Der Graph quadratischer Funktionen

Der Graph einer quadratischen Funktion

f(x)=ax^2+bx+c

ist $\cup$ - oder $\cap$ -förmig, und wird Parabel genannt. Sie besitzt immer einen tiefsten oder eine höchsten Punkt, welcher Scheitelpunkt genannt wird (siehe Graph unten).

Die einfachste quadratische Funktion ist

$f(x)=x^2$

Wir nennen sie Referenzfunktion. Mit einer Wertetabelle lässt sich schnell zeigen, dass der Graph dieser Funktion wie folgt aussieht:

Der Scheitelpunkt der Rererenzfunktion ist also bei $S(0\vert 0)$ .

Der Graph einer beliebigen quadratischen Funktion lässt sich am besten mit Hilfe der Scheitelpunktform bestimmen:

f(x)=A(x-v)^2+B

Wie schon bei den trigonometrischen Funktionen $f(x)=A\sin(ux+v)+B$ haben wir Parameter, diesmal sind es aber nur drei, welche ebenfalls eine geometrische Interpretation haben:

$x^2 \rightarrow Ax^2$ : Streckung der Referenzfunktion $x^2$ in $y$ -Richtung um Faktor $A$ . Falls $A<0$ erfolgt nach der Streckung auch noch eine Spiegelung an der $x$ -Achse. Neuer Scheitelpunkt immer noch bei $S(0\vert 0)$ .
$Ax^2 \rightarrow A(x-v)^2$ : Verschiebung des Graphen nach rechts ( $v>0$ ) oder nach links ( $v<0$ ). Neuer Scheitelpunkt bei $S(v\vert 0)$ .
$A(x-v)^2 \rightarrow A(x-v)^2+B$ : Verschiebung des Graphen nach oben ( $B>0$ ) oder nach unten ( $B<0$ ):

$A(x-v)^2+B$

Neuer Scheitelpunkt bei $S(v\vert B)$ .

Verfolgen wir, was durch diese geometrischen Transformationen mit dem Scheitelpunkt der Referenzfunktion passiert, so sehen wir, dass der Graph der Funktion $f(x)=A(x-v)^2+B$ den Scheitelpunkt bei $S(v\vert B)$ besitzt. Deshalb auch der Name Scheitelpunktform.

Exercise 1

Beispiel

Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x)=2x^2+4x-5$ .

Bestimme die geometrischen Transformationen, um von der Referenz function $x^2$ auf den Graphen der Funktion $f$ zu kommen.
Wo ist der Scheitelpunkt von $f$ ?
Skizziere den Graphen der Funktion $f$ (ohne Wertetabelle).

Show

L1

Bestimme zuerst die Scheitelpunktform von $f$ :

\begin{array}{lll} f(x) & = & 2x^2+4x-5\\ & = & 2(x^2+2x)-5\\ & = & 2(x+1)^2-1^2-5\\ & = & 2(x+1)^2-6\\ & = & 2(x-(-1))^2-6\\ \end{array}

Also ist $A=2, v=-1$ und $B=-6$ . Damit wird $x^2$ in $y$ -Richtung um den Faktor $2$ gestreckt, dann um $1$ nach links und $6$ nach unten verschoben.

L2

Der Scheitelpunkt ist bei $S(-1\vert -6)$ .

L3

Skizziere den Graphen der Referenzfunction $x^2$ , und wende dann die geometrischen Transformationen darauf an.

