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Wachstum

Exercise 1: Grundbegriffe Wachstum

Erkläre:

Was ist eine Exponentialfunktion? Gib Beispiele.
Wie sieht der Graph einer Exponentialfunktion aus? Brauche eine Wertetabelle, um den Graph zu skizzieren.
Was ist exponentielles Wachstum, was lineares Wachstum? Erkläre in Worten. Gib Beispiele und finde die Funktion $f$ , welche das Wachstum beschreibt.

Solution

Zum Beispiel
- $f(x)=2^x$
- $g(x)=5\cdot 10^x$
- $h(x)=2.5\cdot 5^\frac{x}{3}$
Wir skizzieren den Graph der Funktion $f(x)=2^x$ . Wertetabelle und Skizze sind unten gezeigt:

Lineares Wachstum: wenn etwas in jedem Zeitschritt immer um den gleichen Betrag zunimmt (oder abnimmt). Etwa beim Strassenbau: jede 3 Wochen verlängert sich die Strasse um $150m$ . Besitzt die Strasse in der Woche $1$ die Länge $20m$ , so haben wir:

\begin{array}{llllll} \text{Länge} & 20 \xrightarrow[]{+150}& 170\xrightarrow[]{+150} & 320 \xrightarrow[]{+150}& 470 \xrightarrow[]{+150}& ... & y\\ \text{Woche} & 1 & 4 & 7 & 11 & ... & x\\ \end{array}

Tragen wir die Punkte in einem Koordinatensystem auf, so sehen wir, dass die Punkte eine Gerade bilden (hier nicht gezeigt). Daraus lässt sich die Funktion ableiten:

Da es eine Gerade ist, muss es eine lineare Funktion sein: $f(x)=ax+b$ .
Die Steigung $a$ ist $a=\frac{150}{3}=50$ , also $f(x)=50x+b$
Der Punkt $(1|20)$ ist auf der Geraden, also muss gelten $f(1)=20$ , daher $50\cdot 1+b=20$ , also $b=-30$ .

Es ist also $f(x)=50x-30$ .

Exponentielles Wachstum: wenn etwas in in jedem Zeitschritt sich mit dem gleichen Faktor multipliziert. Zum Beispiel: jede 3 Jahre verdoppelt sich die Kaninchenzahl. Angenommen, im Jahr 0 hat es $6$ Kaninchen, dann haben wir das folgende:

\begin{array}{llllll} \text{Anzahl} & 6 \xrightarrow[]{\cdot 2}& 12\xrightarrow[]{\cdot 2} & 24 \xrightarrow[]{\cdot 2}& 48 \xrightarrow[]{\cdot 2}& ... & y\\ \text{Jahre} & 0 & 3 & 6 & 9 & ... & x\\ \end{array}

Beachte, dass wir in jedem Zeitschritt $\cdot 2$ rechnen. Wir haben also für die Funktion $f$ , welche das Wachstum beschreibt, dass

\begin{array}{lll} f(0) &=& 6 & \\ f(3) &=& 6\cdot 2^1 & \text{nach 1 Zeitschritt}\\ f(6) &=& 6\cdot 2^2 & \text{nach 2 Zeitschritten}\\ f(9) &=& 6\cdot 2^3 & \text{nach 3 Zeitschritten}\\ ... \end{array}

Um zu berechnen, wie gross die Anzahl Kaninchen nach $x$ Jaren ist, müssenwir wissen, wie viele Zeitschritte wir brauchen um von $0$ nach $x$ Jahren zu kommen, wobei die Schrittgrösse $3$ ist. Dies sind $\frac{x}{3}$ Schritte. Also muss gelten

f(x)=6\cdot 2^\frac{x}{3}

Exercise 2: Prozentuale Zunahme

Du hast im Jahr $0$ ein Vermögen von $240$ auf deiner Bank. Die Bank zahlt dir jedes Jahr $10\%$ des aktuellen Vermögens in dein Konto ein. Berechne, wieviel du im Jahr $3$ auf der Bank hast.

Wie wächst dein Vermögen: linear oder exponential? Argumentiere. Wie lautet die Formel, um das Vermögen im Jahre $x$ auszurechnen?

