Orientierte und normale Flächen

Wir wissen bereits, dass es zwei Arten von Flächen gibt, die (normale) Fläche (das ist die "normale" Fläche, die wir bereits kennen) und die orientierte Fläche, welche die Summe der Balkenflächen ist, oder das Integral. Solange der Graph von ff, der den Rand der Fläche definiert, oberhalb der xx-Achse liegt, ist die Fläche und orientierte Fläche gleich. Sobald der Graph von ff jedoch unterhalb der xx-Achse liegt, wird die Balkenfläche Δx⋅f(x)\Delta x\cdot f(x) negativ, und die Summe der Balkenflächen ist eine Mischung aus positiven und negativen Zahlen - was nicht der "normalen" Fläche entspricht. Die folgende Abbildung veranschaulicht diesen Punkt:

Recipe 1

Wenn wir also den Flächeninhalt (den normalen, positiven) berechnen wollen, müssen wir den Flächeninhalt der negativen und positiven Teilregionen separat mit dem Integral bestimmen. Für das obige Bild müssen wir also den Flächeninhalt

A−=∫−12f(x) dxA_{-}=\int_{-1}^2 f(x)\, dx

und

A+=∫23f(x) dx A_{+}=\int_2^3 f(x)\, dx

bestimmen. Da A−A_{-} die Summe von nur negativen Balkenflächen, und das Integral wird somit ebenfalls negativ. Der positive Teil dieser Zahl ist aber die (normale) Fläche des Bereichs von −1-1 bis 22. A+A_{+} ist die Summe von nur positiven Balkenflächen, und das Integral ist somit bereits die (normale) Fläche. Der gesamte (normale) Flächeninhalt des schattierten Bereichs ist also die Summe der positiven Zahlen:

∣A−∣+A+|A_{-}|+A_{+}

Die senkrechten Linien bedeuten hier, dass wir den absoluten Wert von A−A_{-} nehmen müssen, was einfach bedeutet, dass wir den positiven Teil der Zahl nehmen.

Natürlich können wir dies auf beliebig viele positive und negative Teilbereiche verallgemeinern.

Example 1

Die Funktionsgleichung des oben gezeigten Graphen ff lautet

f(x)=18x3−1f(x)=\frac{1}{8}x^3-1

Bestimme den (normalen) Flächeninhalt des Bereichs, der vom Graphen von ff, der xx-Achse und den senkrechten Linien bei x=−1x=-1 und x=3x=3 eingeschlossen wird.

Solution

Wir müssen zunächst den xx-Achsenabschnitt von ff finden. Für dieses Beispiel ist offensichtlich x=2x=2, was auch aus der Berechnung

18x3−1=0x3=8x=2\begin{array}{lll} \frac{1}{8}x^3-1 &=& 0\\ x^3&=& 8\\ x&=& 2 \end{array}

folgt. Die Stammfunktion von ff ist

F(x)=132x4−xF(x)=\frac{1}{32}x^4-x

Wir haben also

A−=∫−12(18x3−1) dx=F(2)−F(−1)=−2.53125A_{-}=\int_{-1}^2 (\frac{1}{8}x^3-1)\, dx = F(2)-F(-1)=-2.53125

und

A+=∫23(18x3−1) dx=F(3)−F(2)=1.03125A_{+}=\int_{2}^3 (\frac{1}{8}x^3-1)\, dx = F(3)-F(2)=1.03125

Der (normale) Flächeninhalt ist also

A=∣A−∣+A+=2.53125+1.03125=3.5625A=|A_{-}|+A_{+}=2.53125+1.03125=3.5625

Beachte: Addieren wir A−+A+A_{-}+A_{+}, so bekommen wir −1.5-1.5, was einfach das Integral von ff von −2-2 bis 33 ist. In der Tat ist

∫−13(18x3−1) dx=F(3)−F(−1)=−1.5\int_{-1}^3 (\frac{1}{8}x^3-1)\, dx = F(3)-F(-1)=-1.5
Exercise 1
F1

Betrachte die Funktion f(x)=12x2−1f(x)=\frac{1}{2}x^2-1.

  1. Bestimme ∫−23f(x) dx\int_{-2}^3 f(x)\, dx
  2. Bestimme den Flächeninhalt des Bereichs, der durch den Graphen von ff, die xx-Achse und die senkrechten Linien bei x=−2x=-2 und x=3x=3 eingeschlossen wird.
F2

Der Bereich RR wird vom Graphen von f(x)=−2(x−1)(x+1)f(x)=-2(x-1)(x+1), der xx-Achse und den senkrechten Linien bei x=−2x=-2 und x=3x=3 eingeschlossen.