Einige Bemerkungen

Es ist relativ leicht einzusehen, dass eine Funktion der Form
$f(x)=A(x-v)^2+B$
den Scheitelpunkt bei $S(v,B)$ haben muss. Überlege dazu, dass der der Scheitelpunkt (der höchste oder tiefste Punkt des Graphen, je nachdem ob $A<0$ oder $A>0$ ist) dort sein muss, wo
$(x-v)^2=0$
ist. Und dies ist bei $x=v$ der Fall. Somit ist die $x$ -Koordinate von $S$ gerade $v$ , und die $y$ -Koordinate muss also bei $y=f(v)=B$ sein.
Bei den trigonometrischen Funktionen hatten wir noch einen Parameter $u$ , der für die Streckung in $x$ -Richtung verantwortlich war. Wieso taucht er hier nicht auf? Wir könnten $u$ tatsächlich einführen
$f(x)=A(ux-v)^2+B$
aber durch Ausklammern von $u$ können wir wieder die Scheitelpunktform herstellen:
$\begin{array}{lll} f(x) & = & A(u x-v)^2+B\\ & = & A(u(x-\frac{v}{u}))^2+B\\ & = & A u^2 (x-\frac{v}{u})^2+B\\ \end{array}$
Der Scheitelpunkt von $f$ ist also bei $S(\frac{v}{u}\vert B)$ , und die Referenzfunktion wird in $y$ -Richtung um den Faktor $Au^2$ gestreckt. Die wichtige Botschaft hier ist diese: jede Streckung einer Parabel in $x$ -Richtung kann auch mit einer Streckung in $y$ -Richtung ausgedrückt werden.

Exercise 2

Weitere Aufgaben

A1

Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunkts. Skizziere auch den Graphen der Funktion mit Hilfe der geometrischen Transformationen der Referenzfunktion $x^2$ .

$f(x)=(x-2)^2+3$
$g(x)=-2(x+2)^2-1$
$h(x)=x^2-2x+5$
$i(x)=(x+2)^2$
$k(x)=-0.5x^2+1$
$j(x)=\frac{3}{4}x^2-6x+\frac{15}{2}$

A2

Bestimme die Scheitelpunktform der folgenden Funktionen.

Tipp: Find die Strecking in $y$ -Richtung heraus, indem der Graph mit der Referenzfuntion $x^2$ verglichen wird (verschiebe dazu den Scheitelpunkt des Graphen zum Koordinatennullpunkt, oder die Referenzfunktion zum Scheitelpunkt).

A3

Der Graph der Funktion $f(x)=x^2$ wird in $y$ -Richtung um den Faktor $10$ gestreckt, um die $x$ -Achse gespiegelt, um $4$ nach rechts und um $5$ nach oben verschoben. Bestimme die Funktionsgleichung des neuen Graphen.

A4

Bestimme die Funktionsgleichung und berechne

Die $x$ - und $y$ -Achsenabschnitte der Parabel $f$ .
Die Schnittpunkte zwischen der Parabel $f$ und der Geraden $g$ .
Die Schnittpunkte zwischen den Parabeln $f$ und $h$ .

A5

Der Graph der Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ hat den Scheitelpunkt $S$ und geht durch den Punkt $P$ . Bestimme die Parameter $a, b$ und $c$ der Normalform:

$S(-1|-5)$ , $P(3|11)$
$S(4|12)$ , $P(0|4)$

A6

Finde den Parameter $s$ der Funktion $f(x)=x^2-sx+4$ so, dass der Scheitelpunkt des Graphen von $f$ die $y$ -Koordinate $2$ besitzt. Was ist die dazugehörende $x$ -Koordinate?

A7

Das Produkt zweier Zahlen mit Differenz $1$ soll so klein wie möglich sein. Finde die beiden Zahlen.

A8

Welches Rechteck mit Umfang $14cm$ besitzt die gösste Fläche?

Show

Lösungen

Es werde mit $r$ die Referenzfunktion bezeichnet: $r(x)=x^2$ , und mit $S$ ein Scheitelpunkt.