Solution

Hier sind die ersten paar Werte:

Nach einem Jahr ist das Vermögen: $240+10\% \text{ von 240}$ , also $240+0.1\cdot 240 =264$
Nach zwei Jahren ist das Vermögen: $264+10\% \text{ von 264}$ , also $264+0.1\cdot 264 =290.4$
Nach drei Jahren ist das Vermögen: $290.4+10\% \text{ von 290.4}$ , also $290.4+0.1\cdot 290.4 =319.44$

Wir sehen also, dass sich das Vermögen nicht linear wächst, da due Zunahme nicht konstant bleibt. Von $240$ zu $265$ ist es $24$ , von $265$ zu $290.4$ ist es aber $26.4$ . Ist es also exponentielles Wachstum? In der Tat, in jedem Zeitschritt wird das Vermögen mit dem gleichen Faktor $1.1$ multipliziert: $240\cdot 1.1=264$ , $264\cdot 1.1 = 290.4$ , $294\cdot 1.1= 319.44$ .

Die Funktion, welches das Vermögen zur Zeit $x$ beschreibt, ist also

f(x)=240\cdot 1.1^x

Exercise 3: Logarithmus

Wie ist der Logarithmus definiert? Was ist die Basis des Logarithmus?
Bestimme
1. $\log_{10}(1000)$
2. $\log_{10}(0.1)$
3. $\log_{10}(\sqrt{10})$ .
Was ist die wichtigste Eigenschaft des Logarithmus, um eine Gleichung zu lösen, in der eine Exponentialfunktion vorkommt? Zum Beispiel, löse die Gleichung
$3\cdot 4^x = 15$

Solution

Der Logarithmus $\log_{10}(100)$ beantwortet die Frage: $10$ hoch was ist $100$ , daher $10^\text{was}=100$ . Die Antwort ist $2$ , wir können also schreiben $\log_{10}(100)=2$ . Die $10$ wir die Basis des Logarithmus genannt.

Wir können auch andere Basen brauchen, zum Beispiel, was ist $\log_2(16)=$ ? Wir müssen uns nun also Fragen: $2$ hoch was ist $16$ , daher $2^\text{was}=16$ , und die Antwort ist $4$ , also $\log_2(16)=4$ .
1. $\log_{10}(1000)=3$ da $10^3=1000$
$\log_{10}(0.1)=-1$ , da $10^{-1}=0.1$
$\log_{10}(\sqrt{10})=0.5$ , da $10^{1/2}=\sqrt{10}$
Die wichtigste Eingenschaft ist, dass der Exponent innerhalb des Logarithmus "herausgenommen" werden kann.
$\log_{10}(x^u)=u\cdot \log_{10}(x)$
Um die Gleichung
$3\cdot 4^x = 15$
zu lösen, wenden wir den $\log_{10}$ auf beiden Seiten der Gleichung an
$\log_{10}(4^x) = \log_{10}(15)$
und mit der Eigenschaft von oben können wir schreiben
$\begin{array}{lll} x\log_{10}(4) &=& \log_{10}(15) \quad \vert :\log_{10}(4)\\ x&=&\frac{\log_{10}(15)}{\log_{10}(4)}\\ &=&\underline{1.953} \end{array}$

Exercise 4: Wachsender Baum

Ein Baum ist your Zeit 0 Jahre $0.5m$ gross, und zur Zeit $4$ Jahre $1.1m$ gross. Finde die Funktionsgleichung, welche die Grösse des Baumes als Funktion der Zeit beschreibt, falls das Wachstum:

linear ist.
exponential ist.

Finde zu jedem Wachstumsverhalten

die Höhe des Baums zur Zeit $13.5$ Jahre
das Jahr, wenn der Baum die Höhe 100m erreicht.

Skizziere den Graphen von $f$ in beiden Fällen für $x=0,1,2,3$ und $5$ Jahren. Wähle in $x$ -Richtung 1 Jahr $=4$ Häuschen und in $y$ -Richtung 1m $=2$ Häuschen.

Solution

lineares Wachstum: $f(x)=0.5+\frac{x}{4}\cdot0.6=0.15x+0.5$
- Höhe: $f(13.5)=0.15\cdot 13.5+0.5=2.525$
- Jahr: finde $x$ mit
  $\begin{array}{lll} 0.15\cdot x+0.5&=&100\\ 0.5x &=& 99.5\\ x&=&199 \end{array}$
exponentielles Wachstum: $f(x)=0.5\cdot 2.2^{x/4}$
- Höhe: $f(13.5)=0.5\cdot 2.2^{13.5/4}=7.1556$
- Jahr: finde $x$ mit
  $\begin{array}{lll} 0.5\cdot 2.2^{x/4}&=&100\\ 2.2^{x/4} &=& 200\\ \log(2.2^{x/4})&=&\log(200)\\ \frac{x}{4}\cdot \log(2.2)&=&\log(200)\\ x&=&4\cdot\frac{\log(200)}{\log(2.2)}=26.87 \end{array}$

Exercise 5: Dampfdruck

Ein Dampfkessel wird über ein Feuer gestellt. Der Druck im Dampfkessel steige exponentiell mit der Zeit an, wobei am Anfang (Zeit 0 Minuten) der Druck $2$ Bar ist. In jeder Stunde erhöht sich der Druck um $2\%$ .

