Brüche, Wurzeln und Potenzen

Es sei daran erinnert, dass die vierte Potenz von 55 definiert ist als

54=5⋅5⋅5⋅5⏟4 times=6255^4 = \underbrace{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}_{4 \text{ times}} = 625

und wenn die Potenz negativ ist, erhalten wir Brüche:

5−4=154=16255^{-4} = \frac{1}{5^4}=\frac{1}{625}

Das macht Sinn, wenn wir eine gewisse Regelmässigkeit beibehalten wollen: Wird der Exponent um 1 erniedrigt, so teilt sich der Wert durch 55:

54=625↓:553=125↓:552=25↓:551=5↓:550=1↓:55−1=15=151↓:55−2=125=152↓:55−3=1125=153...\begin{array}{rll} 5^4 & = & 625\\ & \downarrow :5 & \\ 5^3 & = & 125\\ & \downarrow :5 & \\ 5^2 & = & 25\\ & \downarrow :5 & \\ 5^1 & = & 5\\ & \downarrow :5 & \\ 5^0 & = & 1\\ & \downarrow :5 & \\ 5^{-1} & = & \frac{1}{5}=\frac{1}{5^1}\\ & \downarrow :5 & \\ 5^{-2} & = & \frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}\\ & \downarrow :5 & \\ 5^{-3} & = & \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}\\ & ... & \end{array}

Man beachte auch, dass daraus 50=15^0=1 folgt. Generell gelten die folgenden Potenzregeln:

Theorem 1: Potenzregeln

Für jede Zahl a,b,na, b, n und mm gilt:

DEF:an=a⋅...⋅a⏟n timesa0=1a−n=1anam/n=amnGB:an⋅am=an+m und anam=an−mGE:an⋅bn=(ab)n und anbn=(ab)nPP:(an)m=anm\begin{array}{r|rll} \text{DEF:} & a^n &=&\underbrace{a\cdot ...\cdot a}_{n \text{ times}}\\ & a^0&=&1\\ & a^{-n} &=& \frac{1}{a^n}\\ & a^{m/n} &=& \sqrt[n]{a^m}\\[0.2em]\hline \text{GB:} & a^n\cdot a^m &=& a^{n+m} \quad\text{ und }\quad \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\\[0.2em]\hline \text{GE:} & a^n\cdot b^n &=& (ab)^n \quad\text{ und }\quad \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\\[0.2em]\hline \text{PP:} & (a^n)^m &=& a^{nm}\\[0.2em]\hline \end{array}

wobei DEF='Definition', GB='gleiche Basis', GE='gleicher Exponent', und PP='Potenz einer Potenz' steht.

Beachte auch, dass wir eine neue Definition in den Potenzregeln erwähnt haben:

a1/n=ana^{1/n}=\sqrt[n]{a}
Example 1
251/2=252=525^{1/2}=\sqrt[2]{25}=5

In der Tat folgt ja aus den Potenzregeln, dass

(a1/n)n=a1nn=ann=a1=a(a^{1/n})^n = a^{\frac{1}{n}n }= a^\frac{n}{n} = a^1 = a

Also muss a1/na^{1/n} die nn-te Wurzel von aa sein (laut Definition der n-ten Wurzel aus dem vorgehenden Kapitel).

Example 2

Bestimme ohne Taschenrechner, indem zuerst in die Wurzel konvertiert wird:

  1. 81/3=28^{1/3}=2, da 81/3=838^{1/3}=\sqrt[3]{8}
  2. 8−1/3=128^{-1/3}=\frac{1}{2}, da 8−1/3=181/3=183=128^{-1/3}=\frac{1}{8^{1/3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{8}}=\frac{1}{2}
  3. 82/3=48^{2/3}=4, da 82/3=813⋅2=(813)2=(83)2=22=48^{2/3}=8^{\frac{1}{3} \cdot 2}=\left(8^\frac{1}{3}\right)^2=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4

Verifiziere mit dem Taschenrechner!

Exercise 1

Sind diese Aussagen richtig? Argumentiere mit der Definitionen von Potenzen und den Eigenschaften von Brüchen.

