Exakte Differentialgleichungen

Example 1: Freier Fall im homogenen Gravitationsfeld

Ein Körper der Masse $m$ fällt reibungsfrei nach Newton:

m \dot{v} = m \text{g}

Mit der Kettenregel $\dot v = v\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}$ folgt

m v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y} = m \text{g}

Multiplizieren mit $\mathrm{d}y$ ergibt

m v\,\mathrm{d}v - m \text{g}\,\mathrm{d}y = 0

Dies ist eine exakte Differentialgleichung ...

Solution

... mit Potential

F(y,v)=\tfrac{1}{2} m v^2 - m \text{g} y

Wir rechnen $\mathrm{d}F/\mathrm{d}t = 0$ .

Exercise 1: Energieerhaltung

Bestätige, dass $\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t} = 0$ .

Solution

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t} &= -m\text{g}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{2}m\frac{\mathrm{d}v^2}{\mathrm{d}t}\\ &= -m\text{g}v + \frac{1}{2}m\cdot2v\cdot\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\\ &= -m\text{g}v + mv\text{g}\\ &= 0 \end{align*}

Physikalisch bedeutet das Energieerhaltung:

\tfrac{1}{2} m v^2 - m \text{g} y = K = \tfrac{1}{2} m v_0^2 - m \text{g} y_0

Wir erhalten für die Geschwindigkeit $v$ in der Höhe $y$

v(y) = \sqrt{\,v_0^2 + 2\text{g}\,(y-y_0)\,}

und für die Höhe zur Geschwindigkeit

y(v) = y_0 + \frac{1}{2\text{g}}(v^2-v_0^2)

Definition 1: Exakte Differentialgleichung

Sei $\mathbb{G}\subset\mathbb{R}^2$ ein Gebiet. Die Differentialgleichung

P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y = 0

mit $P,Q:\mathbb{G}\longrightarrow\mathbb{R}$ heisst exakt, wenn es eine stetig differenzierbare Funktion $F:\mathbb{G}\longrightarrow\mathbb{R}$ (ein sogenanntes Potential) gibt, so dass $\frac{\partial F}{\partial x}=P$ und $\frac{\partial F}{\partial y}=Q$ gilt.

Note 1

Eine Lösung $F$ der obigen DGL heisst Potentialfunktion des Vektorfeldes $(P\mid Q)$ .

Wir erhalten die sogenannten Niveaulinien $F^{-1}(K)$ mit $K\in\mathbb{R}$ , indem wir $F(x,y)$ nach einer der Variablen auflösen.
(Exakte Differentialgleichungen kommentiert)

Theorem 1: Integrabilitätsbedingung

Gilt auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $\mathbb{G}$ mit stetig differenzierbaren $P,Q$

\frac{\partial}{\partial y}P=\frac{\partial}{\partial x}Q,

dann ist die Differentialgleichung $P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=0$ exakt.

Proof

Wenn die DGL exakt ist, existiert ein Potential $F$ mit

P=\frac{\partial F}{\partial x},\quad Q=\frac{\partial F}{\partial y}

Dann folgt

\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial^2 F}{\partial y\,\partial x},\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial^2 F}{\partial x\,\partial y}

und mit dem Satz von Schwarz Gleichheit der gemischten Ableitungen. Umgekehrt (Skizze): Aus $\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$ folgt auf einfach zusammenhängenden Gebieten mittels des Poincaré-Lemmas die Existenz eines Potentials $F$ .

Exercise 2: Harmonischer Oszillator

Nach Newton ist für eine Hookesche Feder

m\dot v = -k y,

mit Federkonstante $k$ und Auslenkung aus der Ruhelage $y$ .

Wie oben $\dot{v} = v\,\tfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}$ :

m v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y} = -k y

a) Schreibe diese Gleichung in der Standardform und prüfe, ob sie exakt ist.

b) Berechne das Potential $F(y,v)$ und seine Niveaulinien $F(y,v) = K$ .

Solution

a) Multiplizieren mit $\mathrm{d}y$ ergibt

mv\,\mathrm{d}v + ky\,\mathrm{d}y = 0

und $\frac{\partial}{\partial y}(mv) = 0$ sowie $\frac{\partial}{\partial v}(ky) = 0$ . Also ist die DGL exakt.

b) Das Potential ist

F(y,v)=\tfrac{1}{2} m v^2 + \tfrac{1}{2} k y^2

und die Niveaulinien

v(y) = \pm\sqrt{\frac{2K}{m}-\frac{k}{m}y^2}

Exercise 3: Exakte DGL lösen

Prüfe, ob die Differentialgleichung

(\cos(y)+2xy)\,\mathrm{d}x+(x^2-y-x\sin(y))\,\mathrm{d}y=0

exakt ist. Bestimme das Potential $F(x,y)$ und die Niveaulinien $x(y)$ .

