Berechnung: Mühsam

Frage: Was steckt hinter

Wir werden die orientierten Flächeninhalte, oder das Intergal, nun berechnet? Es gibt zwei Methoden:

• Die erste Methode (Riemansche Summe) ist mühsam, und eignet sich nur bedingt, Flächeninhalte zu bestimmen. Sie wird meistens als genaue Definition des Integrals gebraucht. Wir besprechen diese hier.
• Die zweite Methode (Fundamentalsatz der Analysis) ist viel einfacher anzuwenden, braucht aber die Differenzialrechnung. Diese Methode besprechen wir im nächsten Kapitel.

Die Grundidee der Riemannschen Summe am Beispiel $\int_0^2 x^2 \,dx$:

1. Wir bedecken die Fläche mit einer gewissen Anzahl Balken gleicher Breite. Die Summe der Balkenflächen (die Riemansche Summe) approximiert dann die Fläche.

   Typischerweise steht $n$ für die Anzahl Balken und $\Delta x$ ("Delta x") für die Balkenbreite. Beachte, dass die Höhe die rechte Seite des Balkens ist (von der $x$-Achse zum Graphen). Es gibt auch andere Methoden, die Balkenhöhe zu definieren (linker Rand, Balkenmitte). Sie alle führen zum gleichen Endresultat.

   

2. Um die Approximation zu verbessern, erhöhen wir die Balkenzahl $n$, was zu dünneren Balken führt.

   

3. Bei sehr vielen Balken ($n$ sehr gross, $\Delta x$ nahe bei $0$) erhalten wir eine sehr gute Approximation:

   

   Dieser Prozess wird hier nochmals in einer Animation verdeutlicht.

4. Für $n\rightarrow \infty$ strebt die Riemannsche Summe gegen den wahren Wert der Fläche ($A=2.\overline{6}$):

   $$\int_0^2 x^2 \,dx = \lim_{n\rightarrow \infty} f(x_1)\Delta x+...+f(x_n)\Delta x =2.\overline{6}$$

   (wobei $x_1$ der Ort auf der $x$-Ache ist, wo der rechte Rand des ersten Balken liegt, $x_2$ der Ort wo der rechte Rand des zweiten Balken liegt, usw.)

   oder mit der Sigma Notation für Summen:

   $$\int_0^2 x^2 \,dx = \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k)\,\Delta x$$

Exercise 1

Skizziere den Graphen der Funktion $f(x)=\sqrt{x}$ und approximiere

$$\int_0^4 \sqrt{x}\, dx$$

mit Hilfe von

1. $2$ Balken

2. $4$ Balken

Solution