Gravitation und Luftwiderstand

Freier Fall

Wir betrachten die Geschwindigkeit $v$ für den freien Fall ohne Luftwiderstand unter konstanter Beschleunigung $g$ ,

\dot{v} = g.

Note 1

In der Physik ist es üblich, die Ableitung nach der Zeit mit einem Punkt und die Ableitung nach dem Ort mit einem Strich zu bezeichnen.

Durch Integrieren über die Zeit $t$ erhält man die Bewegungsgleichung als Lösung zur Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ und zum Startpunkt $s_0$ , nämlich

\begin{align*} v &= v_0+gt\\ s &= s_0+v_0t+\frac{1}{2}gt^2 \end{align*}

Exercise 1: Check v und s

Rechne die Ausdrücke für die Geschwindigkeit $v(t)$ und den Ort $s(t)$ nach.

Solution

Es ist

v(t) = \int g\,\mathrm{d}t = gt+v_0

und

s(t) = \int(gt+v_0)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}gt^2+v_0t+s_0.

Fall mit Luftwiderstand

Hier setzen wir wiederum konstante Erdbeschleunigung $g$ voraus, aber berücksichtigen den Luftwiderstand, $F_R = \frac{1}{2}\rho_L c_wAv^2$ , wobei $c$ konstant ist. Wir dividieren die Bewegungsgleichung $m\dot{v} = mg-\beta v^2$ durch $m$ und setzen $\alpha = \frac{\beta}{m}$ :

\dot{v} = g-\alpha v^2.

Wir interessieren uns für die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ , nach der wir lösen wollen. Separation der Variablen liefert:

\begin{align*} \frac{1}{g-\alpha v^2}\,\mathrm{d}v &= \mathrm{d}t\\ \frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{g}{\alpha}}\right)^2-v^2}\,\mathrm{d}v &= \mathrm{d}t \end{align*}

Die Differenz der beiden Quadrate kann man \enquote{integrierbarer} bereitstellen, wenn man folgende Substitution vornimmt. Setze $v:=\sqrt{\frac{g}{\alpha}}\tanh(u)$ und leite ab, um $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u}=\sqrt{\frac{g}{\alpha}}\mathrm{sech}^2(u)$ . Damit folgt

\frac{\sqrt{\frac{g}{\alpha}}\cdot\mathrm{sech}^2(u)}{g-\alpha \left(\frac{g}{\alpha}\tanh^2(u)\right)}\,\mathrm{d}u = \frac{\sqrt{\frac{g}{\alpha}}\cdot\mathrm{sech}^2(u)}{g\cdot\mathrm{sech}^2(u)}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{\sqrt{g\alpha}}\,\mathrm{d}u

Damit integriert erhalten wir

\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{g\alpha}}\cdot u &= t+C\\ \frac{1}{\sqrt{g\alpha}}\mathrm{artanh}\left(\frac{v}{\sqrt{\frac{g}{\alpha}}}\right) &= t+C\\ v(t) &= \sqrt{\frac{g}{\alpha}}\tanh(\sqrt{g\alpha}(t+C) \end{align*}

und mit $v(0) =: v_0$ folgt:

v(t) = \sqrt{\frac{mg}{\beta}}\cdot\tanh\left(\sqrt{\frac{g\beta}{m}}\cdot t + \mathrm{artanh}\left(\sqrt{\frac{g\beta}{m}}\cdot v_0\right)\right).

Als Lösung zur Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 0$ erhalten wir

v = \sqrt{\frac{mg}{\beta}}\tanh\left(\sqrt{\frac{g\beta}{m}}t\right).

Betrachtet man $\tanh$ , so erkennt man die Maximalgeschwindigkeit

v_{max}=\sqrt{\frac{mg}{\beta}}.

Exercise 2: Geschwindigkeitsverlauf

Skizziere den Geschwindigkeitsverlauf $v(t)$ in einem Koordinatensystem.

Solution

Ich setze beispielsweise $m = 81\,\mathrm{kg}$ , $g \approx 9\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}$ , $v_0 = 0\,\mathrm{\frac{m}{s}}$ und $c_w = 1$ . Schätze nun die Querschnittsfläche $A$ und die durchschnittliche Luftdichte $\rho_L$ . Damit wird $\beta \approx \frac{1}{3}$ , den Graphen zeichnet man mit \geogebralink\ und die maximale Geschwindigkeit ist ungefähr $180\,\mathrm{\frac{km}{h}}$ .

