Weitere Probleme 4

Exercise 1

Q1

Berechne alle unbekannten Seitenlängen und Winkel:

Q2

Für die Winkel $\alpha=30^\circ, 45^\circ$ und $60^\circ$ ist es möglich, die genauen Werte von $\sin(\alpha), \cos(\alpha)$ und $\tan(\alpha)$ zu berechnen. Finde also die exakten Werte ohne die Taschenrechner-Tasten sin, cos und tan zu verwenden. Fülle dann die Tabelle unten aus:

\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline & \alpha=30^\circ & \alpha=45^\circ & \alpha=60^\circ \\\hline \sin(\alpha) & & & \\\hline \cos(\alpha) & & & \\\hline \tan(\alpha) & & & \\\hline \end{array}

Tipp: Du benötigst ein gleichseitiges Dreieck und auch ein rechtwinkliges Dreieck mit gleichlangen gegenüberliegenden und angrenzenden Seiten ...

Q3

Berechne den Wert von $x$ in den folgenden Fällen:

Q4

Bestimme die Fläche des abgebildeten Parkplatzes (es ist ein Parallelogramm).

Q5

Zeige, dass die folgenden Beziehungen korrekt sind

\begin{array}{lll} \sin(\alpha)^2+\cos(\alpha)^2&=&1\\ \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}&=&\tan(\alpha)\\ \cos(\alpha)&=&\sin(90-\alpha) \end{array}

Q6

Rechtwinklige Dreiecke mit einem Winkel von $\alpha=0^\circ$ oder $\alpha=90^\circ$ existieren nicht. Dennoch:

Was könnten die Werte von $\sin(0^\circ)$ , $\cos(0^\circ)$ und $\tan(0^\circ)$ sein?
Was könnten die Werte von $\sin(90^\circ)$ , $\cos(90^\circ)$ und $\tan(90^\circ)$ sein?

Tipp: Betrachte die Abbildung unten.

Solution

A1

$x=4.97..., y=4.17...$
$x=5.09..., y=3.6$
$x=1.99..., y=8.24...$

A2

Siehe gleichseitiges Dreieck. Wir können eine Seitenlänge von $1$ oder eine andere Länge wählen. Die Höhe des Dreiecks ist dann (unter Verwendung des Satzes des Pythagoras)

\sqrt{1^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{4}}

Dann haben wir:

$\sin(30^\circ)=\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}$
$\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{\frac{3}{4}}}{1}=\sqrt{\frac{3}{4}}$
$\tan(30^\circ)=\frac{1/2}{\sqrt{\frac{3}{4}}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{\frac{3}{4}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ Wir haben auch:
$\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{\frac{3}{4}}}{1}=\sqrt{\frac{3}{4}}$
$\cos(60^\circ)=\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}$
$\tan(60^\circ)=\frac{\sqrt{\frac{3}{4}}}{1/2}=2\cdot \sqrt{\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$

Siehe das Quadrat mit der Seitenlänge 1. Mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir die Länge der Diagonalen:

\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}

Wir haben

$\sin(45^\circ)=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos(45^\circ)=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\tan(45^\circ)=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=1$

Zusammenfassend haben wir

\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \alpha & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ \\\hline \sin(\alpha) & \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{\frac{3}{4}}\\\hline \cos(\alpha) & \sqrt{\frac{3}{4}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2}\\\hline \tan(\alpha) & \frac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \sqrt{3} \\\hline \end{array}

A3

Siehe Abbildung unten, links. Es gilt $\underbrace{\tan(45^\circ)}_{=1}=\frac{x}{a}$ also $x=a$ Mit $\underbrace{\tan(30^\circ)}_{0.577}=\frac{x}{50+a}=\frac{x}{50+x}\quad \vert \cdot(50+x)$ ergibt sich $28.86 = 0.422 x$ und somit $x=\underline{68.30}$ .
Siehe Abbildung unten, rechts. Es gilt $\underbrace{\tan(30^\circ)}_{=0.577}=\frac{a}{20}$ also $a=20\cdot 0.577 = 11.54$ Mit $\underbrace{\tan(30^\circ)}_{=0.577}=\frac{20}{a+x}=\frac{20}{11.54+x} \quad \vert \cdot(11.54+x)$ folgt $x=\underline{23.09}$

A4

Fläche $A=320\cdot h=\underline{69\,344.9 m^2}$ , wobei $h=275\cdot \sin(52^\circ)=216.7$ .

A5

Mit dem Satz des Pythagoras folgt $A^2+G^2=H^2$ . Somit gilt $\begin{array}{lll} \sin(\alpha)^2+\cos(\alpha)^2&=&\left( \frac{G}{H} \right)^2 + \left( \frac{A}{H} \right)^2\\[5pt] &=&\frac{G^2+A^2}{H^2}\\[5pt] &=&\frac{H^2}{H^2}\\[5pt] &=&1\end{array}$
$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\frac{\frac{G}{H}}{\frac{A}{H}}=\frac{G}{H} \cdot \frac{H}{A}=\frac{G}{A}=\tan{\alpha}$
Beachte, dass der andere Winkel des rechtwinkligen Dreiecks den Wert $\beta=90^\circ-\alpha$ hat, somit gilt $\begin{array}{lll} \cos(\alpha) &=& \frac{u}{H}\\ &=&\sin(\beta)\\ &=&\sin(90^\circ-\alpha) \end{array}$

A6

Siehe die Abbildung im gegebenen Tipp.

Für $\alpha \rightarrow 0^\circ$ sehen wir, dass $O\rightarrow 0$ und $A\rightarrow H$ , somit haben wir:

$\frac{G}{H}\rightarrow \frac{0}{H}=0$ . Somit gilt $\sin(0^\circ)=0$ .
$\frac{A}{H}\rightarrow \frac{H}{H}=1$ . Somit gilt $\cos(0^\circ)=1$ .
$\frac{G}{A}\rightarrow \frac{0}{H}=0$ . Somit gilt $\tan(0^\circ)=0$ .

Für $\alpha \rightarrow 90^\circ$ sehen wir, dass $O\rightarrow H$ und $A\rightarrow 0$ , somit haben wir:

$\frac{G}{H}\rightarrow \frac{H}{H}=1$ . Somit gilt $\sin(90^\circ)=1$ .
$\frac{A}{H}\rightarrow \frac{0}{H}=0$ . Somit gilt $\cos(90^\circ)=0$ .
$\frac{G}{A}\rightarrow \frac{H}{0}=\infty$ . Somit gilt $\tan(90^\circ)=\infty$ .