Die quadratische Funktion

Die quadratische Funktion kann als lineare Funktion plus quadratischen Term gedacht werden:

f(x)=ax2+bx+cx\boxed{f(x)=ax^2+bx+cx}

Dies ist die Normalform der quadratischen Funktion. Die Buchstaben aa, bb und cc stehen für konstante Zahlen, wobei aa nicht 00 sein darf (sonst wäre es eine lineare Funktion). Diese Zahlen werden wie immer Koeffizienten genannt.

Exercise 1

Beispiel

  • f(x)=3x2+2x+1f(x)=3x^2+2x+1
  • g(x)=x2−1g(x)=x^2-1
  • h(x)=−1.5x2−12xh(x)=-1.5x^2-\frac{1}{2}x
  • k(x)=3(x−2)2−5k(x)=3(x-2)^2-5

Wir wissen bereits, dass wir durch quadratisches Ergänzen (siehe dazu Kapitel Quadratisches Ergänzen in Precalc 1) jede quadratische Funktion auch in der folgenden Form schreiben können:

f(x)=s⋅(x−u)2+v\boxed{f(x)=s\cdot (x-u)^2+v}

Dies ist die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion. Wiederum sind ss, uu und vv feste Zahlen, die nun Parameter genannt werden.

Wir werden sehen, dass es je nach Kontext einfacher ist, entweder mit der Normalform oder der Scheitelpunktform zu arbeiten. Es ist deshalb wichtig, dass wir zwischen diesen Formen hin- und herwechseln können. Es folgt ein Beispiel, dann ein paar Übungen.

Example 1: Scheitelpunktform \rightarrow Normalform

Finde die Normalform der quadratischen Funktion f(x)=3(x−1)2+4f(x)=3(x-1)^2+4 und bestimme die Koeffizienten aa, bb und cc.

Lösung: Mit Ausmultiplizieren erhalten wir

f(x)=3(x2−2x+1)+4=3x2−6x+7\begin{array}{ll} f(x) & = & 3(x^2-2x+1)+4\\ & = & 3x^2-6x+7 \end{array}

und somit gilt a=3,b=−6a=3, b=-6 und c=7c=7

Example 2: Normalform \rightarrow Scheitelpunktform

Finde die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion f(x)=5x2−10x+2f(x)=5x^2-10x+2 und bestimme die Parameter ss, uu, und vv.

Lösung: Wir wollen quadratisch ergänzen, und klammern deshalb zuerst die 55 aus

f(x)=5(x2−2x⏟(x−1)2−12)+2f(x)=5(\underbrace{x^2-2x}_{(x-1)^2-1^2})+2

wobei wir gerade auch den Term x2−2xx^2-2x quadratisch ergänzt haben. Wir erhalten also

f(x)=5((x−1)2−1)+2=5(x−1)2−5+2=5(x−1)2−3\begin{array}{ll} f(x) & = & 5((x-1)^2-1)+2\\ & = & 5(x-1)^2-5+2\\ & = & 5(x-1)^2-3 \end{array}

Es ist somit s=5,u=1s=5, u=1 und v=−3v=-3.

Example 3: Normalform \rightarrow Scheitelpunktform \rightarrow Normalform

Finde die Scheitelpunktform der Funktion f(x)=2x2−4x−2f(x)=2x^2-4x-2, und forme diese dann wieder um in die Normalform.

Normalform →\rightarrow Scheitelpunktform:

f(x)=2x2−4x−2=2(x2−2x)−2=2((x−1)2−12)−2=2(x−1)2−4\begin{array}{lll} f(x) & = & 2x^2-4x-2 \\ & = & 2(x^2-2x)-2 \\ & = & 2((x-1)^2-1^2)-2\\ & = & 2(x-1)^2-4\\ \end{array}

Scheitelpunktform →\rightarrow Normalform:

f(x)=2(x−1)2−4=2(x2−2x+1)−4=2x2−4x+2−4=2x2−4x−2\begin{array}{lll} f(x) & = & 2(x-1)^2-4 \\ & = & 2(x^2-2x+1)-4 \\ & = & 2x^2-4x+2-4\\ & = & 2x^2-4x-2\\ \end{array}
Exercise 2

Aufgabe

Bestimme für die folgenden quadratischen Funktion die Scheitelpunktform wie auch die Normalform. Bestimme auch die xx- und yy-Achsenabschnitte.