Freier Fall aus grosser Höhe

Nach Newton nimmt die Gravitationskraft mit zunehmender Entfernung quadratisch ab:

g = -\frac{\mu}{r^2}.

Ohne Luftwiderstand gilt

\ddot{r} = -\frac{\mu}{r^2},

was wir auf beiden Seiten mit $\dot{r}$ multiplizieren:

\ddot{r}\dot{r} = -\frac{\mu\dot{r}}{r^2}.

Integrieren auf beiden Seiten führt uns zum Energieerhaltungssatz

0.5\dot{r}^2 = \frac{\mu}{r}+c

und schliesslich zur Differentialgleichung

\dot{r} = \pm\sqrt{2\frac{\mu}{r}+c}.

Nun kann man die Variablen separieren und versuchen, die Integrale zu bestimmen.

Barometrische Höhenformel

Wir gehen von der Zustandsleichung für ideale Gase,

pV = nRT,

aus, wobei $p(h)$ den Luftdruck in der Höhe $h$ , $V$ das Volumen, $n$ die Masse in Mol, $R$ die allgemeine Gaskonstante und $T$ die Temperatur bezeichnen. Die Atmosphäre sei eine ruhende Gasschicht, die sich wie ein ideales Gas verhalte.

Wir betrachten eine kleine Höhenänderung $\mathrm{d}h$ bezüglich der Querschnittsfläche $A$ :

\begin{align*} p(h+\mathrm{d}h)-p(h) &= -\frac{mg}{A}\\ &= -\frac{\rho A\cdot \mathrm{d}h\cdot g}{A}\\ &= -\rho g\cdot \mathrm{d}h \end{align*}

Die Dichte hängt ebenfalls von der Höhe ab, $\rho(h)$ . Unter Benutzung der Zustandsgleichung für ideale Gase kann $\rho$ durch $p$ ersetzt werden:

\rho = \frac{m}{V} = \frac{mp}{nRT} = \frac{Mp}{RT}

wobei $M$ das Molekulargewicht der Luft bezeichnen soll. Damit folgt

p(h+\mathrm{d}h)-p(h) = -\frac{M}{RT}g\cdot \mathrm{d}h,

also

\frac{dp}{dh} = -\frac{Mg}{RT}\cdot p

Durch Integrieren erhalten wir die barometrische, isotherme Höhenformel

p(h) = p_0\cdot \mathrm{e}^{-\frac{Mgh}{RT}}.

Fassen wir die Konstanten zusammen:

h_0 = \frac{RT}{Mg}\approx8.3\,\mathrm{km},

notiert man

p(h) = p_0\cdot e^{-\frac{h}{h_0}}

und sieht, dass der Druck alle $8.3\,\text{km}$ um den Faktor $\mathrm{e}$ abnimmt. Da die Temperatur allerdings auch mit der Höhe abnimmt - und nicht wie angenommen konstant bleibt - ist dies nur eine Näherung; die Dichte muss rascher abnehmen.

(Barometrische Höhenformel kommentiert)

Falls die Temperatur mit der Höhe linear abnimmt,

T(h) = T_0-\lambda(h-h_0),

wobei $\lambda$ den Temperaturgradienten bezeichne (ca. $6.5\,\text{Kelvin pro Kilometer}$ ), erhalten wir

p = p_0\left(\frac{T_0-\lambda(h-h_0)}{T_0}\right)^{\frac{g}{R\lambda}}.

Diese Form wird in der Meteorologie und Luftfahrt oft verwendet.

Exercise 3: Meteorologische Höhendruckformel

Rechne die meteorologische Höhenformel nach.

Solution

Wir starten mit der hydrostatischen Gleichung

\mathrm{d}p = -\frac{p}{RT}g\,\mathrm{d}h

woraus

\frac{\mathrm{d}p}{p} = -\frac{1}{R(T_0-\lambda(h-h_0))}g\,\mathrm{d}h

folgt. Durch Integration via Separation erhalten wir

\ln(p) = -\frac{g}{R\lambda}\ln(T_0-\lambda(h-h_0))+C

und nach Exponentiation sowie mit der Randbedingung $p(h_0) = p_0$ schliesslich

p = p_0\left(\frac{T_0-\lambda(h-h_0)}{T_0}\right)^{\frac{g}{R\lambda}}

die barometrischen Höhenformel mit Temperaturgradient.