Sinus, Kosinus und Tangens

In der Trigonometrie interessieren wir uns besonders für die Seitenverhältnisse

von rechtwinkligen Dreiecken, von denen wir wissen, dass einer der Innenwinkel $\alpha$ ist.

Diese Längenverhältnisse haben besondere Namen. Das Verhältnis $\frac{G}{H}$ wird als Sinus, das Verhältnis $\frac{A}{H}$ wird als Kosinus und das Verhältnis $\frac{G}{A}$ wird als Tangens bezeichnet. Und da der Bezugswinkel $\alpha$ ist, verwenden wir die Notation $\sin(\alpha)$ für den Sinus, $\cos(\alpha)$ für den Kosinus und $\tan(\alpha)$ für den Tangens. Zusammengefasst haben wir also:

Sage "Sinus von $\alpha$", "Kosinus von $\alpha$" und "Tangens von $\alpha$". Merke dir die Beziehungen, etwa mit

• singh, cosah, tanga
• Gustav Hausers alte Hennen gackern am Abend gerne
• GAGA Hühnerhof AG

Natürlich könnten wir auch andere Längenverhältnisse in Betracht ziehen ($\frac{H}{G}, \frac{H}{A}$ und $\frac{A}{G}$), aber diese lassen sich aus den oben genannten berechnen. Zum Beispiel, wenn wir für ein rechtwinkliges Dreieck wissen, dass $\frac{G}{H}=0.5$ ist, ergibt sich $G=0.5 H$ und somit $\frac{H}{G}=2$.

Wir werden später sehen, warum all diese Verhältnisse nützlich sind. Diskutieren wir zuerst ein paar wichtige Eigenschaften:

A. Längenverhältnisse sind für alle rechtwinkligen Dreiecke mit gleichen Winkeln gleich

Nehmen wir an, jemand zeichnet ein rechtwinkliges Dreieck auf ein Blatt Papier und markiert einen $\alpha$-Winkel von $30^\circ$. Angenommen, wir können dieses Papier nicht sehen. Was können wir über die Seitenlängenverhältnisse $\frac{G}{H}, \frac{A}{H}$ und $\frac{G}{A}$ dieses Dreiecks sagen? Oder in unserer neuen Notation, was können wir über $\sin(30^\circ)$, $\cos(30^\circ)$ und $\tan(30^\circ)$ sagen?

Nun, du könntest sagen, dass dies von den genauen Details des Dreiecks abhängt, wie seiner genauen Grösse und Form. Du müsstest das Dreieck also tatsächlich sehen, um diese Frage zu beantworten. Aber tatsächlich ist dies nicht wahr! Wir erklären nun, warum das so ist.

Erstens, weil es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt und einer der Winkel $30^\circ$ ist, wissen wir, dass der andere verbleibende Winkel $60^\circ$ ist. Dies bedeutet, dass die Form dieses Dreiecks festgelegt ist. Wenn fünf Personen in Isolation zehn rechtwinklige Dreiecke zeichnen, bei denen ein Winkel $30^\circ$ ist, werden sie alle sehr ähnlich aussehen. Sie können unterschiedlich ausgerichtet sein, aber wenn wir sie ausschneiden, könnten wir sie alle so anordnen, dass der $30^\circ$-Winkel links, der $90^\circ$-Winkel oben und der $60^\circ$-Winkel rechts ist, wie unten dargestellt:

Die einzige Unterschiede zwischen diesen zehn Dreiecken sind also die Grössen. Einige Dreiecke werden grösser sein, einige kleiner. Als Nebenbemerkung werden geometrische Objekte mit derselben Form als ähnlich bezeichnet. Wenn sie dieselbe Form und Grösse haben, nennen wir sie kongruent. Alle fünf Dreiecke, die von diesen fünf Personen gezeichnet wurden, sind also ähnliche Dreiecke.

