Wahrscheinlichkeitsberechnungen mit der Normalverteilung

Für eine normalverteilte Zufallsvariable $X$ mit Mittelwert $\mu=2$ und Standardabweichung $\sigma=3$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert zwischen $0$ und $0.5$ annimmt, gegeben durch

Equation 1

\begin{array}{lll} p(X\in [0,0.5])&=&\int_{0}^{0.5} f_{2,3}(x)\, dx\\[0.5em] &=& \int_{0}^{0.5} \frac{1}{3\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-2}{3}\right)^2}\, dx\\[0.5em] &=& F(0.5)-F(0) \end{array}

wobei $F$ die Stammfunktion der Glockenkurve $f_{2,3}$ ist. Leider lässt sich die Stammfunktion $F$ nicht durch eine beliebige Kombination von Elementarfunktionen wie $x^n, \sin(x), e^x, \log(x)$ usw. ausdrücken. Wir müssen das Integral mit Hilfe des Taschenrechners bestimmen. Als Taschenrechner noch selten waren, benutzte man grosse Tabellen, in denen die Fläche unter der Kurve für viele verschiedene Intervalle aufgelistet war. Es gibt zwei Methoden:

Benutze die numerische Integration auf dem Taschenrechner, um Gleichung (1) zu bestimmen.
Benutze im Menü $\texttt{distr}$ die Funktion $\texttt{Normalcdf}$ .

Beachte: Im Menü $\texttt{distr}$ gibt es auch die Funktion $\texttt{Normalpdf}$ , was aber nichts anderes ist als die Glockenkurve $f_{\mu,\sigma}$ .

Alle diese Methoden funktionieren natürlich auch für beliebig andere Werte von $\mu$ und $\sigma$ .

Exercise 1: Normalverteilung im Taschenrechner

Benutze den Taschenrechner, um die Wahrscheinlichkeit auf mindestens zwei Arten zu bestimmen:

p(X\in [0,0.5]) = \int_{0}^{0.5} \frac{1}{3\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-2}{3}\right)^2}\, dx

Solution

$p(X\in [0,0.5]) = \underline{\dots}$

Es gibt einige Flächen unter der Kurve von $f_{\mu,\sigma}$ , die nützlich zu wissen sind, vor allem, weil sie in statistischen Anwendungen häufig vorkommen. Hier sind einige dieser Flächen:

Theorem 1: Standardintervalle der Normalverteilung

Die Fläche unter der Glockenkurve $f_{\mu,\sigma}$ zwischen

$\mu-\sigma$ und $\mu+\sigma$ beträgt $0.683$
$\mu-2\sigma$ und $\mu+2\sigma$ beträgt $0.954$
$\mu-3\sigma$ und $\mu+3\sigma$ beträgt $0.997$

Beachte, dass diese Flächen unabhängig von den Werten von $\mu$ und $\sigma$ sind!

Exercise 2: Überprüfung der Standardintervalle

Verwende den Taschenrechner, um die obigen Flächen für $\mu=1$ und $\sigma=2$ zu überprüfen.
Betrachte eine Zufallsvariable $X$ mit Mittelwert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ , die normalverteilt ist. Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
1. $p(X\in [\mu-\sigma, \mu+\sigma])$
2. $p(X\leq \mu)$
Die Zufallsvariable $X$ hat den Mittelwert $3$ und die Standardabweichung $0.6$ . Führe das Experiment $10\,000$ Mal durch. Wie viele Werte von $X$ liegen (ungefähr) zwischen $1.8$ und $4.2$ ?

Solution

Nichts zu zeigen.
Wir versuchen, die Flächen mit Hilfe der Intervalle aus Satz 1 auszudrücken, zusammen mit der Tatsache, dass die Gesamtfläche unter der Kurve $1$ beträgt.
1. $p(X\in [\mu-\sigma, \mu+\sigma])=\underline{0.683}$
2. $p(X\leq \mu)=\underline{0.5}$ (die Hälfte der Gesamtfläche von $1$ )
$p(X\in[1.8,4.2])=p(X\in [\mu-2\sigma,\mu+2\sigma])=\underline{0.954}$ , also etwa $0.954\cdot 10\,000 = 9540$ Werte von $X$ .