  1. 4−2=1164^{-2}=\frac{1}{16}

  2. (3⋅10)−1=0.3(3\cdot 10)^{-1}= 0.3

  3. 3⋅10−1=0.33\cdot 10^{-1}= 0.3

  4. (0.25−2)−1=18\left(0.25^{-2}\right)^{-1}=\frac{1}{8}

  5. a7⋅a−3=a4a^7 \cdot a^{-3} = a^4

  6. 3a−2=3a23 a^{-2} = \frac{3}{a^2}

  7. (3a)−2=13a2\left(3a\right)^{-2}=\frac{1}{3a^2}

  8. (ab)−3=3ab\left(ab\right)^{-3}=\frac{3}{ab}

  9. (a2)−3=a−6\left(a^2\right)^{-3}=a^{-6}

  10. (2a2)−1=12a−2\left(2a^2\right)^{-1}=\frac{1}{2} a^{-2}

  11. 2a4=2a−4\frac{2}{a^4}=2 a^{-4}

  12. 1a−3=a3\frac{1}{a^{-3}}=a^3

  13. (12)−3=8\left( \frac{1}{2}\right)^{-3} = 8

  14. a−3b−3=(ab)−3a^{-3} b^{-3}=(ab)^{-3}

  15. ab−1=aba b^{-1} = \frac{a}{b}

  16. a−3b3=(ab)−9a^{-3} b^{3}=(ab)^{-9}

  17. a2a−2=1a^2 a^{-2} = 1

  18. (ab)−2=b2a2\left( \frac{a}{b}\right)^{-2} = \frac{b^2}{a^2}

  19. 1a4=a−4\frac{1}{a^4}=a^{-4}

  20. 1a−4=a4\frac{1}{a^{-4}}=a^{4}

  21. 3a4=3a−4\frac{3}{a^4}=3a^{-4}

  22. 13a4=13a−4\frac{1}{3a^4}=\frac{1}{3}a^{-4}

  23. (1a4)−2=a8\left( \frac{1}{a^4}\right)^{-2}=a^{8}

Solution
  1. 4−2=142=1164^{-2} =\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16} richtig
  2. (3⋅10)−1=13⋅10=1⋅13⋅10=13⋅110=0.3‾⋅0.1=0.03‾≠0.3(3\cdot 10)^{-1}= \frac{1}{3\cdot 10} = \frac{1\cdot 1}{3\cdot 10}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10}= 0.\overline{3}\cdot 0.1 = 0.0\overline{3}\neq 0.3 falsch
  3. 3⋅10−1=3⋅110=3⋅0.1=0.33\cdot 10^{-1}= 3\cdot \frac{1}{10}=3\cdot 0.1= 0.3 richtig
  4. (0.25−2)−1=((14)−2)−1=(1(14)2)−1=(114⋅14)−1(1116)−1=(11116)−1=16−1=116≠18\left(0.25^{-2}\right)^{-1}= \left( \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} \right)^{-1} = \left(\dfrac{1}{\left(\frac{1}{4}\right)^2}\right)^{-1} = \left(\dfrac{1}{\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}}\right)^{-1} \left(\dfrac{1}{\frac{1}{16}}\right)^{-1} =\left(\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{16}}\right)^{-1}=16^{-1}=\frac{1}{16} \neq \frac{1}{8} falsch
  5. a7⋅a−3=a7⋅1a3=a7a3=a4a^7 \cdot a^{-3} = a^7 \cdot \frac{1}{a^3} = \frac{a^7}{a^3}=a^4 richtig
  6. 3a−2=3⋅1a2=31⋅1a2=3a23 a^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{a^2} = \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{a^2} = \frac{3}{a^2} richtig
  7. (3a)−2=1(3a)2=13⋅a⋅3⋅a=19a2≠13a2\left(3a\right)^{-2}= \frac{1}{(3a)^2}=\frac{1}{3\cdot a\cdot 3\cdot a}=\frac{1}{9a^2} \neq \frac{1}{3a^2} falsch
  8. (ab)−3=1(ab)3≠3ab\left(ab\right)^{-3}= \frac{1}{(ab)^3} \neq \frac{3}{ab} falsch
  9. (a2)−3=1(a2)3=1a2⋅a2⋅a2=1a6=a−6\left(a^2\right)^{-3}= \frac{1}{(a^2)^3} =\frac{1}{a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 } =\frac{1}{a^6} = a^{-6} richtig