Bestimme den Druck nach $21$ Minuten.
Wann hat sich der Druck verdoppelt?

Solution

$f(x)=2\cdot 1.02^x$ ( $x$ in Stunden).

$21$ Minuten sind $\frac{21}{60}=0.35$ Stunden. Also nach $21$ Minuten ist der Druck $f(0.35)=2\cdot 1.02^0.35=2.0139$ Bar.
Finde $x$ mit $2\cdot 1.02^x=4$ , also $1.02^x=2$ , also $x=\frac{\log(2)}{\log(1.02}=35.003$ .

Exercise 6: Raioaktiver Zerfall

Ein radioaktives Material wiegt zur Zeit $0$ Monate $30g$ . Jeden zweiten Monat zerfällt $5\%$ des Materials, was zu einem exponentiellen Zerfall führt.

Bestimme das Gewicht des Materials nach einem Jahr.
Wann hat sich das Gewicht halbiert?
Wann ist das Gewicht $1g$

Solution

$f(x)=30\cdot 0.95^{x/2}$ ( $x$ in Monaten)

$1$ Jahr ist $12$ Monate, also $f(12)=30\cdot 0.95^{12/2}=22.053$ g.
Finde $x$ mit $30\cdot 0.95^{x/2}=15$ , also $0.95^{x/2}=0.5$ , also $\frac{x}{2}=\frac{\log(0.5)}{\log(0.95)}=13.513$ , also $x=27.026$ .
Finde $x$ mit $30\cdot 0.95^{x/2}=1$ , also $0.95^{x/2}=\frac{1}{30}=0.0\overline{3}$ , und somit $x=2\cdot \frac{\log(0.0\overline{3})}{\log(0.95}=66.309$ .

Wahrscheinlichkeit und Statistik

Exercise 7: Beschreibende Statistik

Erkläre anhand der Daten $2,5,1,3,5$ die folgenden Begriffe:

Durchschnitt, Standardabweichung, Modus
Median, 1. und 3. Quartil, und Interquartilsabstand
Boxplot
Was ist eine diskrete Häufigkeitsverteilung? Was ist ein Balkendiagramm?

Solution

Es ist:
- Durchschnitt $\overline{x}=\frac{2+5+1+3+5}{5}=3.2$
- Die Standardabweichung ist die typische Abweichung vom Durchschnitt: $s=\sqrt{\frac{(2-3.2)^2+(5-3.2)^2+(1-3.2)^2+(3-3.2)^2+(5-3.2)^2}{5}}=1.6$
- Der Modus ist der Datenpunkt, der am häufigsten vorkommt: $5$ . Beachte, dass der Modus aus mehreren Zahlen bestehen kann. Zum Beispiel für die Datenreihe $2,5,1,2,5$ is der Modus $2$ und $5$ .
Wir sortieren zuerst die Daten aufsteigend: $1,2,3,5,5$ .
- Der Median ist die mittlere Zahl: $m=3$ . Beachte, dass bei einer geraden Anzahl von Datenpunkten zwei mittlere Zahlen gibt. Man nimmt dann den Durchschnitt aus diesen beiden Zahlen. Zum Beispiel:
  - der Median der Datenreihe $1,2,3,3,5,5$ ist der Durchschnitt der zwei Zahlen $3$ und $3$ , also $m=\frac{3+3}{2}=3$ .
  - Oder, der Median der Datenreihe $1,2,3,4,5,5$ ist der Durchschnitt der zwei Zahlen $3$ und $4$ , also $m=\frac{3+4}{2}=3.5$ .
- Das 1. Quartil ist der Median der Datenreihe links vom Median $m=3$ . Also der Median der Zahlen $1,2$ , also $q_1=\frac{1+2}{2}=1.5$
- Das 3. Quartil ist der Median der Datenreihe rechts vom Median $m=3$ . Also der Median der Zahlen $5,5$ , also $q_3=\frac{5+5}{2}=5$
- Der Interquartilsabstand ist $I=q_3-q_1=5-1.5=3.5$
Der Boxplot ist unten eingezeichnet. Es ist eine graphische Representation des mittleren Werts der Daten (Median) und der Streuung der Daten (1. und 2. Quartil).

