Tangenten- & Flächenproblem

Die Mathematik der Antike hat ihrer Nachwelt zwei klassische Probleme überliefert:

• das Tangentenproblem und
• das Flächenproblem.

Historisches zur durchschnittlichen Änderungsrate

Nichts entgeht der Veränderung. Alles wächst oder schrumpft, erwärmt sich oder kühlt sich ab, wechselt die Stellung, die Farbe oder die Zusammensetzung. Die Fauna und die Flora liefern beliebig viele Beispiele. Selbst Felsen dehnen sich in der Sonne aus und ziehen sich im Schatten zusammen.

Der Mathematik der Antike gelang es nicht, veränderliche Grössen mathematisch zu erfassen. Ihre Mathematik war, bis auf wenige Ausnahmen, eine feste und stillstehende Welt. Andererseits zeigt dies, dass es sehr schwer ist, einen Veränderungsprozess zu analysieren und das dahinterstehende Naturgesetz zu finden. Erst im 16. und 17. Jahrhundert war die Zeit reif, den allgemeinen Begriff der veränderlichen Grösse in die Mathematik aufzunehmen.

Für die Anwendungen der Mathematik standen Probleme der Geodäsie, der Astronomie, des Artilleriewesens, der Schifffahrt, des Kanalbaus, der maschinellen Ausrüstung von Manufakturen im Vordergrund. Die Uhren mussten enorm verbessert werden. Leonardo da Vinci machte sich sogar schon Gedanken über Flugmaschinen, Unterseeboote und Wagen, die ohne Zugtiere fahren konnten. Die Mathematik sollte vor allem mechanische Bewegungsabläufe - Planetenbewegungen, Fallbewegungen, Bewegungen gegeneinander beweglicher Maschinenteile - erfassen und theoretisch beschreiben können.

Der neuen Mathematik des 16. und 17. Jahrhunderts gelang es, mit denselben Methoden, sowohl das Tangentenproblem als auch das Flächenproblem zu lösen! Sie konnte gleichzeitig die Verwandtschaft und die Gleichartigkeit dieser Probleme, inklusive der Bewegungsprobleme, aufzeigen. Auf diesen Lösungen aufbauend konnten weitere Probleme, die die naturwissenschaftliche Entwicklung immer weiter vorantrieben, bewältigt werden.

René Descartes (1596 - 1650) gelang es, die gegenseitige Abhängigkeit von veränderlichen Grössen - ausgedrückt durch eine Gleichung oder eine Funktion - in einem Koordinatensystem graphisch darzustellen. Weiter konnten die einzelnen Zustände einer Bewegung sichtbar gemacht und genau studiert werden. Es fehlte aber noch die klare Erfassung des Funktionsbegriffes und eine auf veränderliche Grössen zugeschnittene Rechentechnik. In der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts schufen dann Isaac Newton (1643 - 1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) unabhängig voneinander etwas für die bisherige Mathematik völlig Neues, das die analytische Koordinatengeometrie von Descartes mit der von Archimedes stammenden Exhaustionsmethode verband. Dieses neue Gebiet der Mathematik heisst heute Analysis oder im englischen Sprachraum Calculus.

Die Differenzialrechnung, die das Tangentenproblem löst, bildet unter anderem die Grundlage der mechanischen Bewegungen. Mit ihr kann beispielsweise der Physiker oder Techniker aus einer gegebenen Bahnkurve für jeden Zeitpunkt die augenblickliche Geschwindigkeit ermitteln! Später eroberte sich die Differenzialrechnung immer mehr Anwendungsgebiete; zum Beispiel ist sie für die heutigen Wirtschaftswissenschaften unentbehrlich geworden.

Mit der Integralrechnung, die das Flächenproblem löst, konnte man bald nach ihrer Entdeckung auch die Bogenlänge eines Kurvenstückes oder den Rauminhalt und die Oberfläche eines krummflächig begrenzten Körpers berechnen, aber auch viele physikalische Begriffe, wie zum Beispiel Schwerpunkt, Trägheitsmoment, Arbeit etc. mathematisch erfassen. Als besonders nützlich erwies sich die Integralrechnung zu der Zeit, als Kohle als Energiequelle die Arbeit des Menschen und des Lasttiers zu ersetzen begann. Mit ihr konnte man nämlich die Leistung und den Wirkungsgrad von Maschinen berechnen. Später wurde die Integralrechnung auch zur Grundlage der Chemie der Energiestoffe (Thermodynamik).

Bei einer veränderlichen Situation ist nicht nur der augenblickliche Zustand von Interesse, vielmehr interessiert oft, mit welcher Geschwindigkeit sich die Situation ändert. Für die Wettervorhersage ist nicht allein die Grösse des Luftdrucks wichtig, sondern vor allem, wie stark der Druck je Stunde steigt oder fällt. Für den Wirtschaftswissenschaftler ist neben dem Marktpreis eines Produktes von besonderer Wichtigkeit, wie schnell sich der Preis mit der Zeit ändert (Teuerungsrate). Die Infinitesimalrechnung von Newton und Leibniz kann diese und ähnliche Fragen mit zwei neuen Verfahren, der Differenziation und der Integration, beantworten.