Fakultät und nPr

Wir führen eine neue Notation ein, die später nützlich sein wird, wenn wir eine gewisse Klasse von Experimente einführen. Betrachten wir eine natürliche Zahl, sagen wir 66. Das Fakultät von 66,

6!6!

ist das Produkt der ersten 66 natürlichen Zahlen, d.h.

6!=6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅16!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1

Allgemeiner ausgedrückt, haben wir Folgendes:

Definition 1

Betrachte eine natürliche Zahl nn. Das Produkt der ersten nn natürlichen Zahlen

n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅...⋅2⋅1n\cdot (n-1)\cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1

nennt man die Fakultät von nn (oder die n. Fakultät),

n!n!

Insbesondere haben wir

1!=12!=2⋅1=23!=3⋅2⋅1=64!=4⋅3⋅2⋅1=245!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120...\begin{array}{lll} 1! &=& 1\\ 2! &=& 2\cdot 1 &=& 2\\ 3! &=& 3\cdot 2\cdot 1 &=& 6\\ 4! &=& 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 &=& 24\\ 5! &=& 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 &=& 120\\ ... \end{array}

Die 0. Fakultät ist definiert als

0!=10!=1

Das scheint im Moment völlig willkürlich zu sein, die Begründung dafür liefern wir noch.

Warning

Beachte, dass !! stärker bindet als ++ und ⋅\cdot. Es ist also

10+4!=10+4⋅3⋅2⋅1=10+2410+4! = 10+ 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=10+24

und

10⋅4!=10⋅4⋅3⋅2⋅110\cdot4! = 10\cdot4\cdot 3\cdot 2\cdot 1

Insbesondere: 10+4!≠14!10+4!\neq 14! and 10⋅4!≠40!10\cdot4!\neq 40!

Die Fakultät ist ebenfalls auf dem Taschenrechner zu finden. Es ist die Taste mit dem Ausrufezeichen.

Exercise 1

Berechne ohne Taschenrechner:

  1. (4−2)!= ?(4-2)!=\, ?

  2. 4⋅4!= ?4\cdot 4!=\,?

  3. 2!⋅5!= ?2! \cdot 5!=\,?

  4. 10!6!= ?\frac{10!}{6!}=\,?

  5. 1000!998!= ?\frac{1000!}{998!}=\,?

  6. Es sei n!=120⋅119!n!=120\cdot 119!. Bestimme nn.

Solution
  1. (4−2)!=2!=2⋅1=2‾(4-2)!=2!=2\cdot 1 =\underline{2}
  2. 4⋅4!=4⋅4⋅3⋅2⋅1=96‾4\cdot 4! = 4\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = \underline{96}
  3. 2!⋅5!=2⋅1⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=240‾2! \cdot 5! = 2\cdot 1\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1= \underline{240}
  4. 10!6!=10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅16⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=10⋅9⋅8⋅7=5040‾\frac{10!}{6!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 }{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 }=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=\underline{5040}
  5. 1000!998!=1000⋅999⋅998⋅...⋅1998⋅...⋅1=1000⋅999=999 000‾\frac{1000!}{998!}=\frac{1000\cdot 999\cdot 998 \cdot ...\cdot 1}{998\cdot ...\cdot 1}=1000\cdot 999=\underline{999\,000}
  6. 120⋅119!=120⋅119⋅118⋅...⋅2⋅1=120!‾120\cdot 119!=120\cdot 119\cdot 118\cdot ...\cdot 2\cdot 1 = \underline{120!}

6!6! ist die Multiplikation der ersten 66 natürlichen Zahlen. Wir können die Fakultät wie folgt verallgemeinern: Wir schreiben 6P46P4 (sprich "66 p 44"), wenn wir nur die 44 höchsten Zahlen ab 66 multiplizieren, also

6P4=6⋅5⋅4⋅3⏟4 numbers=3606P4 =\underbrace{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}_{4 \text{ numbers}}=360

Beachte, dass man diese Zahl ebenfalls mit Fakultäten ausdrücken kann:

6P4=6⋅5⋅4⋅3=6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅12⋅1=6!2!=6!(6−4)!6P4 =6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1}=\frac{6!}{2!}=\frac{6!}{(6-4)!}

Wir haben:

6P1=6⏟1 number=6!(6−1)!6P2=6⋅5⏟2 numbers=6!(6−2)!6P3=6⋅5⋅4⏟3 numbers=6!(6−3)!6P5=6⋅5⋅4⋅3⋅2⏟5 numbers=6!(6−5)!6P6=6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1⏟6 numbers=6!\begin{array}{llll} 6P1 &=&\underbrace{6}_{1 \text{ number}}&=& \frac{6!}{(6-1)!}\\ 6P2&=&\underbrace{6\cdot 5}_{2 \text{ numbers}}&=& \frac{6!}{(6-2)!}\\ 6P3 &= &\underbrace{6\cdot 5\cdot 4}_{3 \text{ numbers}}&=& \frac{6!}{(6-3)!}\\ 6P5 &=&\underbrace{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}_{5 \text{ numbers}}&=& \frac{6!}{(6-5)!}\\ 6P6 &=&\underbrace{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}_{6 \text{ numbers}}=6!\\ \end{array}

Zusammenfassend haben wir:

Theorem 1

Gegeben sei eine natürliche Zahl nn. Die Multiplikation der rr höchsten Zahlen, beginnend mit nn

n(n−1)...(n−r+1)⏟r numbers\underbrace{n(n-1)...(n-r+1)}_{r \text{ numbers}}

wir mit

nPrnPr

bezeichnet (ausgesprochen: "n p r"). Mit Fakultäten ausgedrückt gilt:

nPr=n!(n−r)!nPr = \frac{n!}{(n-r)!}

Insbesondere:

nPn=n!nP1=n\begin{array}{lll} nPn&=&n!\\ nP1&=&n \end{array}

Beachte, dass nPrnPr ebenfalls auf dem Taschenrechner gefunden werden kann.

Exercise 2

Berechne ohne Taschenrechner:

  1. 5P25P2
  2. 7P47P4

Then verify your results using the calculator.

Solution
  1. 5P2=5⋅4=20‾5P2=5\cdot 4=\underline{20}
  2. 7P4=7⋅6⋅5⋅4=840‾7P4=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=\underline{840}