Ein diskreter Datensatz besteht aus Zählungen (etwa Anzahl Schüler und Schülerinnen in einer Klasse). Zum Beispiel, beim 10-maligen würfeln erhalten wir den diskreten Datensatz:
$2,5,4,6,5,5,5,4,2,4$
(hier zählen wir die Anzahl Punkte auf der Würfeloberfläche). Die diskrete Häufigkeitsverteilung ist eine Tabelle die besagt, wie oft jede dieser Zahlen von $1$ bis $6$ vorkommt:
$\begin{array}{l|c|c} x_i & \text{Häuf} & \text{rel Häuf } y_i \\\hline 1 & 0 & 0\\ 2 & 2 & 0.2\\ 3 & 0 & 0\\ 4 & 3 & 0.3\\ 5 & 4 & 0.4\\ 6 & 1 & 0.1\\ \end{array}$
Die grafische Darstellung der relativen Häufigkeiten mit Balkenhöhen wird Balkendiagramm genannt.

F2.2

Was ist eine diskrete Häufigkeitsverteilung? Was ist ein Balkendiagramm?

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Antworten

A2.1

Es ist:
- Durchschnitt $\overline{x}=\frac{2+5+1+3+5}{5}=3.2$
- Die Standardabweichung ist die typische Abweichung vom Durchschnitt: $s=\sqrt{\frac{(2-3.2)^2+(5-3.2)^2+(1-3.2)^2+(3-3.2)^2+(5-3.2)^2}{5}}=1.6$
- Der Modus ist der Datenpunkt, der am häufigsten vorkommt: $5$ . Beachte, dass der Modus aus mehreren Zahlen bestehen kann. Zum Beispiel für die Datenreihe $2,5,1,2,5$ is der Modus $2$ und $5$ .
Wir sortieren zuerst die Daten aufsteigend: $1,2,3,5,5$ .
- Der Median ist die mittlere Zahl: $m=3$ . Beachte, dass bei einer geraden Anzahl von Datenpunkten zwei mittlere Zahlen gibt. Man nimmt dann den Durchschnitt aus diesen beiden Zahlen. Zum Beispiel:
  - der Median der Datenreihe $1,2,3,3,5,5$ ist der Durchschnitt der zwei Zahlen $3$ und $3$ , also $m=\frac{3+3}{2}=3$ .
  - Oder, der Median der Datenreihe $1,2,3,4,5,5$ ist der Durchschnitt der zwei Zahlen $3$ und $4$ , also $m=\frac{3+4}{2}=3.5$ .
- Das 1. Quartil ist der Median der Datenreihe links vom Median $m=3$ . Also der Median der Zahlen $1,2$ , also $q_1=\frac{1+2}{2}=1.5$
- Das 3. Quartil ist der Median der Datenreihe rechts vom Median $m=3$ . Also der Median der Zahlen $5,5$ , also $q_3=\frac{5+5}{2}=5$
- Der Interquartilsabstand ist $I=q_3-q_1=5-1.5=3.5$
Der Boxplot ist unten eingezeichnet. Es ist eine graphische Representation des mittleren Werts der Daten (Median) und der Streuung der Daten (1. und 2. Quartil).