Zweitens sind die Grössenunterschiede so, dass die entsprechenden Längenverhältnisse aller fünf Dreiecke gleich sind. Tatsächlich sind die Längenverhältnisse für jede dieser $5$ Dreiecke gleich:

Daher können wir sagen, dass $\sin(30^\circ)=0.5$, $\cos(30^\circ)=0.866$ und $\tan(30^\circ)=0.577$ für alle rechtwinkligen Dreiecke mit $\alpha=30^\circ$ gleich sind.

Die Gleichheit dieser Verhältnisse folgt tatsächlich aus dem Strahlensatz, den wir kurz in Abschnitt 24 diskutiert haben. Klicken Sie rechts, um das Argument zu sehen.

Um den Punkt zu verdeutlichen, lassen Sie uns die Gleichheit durch Messen der Seitenlängen selbst überprüfen:

Natürlich sind alle Argumente, die wir über rechtwinklige Dreiecke mit $\alpha=30^\circ$ gemacht haben, auch für rechtwinklige Dreiecke mit einem beliebigen Winkel $\alpha$ gültig. Je nach Wert von $\alpha$ werden sich jedoch die Längenverhältnisse ändern! Fassen wir zusammen:

B. Wie man die genauen Werte der Längenverhältnisse findet

Betrachte ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Innenwinkel $\alpha$. Wir möchten die Längenverhältnisse $\sin(\alpha), \cos(\alpha)$ und $\tan(\alpha)$ finden. Wie können wir das tun?

Eine Methode besteht darin, ein solches Dreieck zu zeichnen, die Seitenlängen von $G$, $A$ und $H$ zu messen und dann zu berechnen

Leider ist diese Methode nicht genau. Glücklicherweise haben die meisten Taschenrechner die Längenverhältnisse für alle Winkel $\alpha$ zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ gespeichert. Die Tasten heissen, Überraschung, auch sin, cos und tan. Wenn du zum Beispiel den Taschenrechner nimmst und sin(30) eingibst, erhältst du den Wert $0.5$, für cos(30) erhältst du den Wert $0.866...$ und für tan(30) erhältst du den Wert $0.577...$. So habe ich die Längenverhältnisse im vorherigen Abschnitt A berechnet.

Exercise 3

1. Bestimme $\sin(55^\circ)$, $\cos(55^\circ)$, $\tan(55^\circ)$ durch Zeichnen und Messen der Seitenlängen. Finde dann die genauen Werte mit dem Taschenrechner.

2. Bestimme die fehlenden Seitenlängen und den fehlenden Winkel (genaue Werte).

   

3. Du bist auf einem Boot und wirfst den Anker. Du kannst den Winkel der Kette messen, die am Anker befestigt ist ($39^\circ$), und du kennst die Länge der Kette ($30m$). Wie tief ist das Wasser?

   

Solution

1. Für die Schätzung zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $\alpha=55^\circ$ und beschrifte die Seitenlängen relativ zu $\alpha$. Miss dann die Seitenlängen $G$, $A$ und $H$ und bilde die Verhältnisse $\sin(55^\circ)=\frac{G}{H}$, $\cos(55^\circ)=\frac{A}{H}$, $\tan(55^\circ)=\frac{G}{A}$. Um die genauen Werte zu finden, verwende den Taschenrechner: $\sin(55^\circ)=\underline{0.819}$, $\cos(55^\circ)=\underline{0.574}$, $\tan(55^\circ)=\underline{1.428}$
2. $\cos(20^\circ)=\frac{10}{H}=0.9397 \rightarrow 10=0.9397 H\rightarrow H=\frac{10}{0.9397}=\underline{10.642}$. Um die dritte Seitenlänge zu finden, können wir eine der anderen trigonometrischen Funktionen verwenden oder den Satz des Pythagoras. Mit dem Satz des Pythagoras haben wir $G=\sqrt{10.642^2-10^2}=\underline{3.6397}$. Der dritte Winkel beträgt $180^\circ-90^\circ-20^\circ=\underline{70^\circ}$.
3. Die Wassertiefe ist $G$ im rechtwinkligen Dreieck mit Bezugswinkel $39^\circ$ und $H=30$. Also ist $\sin(39^\circ)=\frac{G}{30}=0.6293 \rightarrow G=\underline{18.8796}$.