  10. (2a2)−1=12a2=1⋅12⋅a2=12⋅1a2=12a−2\left(2a^2\right)^{-1}= \frac{1}{2a^2} = \frac{1\cdot 1}{2 \cdot a^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a^2} = \frac{1}{2} a^{-2} richtig
  11. 2a4=2⋅1a4=2a−4\frac{2}{a^4}= 2\cdot \frac{1}{a^4} = 2 a^{-4} richtig
  12. 1a−3=11a3=a3\frac{1}{a^{-3}}= \dfrac{1}{\frac{1}{a^3}} = a^3 richtig
  13. (12)−3=1(12)3=112⋅12⋅12=118=8\left( \frac{1}{2}\right)^{-3} = \dfrac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^3}= \dfrac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\frac{1}{8}} = 8 richtig
  14. a−3b−3=1a3⋅1b3=1a3b3=1(ab)3=(ab)−3a^{-3} b^{-3}= \frac{1}{a^3}\cdot \frac{1}{b^3} =\frac{1}{a^3 b^3} = \frac{1}{(ab)^3} = (ab)^{-3} richtig
  15. ab−1=a1b=aba b^{-1} = a\frac{1}{b} = \frac{a}{b} richtig
  16. a−3b3=1a3b3=b3a3≠(ab)−9a^{-3} b^{3}=\frac{1}{a^3} b^3 = \frac{b^3}{a^3} \neq (ab)^{-9} (which is 1(ab)9\frac{1}{(ab)^9}), falsch
  17. a2a−2=a2a2a2=1⋅̸a21⋅̸a2=11=1a^2 a^{-2} = a^2\frac{a^2}{a^2}=\frac{1\cdot \not{a^2}}{1\cdot \not{a^2}} =\frac{1}{1} =1 richtig
  18. (ab)−2=1(ab)2=1ab⋅ab=1a2b2=b2a2\left( \frac{a}{b}\right)^{-2} = \dfrac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^2} = \dfrac{1}{ \frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}} = \dfrac{1}{\frac{a^2}{b^2}} = \frac{b^2}{a^2} richtig
  19. 1a4=a−4\frac{1}{a^4}=a^{-4} richtig by definition
  20. 1a−4=11a4=a4\frac{1}{a^{-4}}= \dfrac{1}{\frac{1}{a^4}} = a^{4} richtig
  21. 3a4=3⋅1a4=3a−4\frac{3}{a^4}= 3\cdot \frac{1}{a^4} = 3 a^{-4} richtig
  22. 13a4=1⋅13⋅a4=131a4=13a−4\frac{1}{3a^4}= \frac{1\cdot 1}{3\cdot a^4} =\frac{1}{3}\frac{1}{a^4} = \frac{1}{3}a^{-4} richtig
  23. (1a4)−2=1(1a4)2=11a41a4=11a4a4=11a8=a8\left( \frac{1}{a^4}\right)^{-2}= \dfrac{1}{\left(\frac{1}{a^4}\right)^2} =\dfrac{1}{\frac{1}{a^4} \frac{1}{a^4}} = \dfrac{1}{\frac{1}{a^4 a^4}}= \dfrac{1}{\frac{1}{a^8}} = a^{8} richtig
Exercise 2
  1. Berechne ohne Taschenrechner, und schreibe das Resultat als natürliche Zahl oder einen Bruch:
    1. 811/281^{1/2}
    2. 10 0001/410\,000^{1/4}
    3. 11/31^{1/3}
    4. 01/50^{1/5}
    5. 271/327^{1/3}
    6. 6250.5625^{0.5}
    7. 2560.25256^{0.25}
    8. (27125)1/3\left(\frac{27}{125}\right)^{1/3}
    9. (110 000)1/4\left(\frac{1}{10\,000}\right)^{1/4}
    10. 25−1/225^{-1/2}
    11. 343−1/3343^{-1/3}
    12. 16−1/416^{-1/4}
    13. 243−1/5243^{-1/5}
    14. 49−0.549^{-0.5}
    15. 256−0.125256^{-0.125}
    16. 82/38^{2/3}
    17. 0.25−0.50.25^{-0.5}
    18. 160.7516^{0.75}
    19. (165)0.1(16^5)^{0.1}
    20. 5⋅320.45 \cdot 32^{0.4}
  2. Konvertiere in eine Potenz der Form ana^n, wobei die Basis aa eine natürliche Zahl sein muss, und zwar so klein wie möglich:

