Mittelwert und Standardabweichung von ZVen

Zufallsvariablen nehmen nach jeder Durchführung eines Experiments einen zufälligen Wert an. Zum Beispiel, werfen wir eine Münze dreimal, und ist $N$ die Zufallsvariable, welche für die Anzahl Köpfe steht, so nimmt $N$ nach jeder Durchführung des Experiments (dreimal würfeln), eine der Zahlen $0,1,2$ oder $3$ an. Wir bekommen also eine Datenreihe, für jede Durchführung des Experiments einen Datenpunkt, etwa

0,0,1,3,0,2,2,2,1,3,0,3,3,2,...

Was ist der Mittelwert dieser Datenreihe, und was die Standardabweichung? Diese Masse sind interessant, da sie helfen, die Zufallsvariable $N$ weiter zu charakterisieren. Zum Beispiel, ändert sich der Mittelwert und die Standardabweichung, falls die Münze gezinkt ist, und falls ja, wie genau?

Wir zeigen nun Anhand eines (anderen, einfacheren) Beispiels auf, wie der Mittelwert und die Standardabweichung einer Zufallsvariablen berechnet werden kann. Wie wir sehen werden, brauchen wir dazu die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariable.

Example 1

Betrachten wir eine Kiste mit Melonen verschiedener Grössen, die entweder $1 Fr$ , $2 Fr$ oder $5 Fr$ kosten. Das Zufallsexperiment besteht darin, eine Melone zufällig auszuwählen, und wir definieren die Zufallsvariable $C$ ="Kosten der Melone". Nehmen wir an, die Wahrscheinlichkeit sind

\begin{array}{lll} p(C=1)&=&0.4\\ p(C=2)&=&0,35\\ p(C=5)&=&0,25 \end{array}

Jedes Mal, wenn wir das Experiment durchführen, wird $C$ also einen anderen Wert haben, entweder $C=1$ oder $C=2$ oder $C=5$ . Wenn wir dieses Experiment sehr oft wiederholen, wie viel müssen wir dann im Durchschnitt für eine Melone bezahlen?

Nun, der Prozentsatz der Fälle, in denen wir eine $1 Fr$ -Melone auswählen, ist durch die Wahrscheinlichkeit $p(C=1)$ gegeben, und ähnlich, $p(C=2)$ ist der Prozentsatz der Fälle, in denen wir eine $2 Fr$ -Melone auswählen, und $p(C=5)$ ist der Prozentsatz der Fälle, in denen wir eine $5 Fr$ -Melone auswählen. Wir haben also (siehe vorheriges Kapitel)

\begin{array}{lll} \mu&=&p(C=1)\cdot 1 Fr + p(C=2)\cdot 2 Fr + p(C=5)\cdot 5 Fr\\ &=& 0,4\cdot 1 Fr + 0,35\cdot 2 Fr + 0,25\cdot 5 Fr\\ &=& 2,35 Fr \end{array}

Beachte, dass wir den Mittelwert einer Zufallsvariablen nun mit $\mu$ ("mu") bezeichnen. Dies ist typisch für den Mittelwert von Zufallsvariablen. Wir können auch die Standardabweichung all dieser Kosten berechnen (siehe wieder den vorherigen Abschnitt).

\begin{array}{lll} \sigma &=&\sqrt{p(C=1)\cdot (1-2.35)^2 + p(C=2)\cdot (2-2.35)^2 + p(C=5)\cdot (5-2.35)^2}\\ &=& \sqrt{0.4\cdot (1-2.35)^2 + 0.35\cdot (2-2.35)^2 + 0.25\cdot (5-2.35)^2}\\ &=& 1,59 Fr \end{array}

Beachte, dass wir $\sigma$ ("sigma") für die Standardabweichung von Zufallsvariablen benutzen. Im Durchschnitt liegen die Kosten also bei $2.35 Fr$ pro ausgewählter Melone. Die typische Abweichung pro Auswahl von diesem Wert beträgt $1.59 Fr$ . Diese Werte sind nur dann exakt, wenn das Experiment unendlich oft durchgeführt wird, da die Wahrscheinlichkeiten ansonsten nur eine Annäherung an die Prozentsätze sind.

Fassen wir zusammen:

Summary 1

Betrachte eine Zufallsvariable $X$ eines Zufallsexperiments, mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion

p(X=x_1), ..., p(X=x_r)

Jedes Mal, wenn wir das Experiment durchführen, nimmt $X$ einen der Werte $x_1,...,x_r$ an. Wenn wir das Experiment viele Male (unendlich oft) durchführen, können wir den Mittelwert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ all dieser Werte berechnen:

\mu_X =p(X=x_1)\cdot x_1+...+p(X=x_r)\cdot x_r

und

\sigma_X =\sqrt{p(X=x_1)\cdot(x_1-\mu)^2+...+p(X=x_r)\cdot (x_r-\mu)^2}

Der Mittelwert wird auch Erwartungswert von X genannt und wird oft auch mit $\mu_X$ oder $E[X]$ bezeichnet. Die Standardabweichung von X wird auch mit $\sigma_X$ bezeichnet. Die Varianz von X ist einfach das Quadrat der Standardabweichung, und wird mit $\sigma_X^2$ oder $Var[X]$ bezeichnet.