  1. Bestimme den orientierten Flächeninhalt von RR.

  2. Bestimme den Flächeninhalt von RR.

Solution
A1

Die Stammfunktion von ff ist

F(x)=16x3−xF(x)=\frac{1}{6}x^3-x

  1. ∫−23f(x) dx=F(3)−F(−2)=(16⋅33−3)−(16⋅(−2)3−(−2))=0.83ˉ\int_{-2}^3 f(x)\, dx =F(3)-F(-2)=(\frac{1}{6}\cdot 3^3-3)-(\frac{1}{6}\cdot (-2)^3-(-2))=0.8\bar 3

  2. Zeichne ein Diagramm (siehe unten), um zu prüfen, ob es negative Bereiche gibt - tatsächlich gibt es welche! Wir berechnen die drei Regionen getrennt. Zunächst müssen wir die xx-Achsenabschnitte von ff finden: Finde also xx mit

    f(x)=012x2−1=0x2=2x=±2\begin{array}{lll} f(x) &= & 0\\ \frac{1}{2}x^2-1&= & 0\\ x^2&=& 2\\ x&=& \pm\sqrt{2} \end{array}

    Wir können nun die positiven und negativen Flächen bestimmen:

    A1=∫−2−2f(x) dx=F(−2)−F(−2)=0.276142A_1=\int_{-2}^{-\sqrt{2}} f(x)\, dx = F(-\sqrt{2})-F(-2)=0.276142 A2=∫−22f(x) dx=F(2)−F(−2)=−1.88562A_2=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} f(x)\, dx = F(\sqrt{2})-F(-\sqrt{2})=-1.88562 A3=∫23f(x) dx=F(3)−F(2)=2.44281A_3=\int_{\sqrt{2}}^3 f(x)\, dx = F(3)-F(\sqrt{2})=2.44281

    Somit ist die Fläche

    A=A1+∣A2∣+A3=0.276142+1.88562+2.44281=4.604572A=A_1+|A_2|+A_3=0.276142+1.88562+2.44281=4.604572

    Prüfen wir, ob wir das Resultat von (1) erhalten, wenn wir einfach die Flächen addieren. In der Tat haben wir A1+A2+A3=0.276142−1.88562+2.44281=0.83‾A_1+A_2+A_3=0.276142-1.88562+2.44281=0.8\overline{3}

A2

Zeichne die Situation. Wegen

f(x)=−2(x−1)(x+1)=−2x2+2f(x)=-2(x-1)(x+1)=-2x^2+2

ist die Stammfunktion

F(x)=−23x3+2xF(x) = -\frac{2}{3}x^3+2x

  1. A=∫−23f(x) dx=F(3)−F(−2)=−403=−13.3‾A=\int_{-2}^3 f(x)\, dx = F(3)-F(-2)=-\frac{40}{3}=-13.\overline{3}.

  2. Wir müssen die negativen und positiven Flächen einzeln berechnen. Zunächst müssen wir die xx-Achsenabschnitte von ff finden: Finde also xx mit

    f(x)=−2(x−1)(x+1)=0f(x)=-2(x-1)(x+1)=0

    Es muss also gelten x1=−1x_1=-1 und x2=1x_2=1. Wir haben also die drei Flächeninhalte

    A1=∫−2−1f(x) dx=F(−1)−F(−2)=−83=−2.6‾A_1=\int_{-2}^{-1} f(x)\, dx = F(-1)-F(-2)=-\frac{8}{3}=-2.\overline{6} A2=∫−11f(x) dx=F(1)−F(−1)=83=2.66‾A_2=\int_{-1}^{1} f(x)\, dx = F(1)-F(-1)=\frac{8}{3}=2.6\overline{6} A3=∫13f(x) dx=F(3)−F(1)=−403=−13.3‾A_3=\int_{1}^{3} f(x)\, dx = F(3)-F(1)=-\frac{40}{3}=-13.\overline{3}

    Somit ist die Fläche der Region 2.66‾+2.66‾+13.3‾=18.6‾2.6\overline{6}+2.6\overline{6}+13.\overline{3}=18.\overline{6}