Darstellung von Folgen

Beispiele:

\begin{aligned} (a_n) & = (1, 3, 5, 7, 9, \ldots) \\ (b_n) & = (1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots) \\ (c_n) & = \left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots\right) \end{aligned}

Definition 1

Eine Folge reeller Zahlen $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ist eine Abbildung, die jeder natürlichen Zahl $n$ eine reelle Zahl $a_n$ zuordnet. Statt $a_1, a_2, a_3, \ldots$ schreiben wir oft $\left(a_n\right)$ , um die Folge als Ganzes zu bezeichnen.

Die Zahl $a_n$ heisst das $n$ -te Element der Folge oder das $n$ -te Folgenglied; $a_{n-1}$ ist der Vorgänger, $a_{n+1}$ der Nachfolger von $a_n$ .

Example 1

Für $(a_n) = 1, 2, 4, 8, \ldots$ gilt $a_1 = 1$ , $a_3 = 4$ und $a_{10} = \underline{\quad}$
Für $(b_n) = 1, 4, 9, 16, \ldots$ gilt $b_1 = 1$ , $b_3 = 9$ und $b_{10} = \underline{\quad}$
Für $(c_n) = 2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \ldots$ gilt $c_1 = 2$ , $b_3 = \frac{4}{3}$ und $c_{10} = \underline{\quad}$
Für $(d_n) = 0, 0.9, 0.99, 0.999, \ldots$ gilt $d_1 = 0$ , $d_3 = 0.99$ und $d_{10} = \underline{\quad}$

Solution

512
100
$\frac{11}{10}$
$0.999\,999\,999$

Es gibt zwei Arten, wie wir Folgen mathematisch beschreiben können:

explizit: Wir geben eine direkte Formel für das $n$ -te Folgenglied $a_n$ an.
rekursiv: Wir geben eine Formel an, wie man das $n$ -te Folgenglied aus dem Vorgänger (oder den Vorgängern) berechnet, und wir geben den Start der Folge an.

Example 2

Betrachten Sie die Folge $(a_n) = (3, 9, 27, 81, \ldots)$ . Die explizite Definition lautet

a_n = 3^n

Die implizite Definition lautet

a_n = 3a_{n-1} \quad \text{und}\quad a_1 = 3

Exercise 1

Geben Sie die ersten 5 Folgenglieder an:

$a_n = 3n$
$b_n = (-1)^n$
$c_n = \frac{n+2}{2}$

Solution

3, 6, 9, 12, 15
-1, 1, -1, 1, -1
$\frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}$

Exercise 2

Geben Sie die ersten vier Folgenglieder der rekursiv definierten Folge an:

a_1 = 2, \quad a_{n} = a_{n-1} + 4.

Solution

2, 6, 10, 14

Exercise 3

Eine Folge ist rekursiv definiert durch

b_1 = 5, \quad b_n = \frac{1}{2}\, b_{n-1}

Bestimmen Sie $b_1, b_2, b_3, b_4$
Finden Sie eine explizite Formel

Solution

$5, \frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{8}$
$a_n = \frac{5}{2^{n-1}}$

Exercise 4

Bestimmen Sie für die explizit gegebene Folge

c_n = \frac{1}{n}

die Werte $c_1, c_2, c_{10}, c_{100}$ .

Solution

$c_1 = 1, c_2 = \frac{1}{2}, c_{10} = \frac{1}{10}, c_{100}= \frac{1}{100}$

Exercise 5

Finden Sie die explizite und rekursive Darstellung für jede der Folgen aus Beispiel 1.

Solution

explizit:

$a_n = 2^{n-1}$
$b_n = n^2$
$c_n = \frac{n+1}{n}$
$d_n = 1 - 0.1^{n-1}$

rekursiv:

$a_1 = 1, a_n = 2a_{n-1}$
$b_1 = 1, b_n = b_{n-1} \cdot \frac{n^2}{(n-1)^2}$ oder $b_n = b_{n-1} + 2n - 1$
$c_1 = 2, c_n = c_{n-1} \cdot \frac{(n+1)(n-1)}{n^2}$ oder $c_{n} = c_{n-1} - \frac{1}{n(n+1)}$
$d_1 = 0, d_n = d_{n-1} + 9\cdot 0.1^n$

Exercise 6

Bestimmen Sie die ersten 6 Elemente der Folge

$a_1 = 2, \quad a_n = 3 \cdot a_{n-1} - 1$
$b_1 = 1, \quad b_n = b_{n-1} + 2(n-1) + 1$
$c_1 = 1, c_2 = 1, \quad c_{n+1} = c_n + c_{n-1}$
$d_n = n^2 - 3n$
$e_n = (-1)^n \cdot n$
$f_n = \frac{1}{n(n+1)}$

Solution

$2, 5, 14, 41, 122, 365$
$1, 4, 9, 16, 25, 36$
$1, 1, 2, 3, 5, 8$
$-2, -2, 0, 4, 10, 18$
$-1, 2, -3, 4, -5, 6$
$\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \frac{1}{42}$

Exercise 7

Sei $a_1 = 6$ und $a_{n+1} = a_n + 2(n+1)$ . Bestimmen Sie $b$ und $c$ so, dass $a_n = n^2 + bn + c$ eine explizite Definition von $(a_n)$ ist, und berechnen Sie $a_{21}$ .

Solution

$b = 1, \quad c = 4$ und $a_{21} = 466$

Exercise 8

Finden Sie eine explizite Definition für die Folge $(a_n) = 3, 4, 6, 9, 13, \ldots$ .

Solution

$a_n = 0.5n^2 - 0.5n + 3$