    1. 534\sqrt[4]{5^3}

    2. 10 0006\sqrt[6]{10\,000}

    3. 0.00017\sqrt[7]{0.0001}

    4. 0.53\sqrt[3]{0.5}

    5. 0.125\sqrt{0.125}

    6. 1814\frac{1}{\sqrt[4]{81}}

Solution
  1. Es ist
    1. 811/2=(92)1/2=91=981^{1/2}=(9^2)^{1/2}=9^1=9
    2. 10 0001/4=(104)1/4=101=1010\,000^{1/4}=(10^4)^{1/4}=10^1=10
    3. 11/3=13=11^{1/3}=\sqrt[3]{1}=1
    4. 01/5=05=00^{1/5}=\sqrt[5]{0}=0
    5. 271/3=(33)1/3=31=327^{1/3}=(3^3)^{1/3}=3^1=3
    6. 6250.5=(252)0.5=251=25625^{0.5}=(25^2)^{0.5}=25^1=25
    7. 2560.25=(28)0.25=22=4256^{0.25}=(2^8)^{0.25}=2^2=4
    8. (27125)1/3=271/31251/3=35\left(\frac{27}{125}\right)^{1/3}=\frac{27^{1/3}}{125^{1/3}}=\frac{3}{5}
    9. (110 000)1/4=11/4(104)1/4=110\left(\frac{1}{10\,000}\right)^{1/4}=\frac{1^{1/4}}{(10^4)^{1/4}}=\frac{1}{10}
    10. 25−1/2=(52)−1/2=5−1=1525^{-1/2}=(5^2)^{-1/2}=5^{-1}=\frac{1}{5}
    11. 343−1/3=(73)−1/3=7−1=17343^{-1/3}=(7^3)^{-1/3}=7^{-1}=\frac{1}{7}
    12. 16−1/4=(24)−1/4=2−1=1216^{-1/4}=(2^4)^{-1/4}=2^{-1}=\frac{1}{2}
    13. 243−1/5=(35)−1/5=3−1=13243^{-1/5}=(3^5)^{-1/5}=3^{-1}=\frac{1}{3}
    14. 49−0.5=(72)−0.5=7−1=1749^{-0.5}=(7^2)^{-0.5}=7^{-1}=\frac{1}{7}
    15. 256−0.125=(28)−0.125=2−1=12256^{-0.125}=(2^8)^{-0.125}=2^{-1}=\frac{1}{2}
    16. 82/3=(23)2/3=22=48^{2/3}=\left(2^3\right)^{2/3}=2^2=4
    17. 0.25−0.5=10.25=10.5=20.25^{-0.5}=\frac{1}{\sqrt{0.25}}=\frac{1}{0.5}=2
    18. 160.75=163/4=(24)3/4=23=816^{0.75}=16^{3/4}=\left(2^4\right)^{3/4}=2^3=8
    19. (165)0.1=161/2=16=4(16^5)^{0.1}=16^{1/2}=\sqrt{16}=4
    20. 5⋅320.4=5⋅322/5=5⋅(25)2/5=5⋅22=205 \cdot 32^{0.4}=5\cdot 32^{2/5}=5\cdot \left(2^5\right)^{2/5}=5\cdot 2^2=20
  2. Es ist
    1. 534=53/4\sqrt[4]{5^3}=5^{3/4}
    2. 10 0006=1046=102/3\sqrt[6]{10\,000}=\sqrt[6]{10^4}=10^{2/3}
    3. 0.00017=10−47=10−4/7\sqrt[7]{0.0001}=\sqrt[7]{10^{-4}}=10^{-4/7}
    4. 0.53=2−13=2−1/3\sqrt[3]{0.5}=\sqrt[3]{2^{-1}}=2^{-1/3}
    5. 0.125=18=2−32=2−3/2\sqrt{0.125}=\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt[2]{2^{-3}}=2^{-3/2}
    6. 1814=1344=13=3−1\frac{1}{\sqrt[4]{81}}=\frac{1}{\sqrt[4]{3^4}}=\frac{1}{3}=3^{-1}
Exercise 3
  1. Zeige mit Hilfe der Potenzregeln:
    1. 7⋅83=73⋅83\sqrt[3]{7\cdot 8} = \sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[3]{8}
    2. 783=7383\sqrt[3]{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{8}}
    3. 7103=710/3\sqrt[3]{7^{10}}=7^{10/3}
    4. 733=7\sqrt[3]{7^3}=7
  2. Zeige mit Hilfe der Potenzregeln:
    1. a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}
    2. abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}
    3. amn=am/n\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}
    4. ann=a\sqrt[n]{a^n}=a
    5. an⋅am=an+mn⋅m\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[m]{a}=\sqrt[n\cdot m]{a^{n+m}}
  3. Zeige mit dem Taschenrechner, dass die folgende Gleichung nicht korrekt sind: 7+83=73+83\sqrt[3]{7+ 8} = \sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{8}
  4. Berechne mit dem Taschenrechner. Brauche zwei verschieden Methoden:

