Integral = orientierte Fläche

Frage: Was bedeutet

\int_0^2 x^2 dx

Das Integral dient dazu, den Flächeninhalt einer Fläche mit gekrümmten Rändern zu berechnen. Insbesondere wird der orientierte Flächeninhalt berechnet.

Note 1

Flächen können zwei Inhalte haben: den (normalen) Flächeninhalt, den wir schon aus der Geometrie kennen, und den orientierten Flächeninhalt, siehe unten.

Wie sind die gekrümmten Ränder definiert? Durch den Graphen einer Funktion $f$ .
Welche Fläche betrachten wir genau? Die Fläche zwischen dem Graph einer Funktion $f$ und der $x$ -Achse. Dabei werden (normale) Flächeninhalte von Flächenstücken, die sich unter der $x$ -Achse befinden, als negativ gezählt (deshalb orientierte Fläche).
Wie sagen wir, wo die Fläche anfangen, wo aufhören soll? Wir geben zwei Werte auf der $x$ -Achse an, dort wo die Fläche beginnen soll, und dort wo sie aufhören soll.
Die Fläche kann auch aus mehreren Teilflächen bestehen. Wir wollen immer den gesamten orientieren Flächeninhalt kennen, also die Summe aller positiven und negativen Flächeninhalte der Teilflächen.

All dies fassen wir in der folgenden Integralnotation zusammen:

Definition 1: Integralnotation

Das Integral der Funktion f von a nach b wird mit

\int_a^b f(x)\,dx

bezeichnet. Es berechnet den orientierten Flächeninhalt der Fläche, die zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse liegt, und von $a$ nach $b$ geht. Die Zahlen $a$ und $b$ werden als Integrationsgrenzen bezeichnet.

Example 1

Hat in der obigen Skizze zum Beispiel die erste Teilfläche den (normalen) Flächeninhalt $3$ , die mittlere Teilfäche den (normalen) Flächeninhalt $4$ , und die letze Teilfläche den (normalen) Flächeninhalt $2$ , so ist

der (normale) Flächeninhalt der Fläche gegeben durch $3+4+2=9$
der orientierte Flächeninhalt der Fläche gegeben durch $3-4+2=1$ , also
$\int_a^b f(x)\,dx=1$

Example 2

Der orientierte Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f(x)=x^2$ und der $x$ -Achse, und die von $a=0$ nach $b=2$ geht, wird mit

\int_{-1.5}^{1.5} (x^2-1) \, dx

bezeichnet.

Oder wir können sagen: $\int_{-1.5}^{1.5} (x^2-1) \, dx$ ist das Integral der Funktion $x^2$ von $0$ nach $2$ .

Exercise 1

Schreibe mit der Integralnotation. Skizziere die Fläche, und zeiche ein, wo die Flächenstücke positiven oder negativen Flächeninhalt haben. Dann versuche abzuschätzen, ob das Integral positiv oder negativ ist.

Das Integral von $k(x)=x^3-1$ zwischen $-1$ und $1.5$ .
Die Fläche zwischen der Kurve von $g(x)=\sin(x)$ und der $x$ -Achse, und zwischen $-\pi$ und $\pi$ .

Solution

Exercise 2

Gegeben ist eine Function $f$ , und Integrationsgrenzen $a$ und $b$ .

Wann ist $\int_a^b f(x)\, dx$ gerade dem (normalen) Flächeninhalt?
Wann ist $\int_a^b f(x)\, dx=0$ ? Mache ein Beispiel.
Wann ist der (normale) Flächeninhalt der Fläche gleich $0$ ?

Solution

Falls der Graph von

f

immer oberhalb der

x

-Achse bleibt, also keine negativen Flächeninhalte vorkommen.

Falls die negativen und positiven Flächeninhalte sich aufheben, etwa

\int{-1}^{1} x^3\,dx

Falls

f(x)=0

für alle

x