Die Normalverteilung

Wir besprechen nun die wichtigste Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Sie wird für Daten verwendet, die sich um einen einzigen Wert gruppieren.

Definition 1: Normalverteilte Zufallsvariable

Eine kontinuierliche Zufallsvariable $X$ wird normalverteilt genannt, wenn die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von $X$ gegeben ist durch

f_{\mu,\sigma}(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}

wobei $\mu$ der Mittelwert und $\sigma$ die Standardabweichung von $X$ sind.

Der Graph sieht aus wie eine Glocke (siehe unten), weshalb der Graph auch Glockenkurve genannt wird, wobei $\mu$ die Position der Glocke und $\sigma$ deren Breite angibt.

Open in GeoGebra

Diskutieren wir ein paar Eigenschaften des Graphen der Funktion $f_{\mu,\sigma}$ :

Theorem 1: Eigenschaften der Glockenkurve

Betrachten wir eine normalverteilte Zufallsvariable $X$ mit Mittelwert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ . Wir haben die folgenden Eigenschaften von $f_{\mu,\sigma}$ (siehe Abbildung unten):

Der Peak $P$ liegt bei $\mu$ , und seine Höhe ist
$y=f_{\mu,\sigma}(\mu)\approx \frac{0.4}{\sigma}$
die Wendepunkte $A$ und $B$ sind ein $\sigma$ vom Mittelwert entfernt und haben die Höhe
$y=f_{\mu,\sigma}(\mu\pm\sigma)\approx\frac{0.24}{\sigma}$
die Breite der Kurve, definiert als Distanz zwischen den beiden Wendepunkten, ist $2\sigma$
Die Punkte $U$ und $V$ , die $2\sigma$ von $\mu$ entfernt sind, haben die Höhe
$y=f_{\mu,\sigma}(\mu\pm 2\sigma) \approx \frac{0.05}{\sigma}$
$\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_{\mu,\sigma}(x)\, dx = \mu$ (der Mittelwert von $X$ ist $\mu$ )
$\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 \cdot f_{\mu,\sigma}(x)\, dx} = \sigma$ (die Standardabweichung von $X$ ist $\sigma$ )

Je grösser $\sigma$ ist, d.h. je breiter die Kurve ist, desto flacher muss die Kurve sein, da die Gesamtfläche unter dem Graphen immer $1$ sein muss.

Proof

Um es einfach zu halten, nehmen wir $\mu=0, \sigma=1$ , der allgemeine Fall verläuft aber analog. Damit haben wir

f_{0,1}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-x^2/2}

Um das Maximum zu finden, muss $x$ so gesucht werden, dass
$f'(x)=0$
also
$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-x^2/2} \cdot (-x)=0$
und dies ist nur für $x=0$ möglich. Da $f^{\prime\prime}(0)<0$ ist, handelt es sich tatsächlich um ein Maximum. Die $y$ -Koordinate des Maximums ist
$y=f_{0,1}(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^0 \approx 0.4$
Es ist also $P(0|0.4)$ .
Für den Wendepunkt muss $x$ so gefunden werden, dass
$f^{\prime\prime}(x)=0$
Es ist also $x$ zu finden mit
$f^{\prime\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-x^2/2} \cdot (x^2 - 1)=0$
und wir sehen, dass dies für $x^2-1=0$ möglich ist, d.h. wenn $x=-1$ oder $x=1$ . Mit dem Taschenrechner erhalten wir $y=f(-1)=f(1)=0.24...$ . Wir erhalten also $A(-1 | 0.24...)$ und $B(1| 0.24...)$ .

Um sicher zu sein, dass es sich um Wendepunkte handelt, sollte auch die dritte Ableitung berechnet und geprüft werden, dass $f^{\prime\prime\prime}(1)\neq 0$ und $f^{\prime\prime\prime}(-1)\neq 0$ . Dies wird der Leserschaft überlassen.
Wir haben
$\begin{array}{lll} \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_{0,1}(x)\, dx &=& \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\, dx\\ &=& F(\infty)-F(-\infty)\\ &=& 0 \end{array}$
wobei $F(x)=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ die Stammfunktion von $x\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ ist.

Der Mittelwert ist also $0$ .
Der Beweis hierfür ist aufwändiger und wird an dieser Stelle weggelassen.

Exercise 1: Skizze der Normalverteilung

Eine Zufallsvariable $X$ mit Mittelwert $2$ und Standardabweichung $0.5$ ist normalverteilt. Skizziere den Graphen der Dichtefunktion, indem du zunächst den Maximalpunkt $P$ , die Wendepunkte $A$ und $B$ sowie die Höhe des Graphen $2\sigma$ entfernt von $\mu$ berechnest (siehe die Formeln in Satz 1).

Zur Überprüfung der Skizze plotte die Dichtefunktion mit dem Taschenrechner (oder Geogebra).

Solution

Da $\mu=2$ und $\sigma=0.5$ ist, müssen wir den Graphen der Funktion $f_{2,0.5}$ zeichnen.

Die Koordinaten der Punkte sind

P(2\vert 0.8), A(1.5\vert 0.48), B(2.5\vert 0.48), U(1\vert 0.1), V(3\vert 0.1)