Mittelwert und Standardabweichung und W'keit

Wir kennen bereits den Mittelwert und die Standarabweichung von einer Datenmenge.

Definition 1

Gegeben sind $n$ Datenpunkte $x_1, ..., x_n$ . The Mittelwert or Durchschnitt der Datenpunkte ist

\begin{array}{lll} m &=& \frac{x_1+...+x_n}{n} \end{array}

Die Standardabweichung der Datenpunkte (vom Mittelwert) ist

\begin{array}{lll} s = \sqrt{\frac{(x_1-m)^2+...+(x_n-m)^2}{n}} \end{array}

$s$ ist die typische Abweichung eines Datenpunkts vom Mittelwert $m$ . Je grösser $s$ , desto weiter sind die Daten gestreut.

Hier ist ein Beispiel:

Exercise 1

Aufgabe 1

Bestimme den Mittelwert und die Standardabweichung der folgenden Daten:

$4, 6, 3.5, 3, 6$
$-30, 43, 21.2, 0$

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Lösungen

$m=4.5, s=1.26$
$m=8.55, s=\sqrt{726.5075}=26.95$

Exercise 2

Aufgabe 2

Gegeben sind $1000$ Melonen, wobei $20\%$ das Gewicht $3.2 kg$ besitzen, $50\%$ haben das Gewicht $3.5 kg$ , und die verbleibenden $30\%$ haben ein Gewicht von $4.1 kg$ . Bestimme das durchscnittliche Gewicht, und die typische Abweichung von diesem Durchschnitt.

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Lösung

$200$ wiegen $3.2 kg$ , $500$ wiegen $3.5 kg$ , und $300$ Melonen wiegen $4.1 kg$ . Wir haben also

\begin{array}{lll} m &=& \frac{200\cdot 3.2 + 500\cdot 3.5 + 300\cdot 4.1}{1000}\\ &=& \frac{200\cdot 3.2}{1000} + \frac{500\cdot 3.5}{1000} + \frac{300\cdot 4.1}{1000}\\ &=& 0.2\cdot 3.2 + 0.5\cdot 3.5 + 0.3\cdot 4.1\\ &=& \underline{3.62 kg}\\[1em] s &=& \sqrt{\frac{200\cdot (3.2-3.62)^2+500\cdot (3.5-3.62)^2+300\cdot (4.1-3.62)^2}{1000}}\\ &=& \sqrt{\frac{200\cdot (3.2-3.62)^2}{1000}+\frac{500\cdot (3.5-3.62)^2}{1000}+\frac{300\cdot (4.1-3.62)^2}{1000}}\\ &=& \sqrt{0.2\cdot (3.2-3.62)^2+ 0.5\cdot (3.5-3.62)^2 + 0.3\cdot (4.1-3.62)^2}\\ &=& \underline{0.334 kg} \end{array}

Beachte, dass wir die Anzahl Melonen nicht kennen müssen, um den Durchschnitt und die Standardabweichung des Gewichts zu berechnen. Prozentangaben genügen. Hier ist ein Rechnungsbeispiel.

Exercise 3

Beispiel

Nimm an, dass $35\%$ der Datenpunkte den Wert $7.1$ besitzen, und die restlichen $65\%$ der Datenpunkte den Wert $9$ . Bestimme den Durchsnitt und die Standardabweichung der Punkte.

Wir im Beispiel oben haben wir

m=0.35\cdot 7.1 + 0.65\cdot 9=8.335

und

s=\sqrt{0.35\cdot (7.1-8.335)^2 + 0.65\cdot (9-8.335)^2}=0.90624

Falls unklar ist, wieso das gilt, schaue die Lösung an.

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Erklärung

Nimm an, es gibt $n$ Datenpunkte (zum Beispiel $n=1000$ ). Also hat es $0.35 n$ Datenpunkte mit Wert $7.1$ und $0.65 n$ Datenpunkte mit wert $9$ . Es gibt also $0.35n$ quadrierte Differenzen $(7.1-m)^2$ und $0.65n$ quadrierte Differenzen $(9-m)^2$ . Also gilt

\begin{array}{lll} m &=& \frac{0.35n \cdot 7.1 + 0.65n\cdot 9}{n}\\ &=& \frac{0.35\cdot n\cdot 7.1}{n} + \frac{0.65\cdot n\cdot 9}{n}\\ &=& 0.35\cdot 7.1+0.65\cdot 9\\ &=& 8.335\\ s &=& \sqrt{\frac{0.35n \cdot (7.1-8.335)^2 + 0.65n\cdot (9-8.335)^2}{n}}\\ &=& \sqrt{\frac{0.35\cdot n\cdot (7.1-8.335)^2}{n} + \frac{0.65\cdot n\cdot (9-8.335)^2}{n}}\\ &=& \sqrt{0.35\cdot (7.1-8.335)^2 + 0.65\cdot (9-8.335)^2}\\ &=& 0.906 \end{array}

Da wahrscheinlichkeiten ebenfalls Prozente sind (von der Anzahl Repetetition des Experiments), können wir diesselbe Formel auch auf Wahrscheinlichkeiten anwenden.

Exercise 4

Beispiel

Nimm an, eine Box enthält Kugeln mit zwei verschiedenen Gewichten. Die einen wiegen $7.1 kg$ , die anderen $9 kg$ . Zur Abkürzung brauchen wir den Buchstaben $W$ für $W$ ="das Gewicht der Kugel". Eine Kugel werde zufällig gezogen, wobei die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel mit Gewicht $7.1 kg$ zu ziehen gegeben ist durch $p(W=7.1)=0.35$ , und die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel mit Gewicht $9 kg$ gezogen wird sei $p(W=9)=0.65$ .

Falls das Experiment extrem of wiederholt wird, wie gross ist im Durchscnhitt das Gewicht der gezogenen Kugel? Und was ist die Standardabweichung von diesem Durchschnitt?

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Lösung

Falls das Experiment oftmals wiederholt wird, so erscheint die Kugel mit Gewicht $7.1 kg$ in $35\%$ der Fälle, und die Kugel mit $9 kg$ in $65\%$ der Fälle. So haben wir die Wahrscheinlichkeiten definiert. Wir haben also

m = 0.35 \cdot 7.1 + 0.65\cdot 9 =\underline{8.335}

und

s=\sqrt{0.35\cdot (7.1-8.335)^2 + 0.65\cdot (9-8.335)^2}=\underline{0.906}

Der Buchstabe $W$ wird übrigens Zufallsvariable gennant, da der Wert von $W$ zufällig zwischen den möglichen Werten $7.1$ und $9$ wechselt, je nach dem welche Kugel zufällig gezogen wird. Die Liste der Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Werte von $W$

p(W=7.1)=0.35, p(W=9)=0.65

wird Wahrscheinlichkeitsverteilung von $W$ genannt. Wir können übrigens auch schreiben

m=p(W=7.1)\cdot 7.1 + p(W=9)\cdot 9

s=\sqrt{p(W=7.1)\cdot (7.1-m)^2 + p(W=9)\cdot (9-m)^2}