    1. 410\sqrt[10]{4}

    2. 0.755\sqrt[5]{0.75}

Solution
  1. Es ist
    1. 7⋅83=D(7⋅8)1/3=SE71/3⋅81/3=D73⋅83\sqrt[3]{7\cdot 8} \overset{D}{=} (7\cdot 8)^{1/3} \overset{SE}{=} 7^{1/3}\cdot 8^{1/3}\overset{D}{=}\sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[3]{8}
    2. 783=D(78)1/3=SE(71/381/3)=D7383\sqrt[3]{\frac{7}{8}} \overset{D}{=} \left(\frac{7}{8}\right)^{1/3} \overset{SE}{=} \left(\frac{7^{1/3}}{8^{1/3}}\right) \overset{D}{=} \frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{8}}
    3. 7103=D(710)1/3=PP710/3\sqrt[3]{7^{10}}\overset{D}{=} \left(7^{10}\right)^{1/3}\overset{PP}{=} 7^{10/3}
    4. Es folgt von (c): 733=73/3=7\sqrt[3]{7^3}=7^{3/3}=7
  2. Es ist
    1. a⋅bn=D(a⋅b)1/n=SEa1/n⋅b1/n=Dan⋅bn\sqrt[n]{a\cdot b} \overset{D}{=} (a\cdot b)^{1/n} \overset{SE}{=} a^{1/n}\cdot b^{1/n}\overset{D}{=}\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}
    2. abn=D(ab)1/n=SE(a1/nb1/n)=Danbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} \overset{D}{=} \left(\frac{a}{b}\right)^{1/n} \overset{SE}{=} \left(\frac{a^{1/n}}{b^{1/n}}\right) \overset{D}{=} \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}
    3. amn=D(am)1/n=PPam/n\sqrt[n]{a^{m}}\overset{D}{=} \left(a^{m}\right)^{1/n}\overset{PP}{=} a^{m/n}
    4. Follows from c: ann=an/n=a\sqrt[n]{a^n}=a^{n/n}=a
    5. an⋅am=Da1/na1/m=PPa1/n+1/m=an+mn⋅m=Dan+mn⋅m\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[m]{a}\overset{D}{=}a^{1/n} a^{1/m} \overset{PP}{=} a^{1/n+1/m}=a^\frac{n+m}{n\cdot m}\overset{D}{=}\sqrt[n\cdot m]{a^{n+m}}
  3. nicht gezeigt ...
  4. Methode 1 ist mit der Wurzel: 2nd und x□\boxed{2nd} \text{ und } \boxed{x^\square}, Methode 2 ist mit Potenzen: x□\boxed{x^\square}.