A2.2

Ein diskreter Datensatz besteht aus Zählungen (etwa Anzahl Schüler und Schülerinnen in einer Klasse). Zum Beispiel, beim 10-maligen würfeln erhalten wir den diskreten Datensatz:
$2,5,4,6,5,5,5,4,2,4$
(hier zählen wir die Anzahl Punkte auf der Würfeloberfläche). Die diskrete Häufigkeitsverteilung ist eine Tabelle die besagt, wie oft jede dieser Zahlen von $1$ bis $6$ vorkommt:
$\begin{array}{l|c|c} x_i & \text{Häuf} & \text{rel Häuf } y_i \\\hline 1 & 0 & 0\\ 2 & 2 & 0.2\\ 3 & 0 & 0\\ 4 & 3 & 0.3\\ 5 & 4 & 0.4\\ 6 & 1 & 0.1\\ \end{array}$
Die grafische Darstellung der relativen Häufigkeiten mit Balkenhöhen wird Balkendiagramm genannt.
Ein kontinuierlicher Datensatz besteht aus (ungerundeten) Messungen (etwa wägen einer Melone). Zum Beispiel, messen wir die Körpergrössen von Schülern (in cm), erhalten wir den Datensatz
$157.34, 167.76, 150.32, 176.3, 194.3, 156.3, 177.2, 171.2, 195.2, 150.21$
was wir mit einem kontinuierlichen Häufigkeitsverteilung zusammenfassen können. Dazu bilden wir Klassen, und zählen, wie viele Datenpunkte in jeder Klasse ist. Wichtig: wir berechnen auch die Dichte, daher die relative Häufigkeit geteilt durch die Klassenbreite:
$\begin{array}{c|c|c} \text{Klasse } i & \text{Häuf} & \text{rel Häuf } y_i & \text{Dichte } d_i \\\hline 150-160 & 4 & 0.4 & 0.04\\ 160-170 & 1 & 0.1 & 0.01\\ 170-180 & 3 & 0.3 & 0.03\\ 180-190 & 2 & 0.2 & 0.02\\ \end{array}$
Hier ist die Klassenbreite $\Delta x=10$ cm. Die grafische Darstellung der Dichten mit Balken wird Histogramm genannt. Die Höhe des Balkens ist die Dichte, die Breite ist $\Delta x$ . Somit is die Fläche eines Balkens die relative Häufigkeit.
Machen wir in einem kontinuierlichen Datensatz die Balkenbreiten extrem klein (nur möglich falls der Datensatz viele Datenpunkte enthält), so formen die Balken im Histogramm eine Kurve, die wir Dichtefunktion nennen. Ist diese Dichtefunktion gegeben durch
$f_{\mu,\sigma}(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$
so nennen wir die Daten normalverteilt, wobei $\mu$ der Mittelwert und $\sigma$ die Standardabweichung der Datenpunkte sein muss. Die obigen Formel muss man nicht auswendig lernen, die Normalverteilung sollte aber skizziert werden können:
- Glockenform mit Höhe $\frac{0.4}{\sigma}$ . Der höchste Punkt ist bei $\mu$ .
- $3 \sigma$ weg von $\mu$ ist die Kurve fass auf der $x$ -Achse.
Ebenfalls sollte bekannt sein, dass die Fläche unter Kurve von $a$ nach $b$ gerade die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Datenpunkt zwischen $a$ und $b$ liegt.

Aufgaben 3

F3. 1

Das Altersprofil in einer Personengruppe sieht wie folgt aus:

\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|}\hline \text{Alter} & 10 & 12 & 15 & 20 & 45 & 47\\\hline \text{Anzahl Personen} & 7 & 2 & 3 & 5 & 7 & 4\\\hline \end{array}

Bestimme den Mittelwert, Modus und Boxplot. Wie gross ist der Interquartilsabstand?

F3.2

Eine faire Münze wird $4$ -mal geworfen. Es sei $N$ ="Anzahl Köpfe".

Repräsentiere das Experiment mit einem Baum.
Berechne die Wahrscheinlichkeit $p(N=1)$ , indem du das Experiment als Laplace experiment auffasst.
Berechne die Wahrscheinlichkeit $p(N=1)$ , indem du das Experiment als Binomialexperiment auffasst.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal Kopf zu bekommen.

F3.3

Eine Box enthält $10$ Kugeln. Drei Kugeln haben das Gewicht $1g$ , fünf Kugeln haben das Gewicht $2g$ und die restlichen Kugeln haben das Gewicht $5g$ .

Zwei Kugeln werden nacheinander gezogen, mit zurücklegen. Repräsentiere das Experiment mit einem Baum und zeichne die Wahrscheinlichkeiten ein. Zeichne ebenfalls einen Baum für den Fall, in dem die gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird.
Bestimme für beide Fälle (mit oder ohne zurücklegen) die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden gezogenen Kugeln ein Gesamtgewicht von $6g$ ergeben.
Du bist daran interessiert, die $5g$ -Kugeln zu ziehen. Du ziehst $10$ Kugeln ohne zurücklegen. Was ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal eine $5g$ -Kugel zu ziehen?

F3.4

Ein Würfel wird $10$ -mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit,

$3$ oder $4$ -mal eine $6$ zu würfeln.
Wie oft muss mindestens gewürfelt werden, bis eine $6$ mit Wahrscheinlichkeit $0.999$ beobachtet wird?