A1

$f(x)=(x-2)^2+3$ , also $A=1, v=2, B=3$ und somit $\underline{S(2|3)}$ (Graph $r$ verschoben nach $S$ ).
$g(x)=-2(x+2)^2-1$ und somit $A=-2, v=-2, B=-1$ , also $\underline{S(-2|-1)}$ (Graph $r$ gestreckt in $y$ -Richtung um Faktor $2$ , reflektiert und der $x$ -Achse, und verschoben nach $S$ ).
$h(x)=x^2-2x+5 = (x-1)^2+4$ , also $A=1, v=1, B=4$ und somit $\underline{S(1|4)}$ (Graph $r$ verschoben nach $S$ ).
$i(x)=(x+2)^2$ , also $A=1, v=-2, B=0$ , und somit $\underline{S(-2|0)}$ (Graph $r$ verschoben nach $S$ ).
$k(x)=-0.5x^2+1 = -0.5(x-0)^2+1$ , also $A=-0.5, v=0, B=1$ und somit $\underline{S(0|1)}$ (Graph $r$ gestreckt um Faktor $0.5$ in $y$ -Richtung, reflekiert an der $x$ -Achse, und verschoben nach $S$ ).
$j(x)=\frac{3}{4}x^2-6x+\frac{15}{2} =\frac{3}{4}(x-4)^2-4.5$ , also $A=\frac{3}{4}, v=4, B=-4.5$ und somit $\underline{S(4|-4.5)}$ (Graph $r$ in $y$ -Richtung gestreckt um Faktor $3/4$ , verschoben nach $S$ ).

A2

$f$ : keine Streckung, $S(1|0)$ , also $A=1, v=1, B=0$ und $f(x)=(x-1)^2+0=\underline{(x-1)^2}$
$g$ : keine Streckung, aber an $x$ -Achse reflektiert, $S(-3|3)$ , also $A=-1, v=-3, B=3$ und somit $g(x)=\underline{-(x+3)^2+3}$
$h$ : gestreckt in $y$ -Richtung um Faktor $1/4$ , $S(0|0)$ , also $A=0.25, v=0, B=0$ und somit $h(x)=\underline{0.25 x^2}$
$k$ : gestreckt in $y$ -Richtung um Faktor $3$ , $S(5|-3)$ also $A=3, v=5, B=-3$ und somit $k(x)=\underline{3(x-5)^2-3}$

A3

$A=-10, v=4, B=5$ , also $f(x)=\underline{-10(x-4)^2+5}$

A4

Wir bestimmen zuerst die Funktionsgleichungen.

Graph $g$ hat Steigung $\Delta y / \Delta x = 1/2=0.5$ und $y$ -Achsenabschnitt $1$ , also ist $g(x)=0.5x+1$
Für Graph $f$ ist $A=1, v=2, B=-2$ , also $f(x)=(x-2)^2-2$
Für Graph $h$ ist $A=-1, v=1, B=0$ , also $h(x)=-(x-1)^2$

$y$ -Achsenabschnitt von $f$ ist $f(0)=(0-2)^2-2=\underline{2}$ (siehe Diagramm). Für den $x$ -Achsenabschnitt, finde $x$ mit $f(x)=(x-2)^2-2=0$ , also $(x-2)^2=2$ und somit $x_1=2+\sqrt{2}=\underline{3.41}$ und $x_2=2-\sqrt{2}=\underline{0.59}$ .
Schnittpunkt zwischen $g$ und $f$ . Finde $x$ mit $g(x)=f(x)$ :
$\begin{array}{rll} 0.5x+1 & = & (x-2)^2-2\\ 0.5x+1 & = & x^2-4x+2\\ 0 & = & x^2-4.5x+1\\ \end{array}$
Mit Mitternachtsformel: $x_1=4.27$ und $x_2=0.23$ . Die dazugehörenden $y$ -Koordinaten sind $y_1=g(4.27)=3.14$ und $y_2=f(0.23)=1.12$ . Die Schnittpunkte sind also $\underline{A_1(0.23|1.12)}$ und $\underline{A_2(4.27|3.14)}$ .
Schnittpunkt zwischen $f$ und $h$ : Finde $x$ mit $h(x)=f(x)$ :
$\begin{array}{rll} -(x-1)^2 & = &(x-2)^2-2\\ -x^2+2x-1 & = & x^2-4x+2\\ 0 & = & 2x^2-6x+3\\ \end{array}$
Mit Mitternachtsformel: $x_1=2.37$ und $x_2=0.63$ . Die dazugehörenden $y$ -Koordinaten sind $y_1=h(2.37)=-1.88$ und $y_2=h(0.63)=-0.14$ . Die Schnittpunkte sind somit $\underline{C_1(0.63|-0.14)}$ and $\underline{C_2(2.37|-1.88)}$ .

