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Exercise 1

F1

Schreibe alle Teilmengen von $A$ auf.

$A=\{1,2\}$
$A=\{1,2,3\}$
Ganz allgemein: wie viele Teilmengen enthält eine allgemeine Menge $A$ mit $n$ Elementen ( $n$ ist eine beliebige aber fixe Nummer, wie etwa $3$ , oder $10$ )? Finde eine Formel.
Stimmt die Formel $|P(A)|=2^{|A|}$ für eine Menge $A$ ?

F2

Gegeben sind die Mengen

\begin{array}{lll} A &=& \text{"ungerade Zahlen kleiner als 10"}\\ B &=& \{4,5,6,7,8\}\\ C &=& \{1,2,3,4,5\} \end{array}

Die Universalmenge ist $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$ . Bestimme die folgenden Mengen:

$A\cup B$
$A\cap B$
$A^c$
$A\setminus B$
$A\cap B\cap C$
$A\cup(A\cap C)$

F3

Gegeben sind die Mengen $A$ , $B$ , und $C$ . Zeichne die Venn-Diagramme der folgenden Mengen:

$A\cap B$
$A\cap (B\cup C)$
$A^c \cap B^c$

F4

Welche Aussagen sind richtig? Argumentiere mit Hilfe von Venn-Diagrammen.

$(A\cap B)\subset A$
$A\subset (A\cup B)$
$A\subset A^c$
$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$
$A\setminus B=A\cap B^c$
$(A^c)^c=A$
$|A\cup B|\leq |A|+|B|$

F5

Drücke die folgenden Venn-Diagramme nur mit Hilfe von Schnittmenge, Vereinigung und Komplement aus:

F6

$A$ und $B$ haben die Universalmenge $U$ . Es gilt $|U|=10$ , $|A|=3$ , $|B|=4$ , und $|A\cup B|=5$ . Bestimme

$|A\cap B|$
$|B\setminus A|$
$|A^c|$

F7

Vereinfache die folgenden Ausdrücke:

$A\cap A$
$A\cup A$
$A\cap \overline{A}$
$A\cup (A\setminus B)$
$A\cap (A\cup B)$
$(A\setminus B)\cap (A\cap B)$

F8

Was für eine Menge erhält man, wenn alle unten stehenden Mengen (1)-(8) vereinigt werden?

$A\cap B\cap C$
$A^c\cap B\cap C$
$A\cap B^c\cap C$
$A\cap B\cap C^c$
$A^c\cap B^c\cap C$
$A^c\cap B\cap C^c$
$A\cap B^c\cap C^c$
$A^c\cap B^c\cap C^c$

Solution

A1

A2

$A\cup B = \{1,3,4,5,6,7,8,9\}$
$A\cap B = \{5,7\}$
$A^c = \{2,4,6,8,10,11\}$
$A\setminus B = \{1,3,9\}$
$A\cap B\cap C = \{5\}$
$A\cup(A\cap C) = \{1,3,5,7,9\}$

A3

A4

A5

$A\cap B$
$(A\cup B) \cap (A\cap B)^\prime$ or $(A^\prime \cap B)\cup (A\cap B^\prime)$
$A$
$B\cap A^\prime$
$(A\cup B)^\prime$
e.g $((A\cap B) \cup (A\cap C) \cup (B\cap C)) \cap (A\cap B\cap C)^\prime$

A6

A7

A8

The union is the universal set $U$ :