  1. f(x)=−2(x+3)2−4f(x)=-2(x+3)^2-4
  2. f(x)=x2−2x+3f(x)=x^2-2x+3
  3. f(x)=2x2+8x−2f(x)=2x^2+8x-2
  4. f(x)=−3x2+27x+9f(x)=-3x^2+27x+9
  5. f(x)=4(x−2)2−1f(x)=4(x-2)^2-1
  6. f(x)=−x2−x−1f(x)=-x^2-x-1
  7. f(x)=x2+2f(x)=x^2+2
  8. f(x)=0.5x2−3xf(x)=0.5x^2-3x
Show

Lösung

A1
  1. Scheitelpunktform: f(x)=−2(x+3)2−4f(x)=-2(x+3)^2-4
  2. Normalform:
f(x)=−2(x2+6x+9)−4=−2x2−12x−22\begin{array}{ll} f(x) &= & -2(x^2+6x+9)-4\\ &= & -2x^2-12x-22 \end{array}
  1. yy-Achsenabschnitt: f(0)=−22‾f(0)=\underline{-22}
  2. xx-Achsenabschnitt: f(x)=0f(x)=0. Brauche Mitternachtsformel, oder hier einfacher die Scheitelpunktform:
−2(x+3)2−4=0(x+3)2=−2\begin{array}{ll} -2(x+3)^2-4 & = & 0 \\ (x+3)^2 & = & -2 \\ \end{array}

was keine Lösung hat! Also gibt es keinen xx-Achsenabschnitt.

A2
  1. Scheitelpunktform:
f(x)=x2−2x+3=(x−1)2−12+3=(x−1)2+2\begin{array}{ll} f(x)&=&x^2-2x+3\\ & = & (x-1)^2-1^2+3\\ &=&(x-1)^2+2 \end{array}
  1. Normalform: x2−2x+3x^2-2x+3
  2. yy-Achsenabschnitt: f(0)=3f(0)=3
  3. xx-Achsenabschnitt: f(x)=0f(x)=0 hat keine Lösung, also keine xx-Achsenabschnitte.
A3
  1. Scheitelpunktform:
f(x)=2x2+8x−2=2(x2+4x)−2=2((x+2)2−22)−2=2(x+2)2−10\begin{array}{ll} f(x)&=&2x^2+8x-2\\ & = & 2(x^2+4x)-2\\ &=&2((x+2)^2-2^2)-2\\ &=&2(x+2)^2-10 \end{array}
  1. Normalform: f(x)=2x2+8x−2f(x)=2x^2+8x-2
  2. yy-Achsenabschnitt: f(0)=−2‾f(0)=\underline{-2}
  3. xx-Achsenabschnitt: Aus f(x)=0f(x)=0 folgt x1=−2−5‾x_1=\underline{-2-\sqrt{5}}, x2=−2+5‾x_2=\underline{-2+\sqrt{5}}
A4
  1. Scheitelpunktform: f(x)=−3(x−4.5)2+69.75f(x)=-3(x-4.5)^2+69.75
  2. Normalform: f(x)=−3x2+27x+9f(x)=-3x^2+27x+9
  3. yy-Achsenabschnitt: f(0)=9f(0)=9
  4. xx-Achsenabschnitt: x1=9.322,x2=−0.322x_1=9.322, x_2=-0.322
A5
  1. Scheitelpunktform: f(x)=4(x−2)2−1f(x)=4(x-2)^2-1
  2. Normalform: f(x)=4x2−16x+15f(x)=4 x^2 - 16 x + 15
  3. yy-Achsenabschnitt: f(0)=15f(0)=15
  4. xx-Achsenabschnitt: x1=1.5,x2=2.5x_1=1.5, x_2=2.5
A6
  1. Scheitelpunktform: f(x)=−(x+0.5)2−0.75f(x)=-(x+0.5)^2-0.75
  2. Normalform: f(x)=−x2−x−1f(x)=-x^2-x-1
  3. yy-Achsenabschnitt: f(0)=−1f(0)=-1
  4. xx-Achsenabschnitt: keine
A7
  1. Scheitelpunktform: f(x)=(x−0)2+2f(x)=(x-0)^2+2
  2. Normalform: f(x)=x2+0⋅x+2f(x)=x^2+0\cdot x + 2
  3. yy-Achsenabschnitt: f(0)=2f(0)=2
  4. xx-Achsenabschnitt: keine
A8
  1. Scheitelpunktform: f(x)=0.5(x−3)2−4.5f(x)=0.5(x-3)^2-4.5
  2. Normalform: f(x)=0.5x2−3x+0f(x)=0.5x^2-3x+0
  3. yy-Achsenabschnitt: f(0)=0f(0)=0
  4. xx-Achsenabschnitt: Midnight formula, completing the square, or quickest method is to factor out the xx: f(x)=0.5x2−3x=0f(x)=0.5x^2-3x=0, thus x⋅(0.5x−3)=0x\cdot(0.5x-3)=0, thus x1=0x_1=0 and x2=6x_2=6.