A5

Wir beginnen mit der Scheitelpunktform.

$S(-1|-5)$ , also $v=-1, B=-5$ und somit $f(x)=A(x+1)^2-5$ . Um $A$ zu finden brauchen wir, dass $f(3)=11$ (da $P(3|11)$ auf dem Graph von $f$ ist), also $A(3+1)^2-5=16A-5=11$ und somit $A=1$ . Es ist daher $f(x)=(x+1)^2-5=x^2+2x-4$ und somit $\underline{a=1, b=2, c=-4}$
$S(4|12)$ , also $v=4, B=12$ und somit $f(x)=A(x-4)^2+12$ . Mit $f(0)=4$ folgt $A(0-4)^2+12=16A+12=4$ , also $A=-0.5$ . Es ist daher $f(x)=-0.5(x-4)^2+12=-0.5x^2+4x+4$ , also $\underline{a=-0.5, b=4, c=4}$

A6

Scheitelpunktform von $f(x)=x^2-sx+4$ ist $f(x)=\left(x-\frac{s}{2}\right)^2-\left(\frac{s}{2}\right)^2+4$ . Also ist der Scheitelpunkt $S(v\vert B)$ mit $v=\frac{s}{2}$ und $B=4-\left(\frac{s}{2}\right)^2=4-\frac{s^2}{4}$ . Da die $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts $2$ ist, müssen wir $s$ so finden, dass $B=4-\frac{s^2}{4}=2 \rightarrow s=\sqrt{8}$ . Es ist also $f(x)=\underline{x^2-\sqrt{8}x +4}$ und die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts ist $v=\frac{s}{2}=\frac{\sqrt{8}}{2}=\underline{1.41...}$

A7

Es sei $x$ die kleinere Zahl, also ist die andere Zahl $x+1$ . Das Produkt der beiden Zahlen ist somit $f(x)=x(x+1)$ , und wir müssen $x$ so finden, dass $f$ möglichst klein ist. $f$ ist eine quadratische Funktion mit Scheitelpunktform

\begin{array}{lll}f(x) &= & x(x+1)\\ &= & (x+0.5)^2-0.25\\ \end{array}

Da $A=1$ , ist der Scheitelpunkt $S(-0.5\vert -0.25)$ gerade der tiefste Punkt, und somit ist das gesuchte $x=-0.5$ . Die beiden Zahlen sind somit $\underline{-0.5}$ und $\underline{0.5}$ .

A8

Es seien $x$ und $y$ die Seitenlängen des Rechtecks. Somit ist

2x+2y=14

und

y=7-x

Die Fläche ist somit

f(x)=xy = x(7-x)

was eine quadratische Funktion ist mit Scheitelpunktform

\begin{array}{lll}f(x) &= &x(7-x)\\ & =& -x^2+7x\\ & =& -(x^2-7x) \\ &= & -(x-3.5)^2+12.25\\ \end{array}

Da $A=-1$ , ist der Scheitelpunkt $S(3.5\vert 12.25)$ der höchste Punkt, und somit ist die Fläche am grössen für $x=\underline{3.5}$ . Die andere Seite hat Länge $7-3.5=\underline{3.5}$ , daher, es ist ein Quadrat.