Interpretation von $\mu_X$ und $\sigma_X$ : $\mu_X$ ist der (langfristige) Durchschnittswert von $X$ pro Experiment, und die typische Abweichung pro Experiment von diesem Durchschnitt ist $\sigma_X$ .

Exercise 1

Eine faire Münze wird zweimal geworfen. Bei zwei Köpfen bekommen wir $2 Fr$ , bei einem Kopf nur $1 Fr$ und bei keinem Kopf bekommen wir nichts. Wie hoch ist der durchschnittliche Gewinn pro Spiel? Und wie hoch ist die typische Abweichung pro Spiel von diesem Durchschnitt?

Solution

Wir definieren die Zufallsvariable $W$ ="Gewinn in Fr". Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $W$ ist

\begin{array}{lll} p(W=2)&=&p({HH})=\frac{1}{4}\\ p(W=1)&=&p({HT, TH})=\frac{2}{4}\\ p(W=0)&=&p({TT})=\frac{1}{4}\\ \end{array}

Der Mittelwert des Gewinns ist

\mu_W = \frac{1}{4}\cdot 2 Fr + \frac{2}{4}\cdot 1 Fr + \frac{1}{4}\cdot 0 Fr = \underline{1 Fr}

und die Standardabweichung davon ist

\begin{array}{lll} \sigma_W &=& \sqrt{\frac{1}{4}\cdot (2-1)^2 + \frac{2}{4}\cdot (1-1)^2 + \frac{1}{4}\cdot (0-1)^2 Fr}\\ &=& \sqrt{0.5}\\ &=& \underline{0.707 Fr} \end{array}

Es ist auch möglich, auf die Dauer Geld zu verlieren, was wir durch einen negativen Gewinn anzeigt wird.

Exercise 2

Eine faire Münze wird zweimal geworfen. Für zwei Köpfe erhalten wir $2 Fr$ , für einen Kopf erhalten wir $1 Fr$ und für null Köpfe müssen wir $5 Fr$ bezahlen. Wie hoch ist der durchschnittlicher Gewinn pro Spiel?

Solution

Wir definieren die Zufallsvariable $W$ ="win in Fr". Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $W$ ist

\begin{array}{lll} p(W=2)&=&p({HH})=\frac{1}{4}\\ p(W=1)&=&p({HT, TH})=\frac{2}{4}\\ p(W=-5)&=&p({TT})=\frac{1}{4}\\ \end{array}

Der durchschnittliche Gewinn ist

\mu_W = \frac{1}{4}\cdot 2 Fr + \frac{2}{4}\cdot 1 Fr + \frac{1}{4}\cdot (-5) Fr = \underline{-0.25 Fr}

Das heisst, wir verlieren im Durchschnitt $0.25 Fr$ .

Bei einem Glücksspiel gibt es normalerweise eine Eintrittsgebühr und am Ende eine Auszahlung. Der Gewinn ist die Auszahlung abzüglich des Eintrittsgeldes. Wir sagen, dass ein Spiel fair ist, wenn der durchschnittliche Gewinn pro Spiel Null ist. Hier ist ein Beispiel.

Exercise 3

In einem Glücksspiel wird ein fairer Würfel zweimal geworfen. Das Startgeld beträgt $3 Fr$ . Die Auszahlung ist wie folgt: du erhältst $13 Fr$ für eine Doppelsechs, $9 Fr$ für eine $6$ und sonst nichts. Ist dies ein faires Spiel?

Solution

Wir führen die Zufallsvariable $W$ ="Gewinn in Fr". Die möglichen Werte von $W$ sind $13-3=10$ für einen doppelten $6$ , $9-3=6$ für einen $6$ , und $0-3=-3$ sonst. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $W$ ist

\begin{array}{lll} p(W=10) &=& p(\{66\})=\frac{1}{36}\\ p(W=6) &=& p(\{61,62,63,64,65,16,26,36,46,56\})=\frac{10}{36}\\ p(W=-3) &=& \frac{25}{36} \end{array}

Wir haben also

\mu_W = \frac{1}{36}\cdot 10 Fr + \frac{10}{36}\cdot 6 Fr + \frac{25}{36}\cdot (-3) Fr = -\frac{5}{36}

Das Spiel ist also nicht fair. Im Durchschnitt verlieren wir $0.14 Fr$ per Spiel.

Hier ist ein Beispiel für einen Durchschnittswert, der nichts mit Geld zu tun hat.

Exercise 4

Das Zufallsexperiment besteht darin, zweimal einen fairen Würfel zu werfen und die Summe zu bilden. Wie hoch ist der Durchschnittswert, den man pro Experiment erhält?

Solution

Wir definieren die Zufallsvariable $S$ ="Summe der beiden Zahlen". Wir wissen bereits aus einer früheren Übung, wie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $S$ aussieht, und erhalten daher

\begin{array}{lll} \mu_S &=& \frac{1}{36}\cdot 2 + \frac{2}{36}\cdot 3 + \frac{3}{36}\cdot 4 +\frac{4}{36}\cdot 5 +\frac{5}{36}\cdot 6 +\frac{6}{36}\cdot 7 + ... \\ & & ... +\frac{5}{36}\cdot 8 +\frac{4}{36}\cdot 9 +\frac{3}{36}\cdot 10 +\frac{2}{36}\cdot 11 + \frac{1}{36}\cdot 12\\ & & = \frac{252}{36}=\underline{7} \end{array}