Exercise 3: Normalverteilung von Schraubenlängen

Eine Maschine produziert Schrauben der Länge $60\unit{mm}$ . Aber die Produktion ist nicht perfekt, und die Länge kann variieren. Um mehr darüber herauszufinden, wird die Länge von $1000$ Schrauben gemessen. Die Häufigkeitstabelle zeigt Folgendes:

\begin{array}{l|l} \text{Klasse (mm)}& \text{Häufigkeit} \\\hline 56.5-57.5 & 18\\ 57.5-58.5 & 72\\ 58.5-59.5 & 196\\ 59.5-60.5 & 398\\ 60.5-61.5 & 217\\ 61.5-62.5 & 89\\ 62.5-63.5 & 10\\ \end{array}

Ebenfalls wird von den $1000$ Schrauben die mittlere Länge berechnet ( $60.31\unit{mm}$ ) und die Standardabweichung ( $1.14\unit{mm}$ ).

Skizziere das Histogramm der Schraubenlängen auf der Grundlage der obigen Tabelle.
Prüfe, ob die Schraubenlängen annähernd normalverteilt sind, indem der Graph der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion $f_{60.31,1.14}$ in dasselbe Koordinatensystem wie das Histogramm gezeichnet wird. Verwende die fünf Punkte, die im vorherigen Abschnitt besprochen wurden. Was denkst du, sind die Schrauben normalverteilt?
Bestimme anhand des Modells $f_{60.31,1.14}$ die Wahrscheinlichkeit, dass die Schraubenlänge um weniger als $2\sigma$ vom Mittelwert abweicht.

Solution

Siehe unten.
Siehe unten.
Da die Daten $X$ (die Schraubenlänge) annähernd normalverteilt sind (siehe Abbildung oben, in (a)), ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Schraubenlänge zwischen $\mu-2\sigma$ und $\mu+2\sigma$ liegt, $\underline{0.954}$ (siehe Satz 1). Natürlich könnten wir das Integral auch mit dem Taschenrechner bestimmen und kämen wegen $\mu-2\sigma = 58.03$ und $\mu+2\sigma=62.59$ auf die gleiche Zahl:
$\int_{58.03}^{62.59} f_{60.31,1.14}(x)\,dx=0.954$

Exercise 4: Körpertemperatur

Die Körpertemperatur eines gesunden Erwachsenen ist annähernd normalverteilt mit einem Mittelwert von $37^\circ\text{C}$ und einer Standardabweichung von $0.4^\circ\text{C}$ .

Beschreibe das zugrunde liegende Experiment und die Zufallsvariable $X$ .
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Temperatur um mehr als $0.8^\circ\text{C}$ vom Mittelwert abweicht.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Temperatur kleiner als $36.6^\circ\text{C}$ ist.
Welche Mindesttemperatur haben die wärmsten $5\%$ der Menschen?

Solution

Das Zufallsexperiment lautet: "Wähle zufällig einen gesunden Erwachsenen aus", und die Zufallsvariable ist $X = \text{"Messe die Körpertemperatur"}$ .
Da $2\sigma=0.8$ ist, ist die Wahrscheinlichkeit gemäss Satz 1
$p(\mu-2\sigma \leq X\leq \mu+2\sigma)=0.954$
und daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ ausserhalb dieses Bereichs liegt:
$1-0.954=\underline{0.046}$
$p(X\leq 36.6)=p(X\leq \mu-\sigma) = 0.5-\frac{0.683}{2}=\underline{0.1585}$ .
Die wärmsten $5\%$ der Menschen befinden sich im rechten Teil unter der Kurve (siehe Abbildung unten), was einer Mindesttemperatur von $\mu+1.64\sigma=\underline{37.656^\circ\text{C}}$ entspricht.

