Gib in deinen Taschenrechner das Folgende ein

log(7)\texttt{log(7)}

Das Resultat ist

0.8450...0.8450...

und das ist die Lösung! In der Tat, mit dem Taschenrechner sehen wir, dass

100.8450...=710^{0.8450...}=7

In Worten, die Antwort zur Frage

10was=710^\text{was}=7

ist

log(7)\texttt{log(7)}

Natürlich müssen wir uns nicht auf die Zahl 1010 konzentrieren. Wir könnten zum Beispiel auch fragen

ewhat=7e^\text{what}=7

und die Antwort finden wir mit

ln(7)\texttt{ln(7)}

also

1.945...1.945...
Exercise 2

Bestimme aa

  1. 10a=1510^a=15

  2. ea=15e^a=15

Solution
  1. a=log(15)=1.176...a=\texttt{log(15)}=1.176...
  2. a=ln(15)=2.708...a=\texttt{ln(15)}=2.708...

Um die Basis, die wir zur Darstellung von 77 verwenden wollen, deutlicher zu machen, können wir log⁡10(7)\log_{10}(7) statt log⁡(7)\log(7) und log⁡e(7)\log_e(7) statt ln⁡(7)\ln(7) schreiben. Ganz allgemein haben wir die folgende Definition des Logarithmus:

Definition 1

Betrachte zwei Zahlen b>0b>0 und c>0c>0, und eine beliebige Zahl aa. Mit

log⁡b(c)\log_b(c)

bezeichnen wir den Logarithmus zur Basis b von c. Per Definition gilt:

log⁡b(c)=a falls ba=c\log_b(c)=a \text{ falls } b^a=c

Falls das zu kompliziert tönt, hier ist ein nützliches "Schnecken"-Diagramm: log⁡b(c)=a\log_b(c)=a falls "bb hoch aa gleich cc"

Example 1
  1. log⁡10(1000)=3\log_{10}(1000)=3, da 103=100010^3=1000 (der Logarithmus mit Basis 1010 berechnet also die Anzahl Nullen)
  2. log⁡3(9)=2\log_3(9)=2 da 32=93^2=9
  3. log⁡2(0.5)=−1\log_2(0.5)=-1 da 2−1=0.52^{-1}=0.5

Bevor wir mit den Aufgaben beginnen, noch eine kurze Anmerkung zu den Namen bestimmter Logarithmen:

Und nun noch einige Übungen.

Exercise 3
  1. Bestimme ohne Taschenrechner:
    1. log⁡(100)\log(100)
    2. log⁡(10)\log(10)
    3. log⁡(1)\log(1)
    4. log⁡(0)\log(0)
    5. log⁡(−1)\log(-1)
    6. log⁡(−23)\log(-23)
    7. log⁡(0.001)\log(0.001)
    8. log⁡(10−2)\log(10^{-2})
    9. log⁡(10−1)\log(10^{-1})
    10. log⁡(110)\log(\frac{1}{10})
    11. log⁡(110 000)\log(\frac{1}{10\,000})
    12. log⁡(102.37)\log(10^{2.37})
    13. log⁡(103x)\log(10^{3x})
    14. log⁡(103x4+3)\log(10^{3x^4+3})
    15. log⁡(4+6)\log(4+6)
    16. 10log⁡(4)10^{\log(4)}
  2. Bestimme ohne Taschenrechner:
    1. log⁡3(9)\log_{3}(9)
    2. log⁡5(125)\log_{5}(\frac{1}{25})
    3. log⁡2(1024)\log_{2}(1024)
    4. log⁡2(0.125)\log_{2}(0.125)
    5. log⁡100(10)\log_{100}(10)
    6. log⁡3(181)\log_{3}(\frac{1}{81})
    7. log⁡3(910)\log_{3}(\sqrt[10]{9})
    8. log⁡3(1275)\log_{3}(\frac{1}{\sqrt[5]{27}})
    9. log⁡π(1π)\log_{\pi}(\frac{1}{\pi})
    10. ln⁡(e1/7)\ln(e^{1/7})
    11. eln⁡(6)e^{\ln(6)}
  3. Lässt sich der Term vereinfachen?