Solution

Es ist $\frac{\partial P}{\partial y} = -\sin(y)+2x$ und $\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x-\sin(y)$ , also ist die Integrabilitätsbedingung erfüllt und die Differentialgleichung damit exakt.

Wir bilden

\begin{align*} \int (\cos(y)+2xy)\,\mathrm{d}x &= x\cos(y)+x^2y+C_1(y)\\ \int (x^2-y-x\sin(y))\,\mathrm{d}y &= x^2y-\frac{1}{2}y^2+x\cos(y)+C_2(x) \end{align*}

und erkennen $F(x,y)=x^2y-\frac{1}{2}y^2+x\cos(y)$ . Die Niveaulinien erhalten wir aus $x^2y-\frac{1}{2}y^2+x\cos(y)\stackrel{!}{=}k$ . Diese Gleichung lösen wir vorzugsweise nach $x$ auf:

x_{1,2}=\frac{-\cos(y)\pm\sqrt{\cos^2(y)+2y^3+4yk}}{2y}

Note 2: Integrierender Faktor

Wir setzen nun voraus, dass $\mathbb{G}\subset\mathbb{R}^2$ ein Gebiet ist und $P:\mathbb{G}\longrightarrow\mathbb{R}$ , $Q:\mathbb{G}\longrightarrow\mathbb{R}$ Funktionen sind. Wenn nun die Differentialgleichung

P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=0

nicht exakt ist, kann man versuchen, eine nichttriviale Funktion $M:\mathbb{G}\longrightarrow\mathbb{R}$ so zu bestimmen, dass

(MP)\,\mathrm{d}x+(MQ)\,\mathrm{d}y=0

exakt ist. Eine solche Funktion nennen wir einen integrierenden Faktor für die obige Differentialgleichung. Die Lösung dieser Differentialgleichung ist auch Lösung der ursprünglichen, nicht exakten Differentialgleichung.

Exercise 4: Exakte DGL lösen II

Überprüfe die folgenden Gleichungen auf Exaktheit. Falls keine Exaktheit vorliegt, versuche einen integrierenden Faktor zu finden und bestimme die Lösungen.

a) $y y' = x$

b) $x y' = -y$

c) $x - y + (1 - x) y' = 0$

d) $4x + 3y^2 + 2xyy' = 0$

Solution

a) Umgeschrieben $-x\,\mathrm{d}x+y\,\mathrm{d}y=0$ . Die DGL ist exakt.

\begin{align*} \int (-x)\,\mathrm{d}x &= -\frac{1}{2}x^2+C_1(y)\\ \int y\,\mathrm{d}y &= \frac{1}{2}y^2+C_2(x) \end{align*}

Dies ergibt $F(x,y)=\frac{1}{2}y^2-\frac{1}{2}x^2$ und für die Niveaulinien $y(x)=\pm\sqrt{x^2+2k}$ .

b) Umgeschrieben $y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y=0$ . Die DGL ist exakt.

\begin{align*} \int y\,\mathrm{d}x &= x y + C_1(y)\\ \int x\,\mathrm{d}y &= x y + C_2(x) \end{align*}

Dies ergibt $F(x,y)=x y$ und für die Niveaulinien $y(x)=\frac{k}{x}$ .

c) Umgeschrieben $(x-y)\,\mathrm{d}x+(1-x)\,\mathrm{d}y=0$ . Die DGL ist exakt.

\begin{align*} \int (x-y)\,\mathrm{d}x &= \frac{1}{2}x^2-xy+C_1(y)\\ \int (1-x)\,\mathrm{d}y &= y-xy+C_2(x) \end{align*}

Dies ergibt $F(x,y)=\frac{1}{2}x^2+y-xy$ und für die Niveaulinien $y(x)=\frac{-\frac{1}{2}x^2+k}{1-x}$ .

label

d) Umgeschrieben $(4x+3y^2)\,\mathrm{d}x+2xy\,\mathrm{d}y=0$ . Die DGL ist nicht exakt. Man findet als integrierenden Faktor $M(x,y)=x^2$ .

\begin{align*} \int (4x^3+3y^2x^2)\,\mathrm{d}x &= x^4+x^3 y^2+C_1(y)\\ \int 2x^3 y\,\mathrm{d}y &= x^3 y^2+C_2(x) \end{align*}

Dies ergibt $F(x,y)=x^4+x^3 y^2$ und für die Niveaulinien $y(x)=\pm\sqrt{\frac{-x^4+k}{x^3}}$ .

(Übungen zu exakten Differentialgleichungen kommentiert)