Exercise 5: Wendepunkte der Glockenkurve

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f$ einer normalverteilten Zufallsvariablen $X$ hat Wendepunkte bei $x=7$ und $x=11$ . Bestimme:

die Funktionsgleichung von $f$
die Wahrscheinlichkeit $p(6.1<X<10.3)$
die Wahrscheinlichkeit $p(X>7.5)$

Solution

Finde $\mu$ und $\sigma$ . Da $\mu$ in der Mitte zwischen den $x$ -Koordinaten der Wendepunkte liegt, erhalten wir $\mu=9$ , und da die Wendepunkte $1\sigma$ von $\mu$ entfernt sind, ist $\sigma=2$ . Somit gilt:

f_{9,2}(x)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-9}{2}\right)^2}

$p(6.1<X<10.3)=\int_{6.1}^{10.3} f_{9,2}(x)\, dx$ und mit dem Taschenrechner erhalten wir $\underline{0.6687}$ .
Da wir $\infty$ nicht in den Taschenrechner eingeben können, teilen wir die Fläche wie folgt auf (siehe Abbildung unten):
$\begin{array}{lll} p(X>7.5)&=&\int_{7.5}^\infty f_{9,2}(x)\,dx \\ &=&\int_{7.5}^{9} f_{9,2}(x)\,dx+0.5\\ &=& 0.2734+0.5\\ &=&\underline{0.7734} \end{array}$

Exercise 6: Analyse eines Datensatzes

Unten ist die Häufigkeitstabelle eines Datensatzes gegeben. Der Mittelwert der Daten ist $m=29.6$ , die Standardabweichung $s=7.6$ .

Zeige, dass die Daten ungefähr normalverteilt sind, indem das Histogramm angefertigt wird und die Normalverteilung mit den Parametern $\mu=29.6$ und $\sigma=7.6$ ebenfalls eingezeichnet wird.
Basierend auf der Normalverteilung: Bestimme die (ungefähre) Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Datenpunkt zwischen $22$ und $37.2$ liegt.
Basierend auf der Normalverteilung: Bestimme ein (ungefähres) Intervall $[a,b]$ so, dass ein zufällig gewählter Datenpunkt mit Wahrscheinlichkeit $0.95$ in diesem Intervall liegt.

\begin{array}{rcl|l} && & \text{Häufigkeit} \\\hline 0&-&2.5 & 0\\ 2.5&-&5 & 0\\ 5&-&7.5 &2\\ 7.5&-&10 &0\\ 10&-&12.5 &4\\ 12.5&-&15 &6\\ 15&-&17.5 &8\\ 17.5&-&20 &11\\ 20&-&22.5 &17\\ 22.5&-&25 &31\\ 25&-&27.5 &31\\ 27.5&-&30 &46\\ 30&-&32.5 &44\\ 32.5&-&35 &30\\ 35&-&37.5 &27\\ 37.5&-&40 &23\\ 40&-&42.5 &6\\ 42.5&-&45 &9\\ 45&-&47.5 &2\\ 47.5&-&50 &3\\ 50&-&52.5 &1\\ 52.5&-&55 &0\\ 55&-&57.5 &0\\ 57.5&-&60 &0\\ \end{array}