    1. log⁡b(0)\log_{b}(0)

    2. log⁡b(1)\log_{b}(1)

    3. log⁡b(b)\log_{b}(b)

    4. log⁡b(b)\log_{b}(\sqrt{b})

    5. log⁡b(1b)\log_{b}(\frac{1}{b})

    6. log⁡b(1b)\log_{b}(\frac{1}{\sqrt{b}})

    7. log⁡b(b101)\log_{b}(b^{101})

    8. log⁡b(−1)\log_{b}(-1)

    9. log⁡b(b2x−1)\log_{b}(b^{2x-1})

    10. blog⁡b(4)b^{\log_b(4)}

Solution
  1. Es ist
    1. log⁡(100)=2\log(100)=2 da 102=10010^2=100
    2. log⁡(10)=1\log(10)=1 da 101=1010^1=10
    3. log⁡(1)=0\log(1)=0 da 100=110^0=1
    4. log⁡(0)\log(0) existiert nicht, denn es gibt keine Zahl aa mit 10a=010^a=0
    5. log⁡(−1)\log(-1) existiert nicht, denn es gibt keine Zahl aa mit 10a=−110^a=-1
    6. log⁡(−23)\log(-23) existiert nicht, denn es gibt keine Zahl aa mit 10a=−210^a=-2
    7. log⁡(0.001)=log⁡(10−3)=−3\log(0.001)=\log(10^{-3})=-3
    8. log⁡(10−2)=−2\log(10^{-2})=-2
    9. log⁡(10−1)=−1\log(10^{-1})=-1
    10. log⁡(110)=log⁡(10−1)=−1\log(\frac{1}{10})=\log(10^{-1})=-1
    11. log⁡(110 000)=log⁡(10−4)=−4\log(\frac{1}{10\,000})=\log(10^{-4})=-4
    12. log⁡(102.37)=2.37\log(10^{2.37})=2.37
    13. log⁡(103x)=3x\log(10^{3x})=3x
    14. log⁡(103x4+3)=3x4+3\log(10^{3x^4+3})=3x^4+3
    15. log⁡(4+6)=log⁡(10)=1\log(4+6)=\log(10)=1
    16. 10log⁡(4)=410^{\log(4)}=4 da per Definition log⁡(4)\log(4) die Zahl aa ist mit 10a=410^a=4.
  2. Es ist
    1. log⁡3(9)=2\log_{3}(9)=2 da 32=93^2=9
    2. log⁡5(125)=log⁡5(5−2)=−2\log_{5}(\frac{1}{25})=\log_5(5^{-2})=-2
    3. log⁡2(1024)=log⁡2(210)=10\log_{2}(1024)=\log_{2}(2^{10})=10
    4. log⁡2(0.125)=log⁡2(18)=log⁡2(2−3)=−3\log_{2}(0.125)=\log_2(\frac{1}{8})=\log_2(2^{-3})=-3
    5. log⁡100(10)=log⁡(1000.5)=0.5\log_{100}(10)=\log(100^{0.5})=0.5
    6. log⁡3(181)=log⁡3(3−4)=−4\log_{3}(\frac{1}{81})=\log_3(3^{-4})=-4
    7. log⁡3(910)=log⁡3(91/10)=log⁡3(32/10)=0.2\log_{3}(\sqrt[10]{9})=\log_3(9^{1/10})=\log_3(3^{2/10})=0.2
    8. log⁡3(1275)=log⁡3(3−3/5)=−0.6\log_{3}(\frac{1}{\sqrt[5]{27}})=\log_3(3^{-3/5})=-0.6
    9. log⁡π(1π)=log⁡π(π−1)=−1\log_{\pi}(\frac{1}{\pi})=\log_{\pi}(\pi^{-1})=-1
    10. ln⁡(e1/7)=17\ln(e^{1/7})=\frac{1}{7}
    11. eln⁡(6)=6e^{\ln(6)}=6 da per Definition ln⁡(6)\ln(6) die Zahl aa ist mit ea=6e^a=6.
  3. Wir nehmen immer an, dass b>0b>0:
    1. log⁡b(0)\log_{b}(0) nein, für jedes b>0b>0 gibt es keine solche Zahl
    2. log⁡b(1)=0\log_{b}(1)=0 da b0=1b^0=1 für jedes b>0b>0
    3. log⁡b(b)=1\log_{b}(b)=1 da b1=bb^1=b für jedes b>0b>0
    4. log⁡b(b)=0.5\log_{b}(\sqrt{b})=0.5 da b0.5=bb^{0.5}=\sqrt{b} für jedes b>0b>0
    5. log⁡b(1b)=−1\log_{b}(\frac{1}{b})=-1 da b−1=1bb^{-1}=\frac{1}{b} für jedes b>0b>0
    6. log⁡b(1b)=−12\log_{b}(\frac{1}{\sqrt{b}})=-\frac{1}{2} da b−1/2=1bb^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{b}} für jedes b>0b>0
    7. log⁡b(b101)=101\log_{b}(b^{101})=101 da b101=b101b^{101}=b^{101} für jedes b>0b>0
    8. log⁡b(−1)\log_{b}(-1) existiert nicht, da es kein aa gibt mit ba=−1b^a=-1
    9. log⁡b(b2x−1)=2x−1\log_{b}(b^{2x-1})=2x-1 da b2x−1=b2x−1b^{2x-1}=b^{2x-1}
    10. blog⁡b(4)=4b^{\log_b(4)}=4 da per Definition a=log⁡b(4)a=\log_b(4) falls ba=4b^a=4.

