Das Basel-Problem

Das Basel-Problem: Von der Vermutung zum Beweis

Das Basel-Problem (1644 erstmals formuliert) fragt nach der exakten Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen. Leonhard Euler löste es 1734 und verblüffte die Welt mit dem Auftauchen der Kreiszahl $\pi$ .

Die Fragestellung

Gesucht ist der Wert der unendlichen Reihe:

S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots

Eulers genialer (intuitiver) Lösungsweg

Euler kombinierte zwei Darstellungen der Sinus-Funktion:

Die Taylor-Reihe: Teilt man die Sinus-Reihe durch $x$ , erhält man:

\frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \dots

Der Koeffizient vor dem $x^2$ -Term ist hier $-1/6$ .

Die Produktdarstellung (Nullstellen): Da $\sin(x)/x$ Nullstellen bei $\pm \pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \dots$ hat, schrieb Euler sie als unendliches Produkt:

\frac{\sin(x)}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right) \left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right) \left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \dots

Der Koeffizientenvergleich: Beim Ausmultiplizieren des Produkts entsteht der $x^2$ -Term durch die Summe aller Brüche:

x^2\text{-Term} = -\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \dots\right) x^2

Durch Gleichsetzen mit $-1/6$ aus der Taylor-Reihe folgt:

-\frac{1}{6} = -\frac{1}{\pi^2} \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots\right)

Multipliziert mit $-\pi^2$ ergibt sich das Resultat:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

Was daran "nicht ganz wasserdicht" war

Euler wandte Regeln für endliche Polynome einfach auf unendliche Reihen an, ohne zu beweisen, dass die Funktion durch ihre Nullstellen vollständig bestimmt ist und dass der Koeffizientenvergleich im Unendlichen zulässig ist. Erst Karl Weierstrass lieferte mit seinem Produktsatz die formale Basis.

Vertiefung: Der Beweis über das Doppelintegral

Motivation der Integraldarstellung: Man nutzt das Integral einer Potenzfunktion:

\int_{0}^{1} x^{n-1} \, dx = \frac{1}{n} \implies \frac{1}{n^2} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (xy)^{n-1} \, dx \, dy

Summation der ungeraden Terme: Um Singularitäten zu vermeiden, betrachtet man oft zuerst die Summe der ungeraden Quadrate ( $n = 1, 3, 5, \dots$ ):

\sum_{n=1,3,5...}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{1-x^2 y^2} \, dx \, dy

Die Substitution und die Jacobi-Matrix: Hierfür nutzt man die Substitution nach Beukers:

x = \frac{\sin u}{\cos v}, \quad y = \frac{\sin v}{\cos u}

Die Jacobi-Matrix $J$ lautet:

J = \begin{pmatrix} \frac{\cos u}{\cos v} & \frac{\sin u \sin v}{\cos^2 v} \\ \frac{\sin u \sin v}{\cos^2 u} & \frac{\cos v}{\cos u} \end{pmatrix}

Die Determinante berechnet sich zu:

\det(J) = \left( \frac{\cos u}{\cos v} \cdot \frac{\cos v}{\cos u} \right) - \left( \frac{\sin u \sin v}{\cos^2 v} \cdot \frac{\sin u \sin v}{\cos^2 u} \right) = 1 - x^2 y^2

Da $dx \, dy = (1-x^2 y^2) \, du \, dv$ , vereinfacht sich das Integral zu:

\iint_{Dreieck} \frac{1}{1-x^2 y^2} \cdot (1-x^2 y^2) \, du \, dv = \iint_{Dreieck} 1 \, du \, dv

Die Herleitung der Eckpunkte des Dreiecks: Um den neuen Integrationsbereich zu finden, prüfen wir, wohin die Ecken des ursprünglichen Einheitsquadrats ( $x, y \in [0,1]$ ) abgebildet werden:

Ursprung $(0,0)$ : Aus $x=0$ folgt $\sin u = 0$ , also $u=0$ . Aus $y=0$ folgt $\sin v = 0$ , also $v=0$ . Der Punkt bleibt bei $(0,0)$ .
Ecke $(1,0)$ : Aus $y=0$ folgt $v=0$ . Setzt man das in die Gleichung für $x$ ein, erhält man $x = \sin u / \cos(0) = \sin u$ . Damit $x=1$ wird, muss $u = \pi/2$ sein. Das ergibt den Punkt $(\pi/2, 0)$ .
Ecke $(0,1)$ : Aus $x=0$ folgt $u=0$ . Eingesetzt in die $y$ -Gleichung ergibt sich $y = \sin v$ . Für $y=1$ muss $v = \pi/2$ sein. Das liefert den Punkt $(0, \pi/2)$ .
Der Rand für $xy \to 1$ : Wenn $x \to 1$ und $y \to 1$ , nähert sich die Bedingung der Form $\sin u = \cos v$ an. Trigonometrisch entspricht das genau der Geraden $u + v = \pi/2$ .

Das Quadrat im $x$ - $y$ -Raum verformt sich durch die Substitution also exakt zu einem Dreieck im $u$ - $v$ -Raum. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ist:

\text{Fläche} = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{8}

Der finale Schritt zur Gesamtsumme

Sei $S$ die Gesamtsumme. Die Summe der geraden Terme ist:

\frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + \dots = \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots \right) = \frac{1}{4} S

Die Summe der ungeraden Terme ist also $S - \frac{1}{4} S = \frac{3}{4} S$ . Da wir wissen, dass die ungerade Summe $\pi^2/8$ ist:

\frac{3}{4} S = \frac{\pi^2}{8} \implies S = \frac{4}{3} \cdot \frac{\pi^2}{8} = \frac{\pi^2}{6}

Bedeutung heute

Das Basel-Problem ist der Spezialwert $\zeta(2)$ der Riemannschen Zeta-Funktion. Es verknüpft Analysis, Zahlentheorie und Geometrie auf fundamentale Weise.