Solution

Um die Dichten für das Histogramm zu bekommen, müssen wir die Häufigkeiten durch $n$ teilen (relative Häufigkeit) und dann auch noch durch die Klassenbreite $\Delta x$ . Zählen wir die Häufigkeiten zusammen, so erhalten wir $n=301$ , und die Klassenbreite ist $\Delta x=2.5$ . Wir erhalten also die Dichten:
$\begin{array}{rcl|c|l} && & \text{Häufigkeit} & \text{Dichte} \\\hline 0&-&2.5 & 0 & 0\\ 2.5&-&5 & 0 & 0\\ 5&-&7.5 &2 & 0.00265781\\ 7.5&-&10 &0 & 0\\ 10&-&12.5 &4 & 0.00531561\\ 12.5&-&15 &6 & 0.00797342\\ 15&-&17.5 &8 & 0.0106312\\ 17.5&-&20 &11 & 0.0146179\\ 20&-&22.5 &17 & 0.0225914\\ 22.5&-&25 &31 & 0.041196\\ 25&-&27.5 &31 & 0.041196\\ 27.5&-&30 &46 & 0.0611296\\ 30&-&32.5 &44 & 0.0584718\\ 32.5&-&35 &30 & 0.0398671\\ 35&-&37.5 &27 & 0.0358804\\ 37.5&-&40 &23 & 0.0305648\\ 40&-&42.5 &6 & 0.00797342\\ 42.5&-&45 &9 & 0.0119601\\ 45&-&47.5 &2 & 0.00265781\\ 47.5&-&50 &3 & 0.00398671\\ 50&-&52.5 &1 & 0.0013289\\ 52.5&-&55 &0 & 0\\ 55&-&57.5 &0 & 0\\ 57.5&-&60 &0 & 0\\ \end{array}$
Das Histogramm und die Normalverteilung sind unten gezeigt. Für die Normalverteilung berechnen wir wie immer die fünf Punkte bei $x=\mu \pm 2\sigma, x=\mu \pm\sigma$ und $x=\mu$ . Wir erhalten die Punkte $C(14.4 \mid 0.006), D(44.8 \mid 0.006 ), A(22 \mid 0.031 ), B(37.2 \mid 0.031), P(29.6 \mid 0.052 )$ .
Es gilt $22=\mu-\sigma$ und $37.2=\mu+\sigma$ . Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Datenpunkt in diesem Intervall liegt, ist die Fläche unter der Kurve zwischen $\mu-\sigma$ und $\mu+\sigma$ , und das ist $p=\underline{0.683}$ (siehe Satz 1). Natürlich könnten wir auch mit dem Taschenrechner das Integral $\int_{22}^{37.2} f_{29.6,7.6}(x)\, dx$ ausrechnen.
Es gilt $a=\mu-1.96\sigma=29.6-1.96\cdot 7.6=14.7$ und $b=\mu+1.96\sigma=29.6+1.96\cdot 7.6=\underline{44.5}$ .

Exercise 7: Gewicht von Melonen

Messungen des Gewichts von $10\,000$ Melonen ergeben einen Mittelwert von $m=3.24\unit{kg}$ and eine Standardabweichung von $s=0.55\unit{kg}$ . Das Histogramm der Gewichte zeigt, dass die Gewichte ungefähr normalverteilt sind.

Wie viele Melonen haben ungefähr ein Gewicht grösser als $3.79\unit{kg}$ ?
Zwischen welchen Gewichten $a$ und $b$ liegen etwa $95\%$ der Melonen?

Solution

Da die Daten normalverteilt sind mit Mittelwert $\mu=3.24$ und Standardabweichung $\sigma=0.55$ , ist die Normalverteilung, welche das Histogramm approximiert, gegeben durch $f_{3.24,0.55}$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Melone schwerer ist als $3.79\unit{kg}$ , ist die Fläche unter der Kurve von $f_{3.24,0.55}$ von $3.79$ bis $\infty$ . Wegen $3.79=\mu+\sigma$ ist diese Fläche gemäss Satz 1 gerade $(1-0.683)/2=0.1585$ . Da es $10\,000$ Melonen sind, sind also ungefähr $0.1585\cdot 10\,000=\underline{1585}$ Melonen schwerer als $3.79\unit{kg}$ .
$a=\mu-1.96\sigma=\underline{2.162\unit{kg}}, b=\mu+1.96\sigma = \underline{4.318\unit{kg}}$