Lassen Sie uns einige nützliche Eigenschaften zusammenfassen, die sich aus der obigen Aufgaben ergeben:

Theorem 1

Für jede Basis b>0b>0 gilt:

  1. log⁡b(c)\log_b(c) existiert nicht für c≤0c\leq 0

  2. log⁡b(1)=0\log_b(1)=0

  3. log⁡b(b)=1\log_b(b)=1

  4. log⁡b(bu)=u\log_b(b^u)=u für jeden Wert von uu

  5. blog⁡b(c)=cb^{\log_b(c)}=c für jedes c>0c>0

Proof

Hier sind die Beweise:

  1. Es gibt keine Zahl aa mit ba=0b^a=0 oder ba<0b^a<0 (for b>0b>0).
  2. log⁡b(1)=0\log_b(1)=0 da b0=1b^0=1
  3. log⁡b(b)=1\log_b(b)=1 da b1=bb^1=b
  4. log⁡b(bn)=n\log_b(b^n)=n da bn=bnb^n=b^n
  5. Per Definition, für a=log⁡b(c)a=\log_b(c) muss gelten ba=cb^a=c, also blog⁡b(c)=cb^{\log_b(c)}=c
Exercise 4

  1. Argumentiere, dass log⁡b(c⋅d)=log⁡b(c)+log⁡b(d)\log_b(c\cdot d)=\log_b(c)+\log_b(d)?

  2. Ist die Aussage korrekt? log⁡5(3x)=log⁡5(3)+log⁡5(x)\log_5(3x)=\log_5(3)+\log_5(x) für alle xx?

  3. Ist die Aussage korrekt? log⁡5(3+x)=log⁡5(3)⋅log⁡5(x)\log_5(3+x)=\log_5(3)\cdot \log_5(x) für alle xx?

Solution
  1. Dalls die Gleichung log⁡b(c⋅d)=log⁡b(c)+log⁡b(d)\log_b(c\cdot d)=\log_b(c)+\log_b(d) korrekt ist, muss auch die Gleichung korrekt sein, die wir erhalten, wenn wir beide Seiten "10 hoch" rechnen: blog⁡b(c⋅d)⏟=c⋅d=blog⁡b(c)+log⁡b(d)\underbrace{b^{\log_b(c\cdot d)}}_{=c\cdot d}=b^{\log_b(c)+\log_b(d)} Mit den Potenzgesetzen folgt blog⁡b(c)+log⁡b(d)=blog⁡b(c)⋅blog⁡b(d)=c⋅d\begin{array}{lll} b^{\log_b(c)+\log_b(d)}&=&b^{\log_b(c)}\cdot b^{\log_b(d)}\\ &=& c\cdot d \end{array} Und wir sehen, dass in der Tat die Gleichung stimme.
  2. Ist richtig, siehe Frage 1.
  3. Nein, das ist falsch. Nehmen wir zum Beispiel x=1x=1. Für die linke Seite erhalten wir log⁡5(3+x)=log⁡5(3+1)=log⁡5(4)≠0\log_5(3+x)=\log_5(3+1)=\log_5(4)\neq 0 and für die Rechte Seite haben wir log⁡5(3)⋅log⁡5(x)=log⁡5(3)⋅log⁡5(1)⏟=0=0\log_5(3)\cdot \log_5(x) = \log_5(3)\cdot \underbrace{\log_5(1)}_{=0}=0