Potentiale

Sei $\vec{E}$ ein elektrisches Feld in der Ebene. Sei $U$ das Potential dieses Feldes. Also $\vec{E} = -\nabla U$ , wobei $U$ eine Funktion der beiden unabhängigen Veränderlichen $x,y$ sei. Welches sind die Linien, längs denen das Potential konstant ist, die Äquipotentiallinien? Um die Äquipotentiallinien zu finden, geben wir uns eine, zunächst beliebige, Konstante $c$ vor und stellen die Frage, wo ist $U=c$ ? Die Annahme, dass diese Linie durch $y = y(x)$ zu beschreiben ist, führt auf

\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial U}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0.

Dies ist ein Beispiel einer sogenannten exakten Differentialgleichung. (Das elektrische Feld kommentiert)

Exercise 1

Überlege kurz, dass obige Bedingung sinnvoll ist.

Solution

Da wir Äquipotentiallinien suchen, müssen die Richtungsableitungen $0$ ergeben.