Distanzprobleme

Im Allgemeinen gilt hier: Die Formelsammlung ist dein Freund. Man kann die Formeln nachschauen, anwenden und kann vermutlich Punkte sammeln.

Schöner ist es natürlich, eine Vorgehensweise parat zu haben, die man selbst auch versteht:

Punkt zu Ebene

Angenommen, wir haben eine Ebene $E$ und einen Punkt $P$ deren Abstand wir herausfinden möchten. Der Grundgedanke ist, dass man den Punkt $S$ auf der Ebene sucht, der dem Punkt $P$ am nächsten liegt. Der Vektor $\overrightarrow{SP}$ muss dann senkrecht zur Ebene stehen, also ein Vielfaches des Normalenvektors sein.

Dafür führen wir eine Hilfsgerade $g$ ein, die senkrecht zur Ebene steht - der Richtungsvektor ist also der Normalenvektor der Ebene - und die durch den Punkt $P$ verläuft:

Der Schnittpunkt von $g$ und $E$ ist dann der Punkt der Ebene, der $P$ am nächsten liegt. Der Abstand von $P$ zu $E$ entspricht $\left\vert \overrightarrow{SP}\right\vert$.

Punkt zu Gerade

Um den Abstand eines Punktes $P$ zu einer Geraden $g$ zu bestimmen, nutzen wir die gleiche Idee. Wir suchen den Punkt $S$ auf $g$, der den kleinsten Abstand zu $P$ besitzt. Dann muss wiederum $\overrightarrow{SP}$ senkrecht zur Geraden $g$ stehen.

Wir bestimmen eine Hilfsebene $E$, die durch den Punkt $P$ verläuft und senkrecht zur Geraden $g$ steht -- d.h., der Normalenvektor der Ebene muss dem Richtungsvektor der Geraden entsprechen. Der gesuchte Punkt $S$ ist dann der Schnittpunkt von Ebene und Gerade.

Gerade zu Ebene

Der Abstand zwischen Gerade und Ebene ist nur dann interessant, wenn die Gerade parallel zur Ebene liegt. Dann hat aber jeder Punkt auf der Geraden denselben Abstand zur Ebene. Wir können also einen beliebigen Punkt auf der Geraden wählen und den Abstand zur Ebene bestimmen.

Aufgaben