F3.5

Bestimme und skizziere das Histogramm der Daten in der Tabelle unten (Grösse von Schülern), und skizziere die dazugehörende Normalverteilung im gleichen Koordinatensystem. Der Mittelwert ist 175, die Standardabweichung ist $5$ .

\begin{array}{c|c|c} \text{Klasse } i & \text{Häuf}\\\hline 150-160 & 20 \\ 160-170 & 30 \\ 170-180 & 50 \\ 180-190 & 20 \\ \end{array}

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Lösungen 3

A3.1

Mittelwert: $\overline{x}=\frac{70+24+45+100+315+188}{28}=\frac{742}{28}=26.5$
Modus: $10, 45$
Median: Mittelwert von der 14. und 15. Zahl, also $m=\frac{20+20}{2}=20$ .
Erstes Quartil: Datenreihe besteht aus den ersten 13 Zahlen (1-13), Median ist die 7. Zahl, also $q_1=10$ .
Drittes Quartil: Datenreihe besteht aus den letzten 13 Zahlen (15-28), Median ist die 22. Zahl, also $q_3=45$ .
Interquartilsabstand $I=q_3-q_1=45-10=35$

A3.2

Faire Münze, $4$ -mal geworfen, $N$ ="Anzahl Köpfe".

Baum ist unten gezeigt.
Der Ergebnisraum ist $S=\{KKKK, KKKZ, ...\}$ (jeder Pfad entlang des Baums), und die Anzahl Ergebnisse ist
$|S|=2^4=8$
Das Ereignis $E=$ "genau einmal Kopf" ist $E=\{KZZZ, ZKKK, ZZKZ, ZZZK\}$ und somit ist
$|E|=4$
Jedes Ergebnis ist gleich wahrscheinlich (da fairer Würfel), und somit ist dies ein Laplace experiment. Es gilt also
$p(N=1)=\frac{|E|}{|S|}=\frac{4}{16}=0.25$
Die Erfolgswahrscheinlichkeit (Kopf) ist $p=0.5$ , und es wird $n=4$ -mal repetiert. Also ist
$p(N=1)=\left(\begin{array}{cc}4 \\ 1\end{array}\right)\cdot 0.5^1 \cdot 0.5^{3}=4\cdot 0.5^4=0.25$
$p(N\geq 1)=1-p(N<1)=1-p(N=0)=1-\left(\begin{array}{cc}4 \\ 0\end{array}\right)\cdot 0.5^0 \cdot 0.5^{4}=1-1\cdot 0.5^4=1-0.0625=0.9375$

A3.3

Die zwei Bäume sind unten gezeigt.
Alle Pfade, die 6g ergeben sind in den Bäumen eingezeichnet (gelb).
- Mit Zurücklegen: $p(6g)=\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{10}+\frac{2}{10}\cdot \frac{3}{10}=\frac{3}{25}$
- Ohne Zurücklegen: $p(6g)=\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9}+\frac{2}{10}\cdot \frac{3}{9}=\frac{2}{15}$
Dies ist ein Binomialexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p=0.2$ ( $5g$ Kugel ziehen) und $n=10$ Repetitionen. Es sei $N$ ="Anzahl gezogene $5g$ -Kugeln". Es ist dann

p(N\geq 1)=1-p(N<1)=1-p(N=0)=1-\left(\begin{array}{cc}10 \\ 0\end{array}\right)\cdot 0.2^0 \cdot 0.8^{10}=1-0.8^{10}=0.0.893

A3.4

Ein Würfel wird $10$ -mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit,

$3$ oder $4$ -mal eine $6$ zu würfeln.
Wie oft muss gewürfelt werden bis mindestens eine $6$ beobachtet wird mit Wahrscheinlichkeit $0.99$ ? Dies ist eine Binomialexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p=\frac{1}{6}$ (eine Sechs), und $n=10$ Repetitionen. Es sei $N=$ Anzahl gewürfelte Sechs".
Es ist somit
$\begin{array}{lll} p(N=3\text{ oder } N=4) &=& p(N=3)+p(N=4)\\ &=&\left(\begin{array}{cc}10 \\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^7\\ &+& \left(\begin{array}{cc}10 \\ 4\end{array}\right)\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^6\\ &=& 0.155+0.054\\ &=& 0.209\\ \end{array}$
Finde $n$ (Anzahl Würfe oder Repetitionen) so, dass
$p(N>0)=0.999$
Mit
$p(N>0)=1-p(N\leq 0)=1-p(N=0)=0.999$
folgt
$p(N=0)=0.001$
und somit
$\begin{array}{lll} \left(\begin{array}{cc}n \\ 0\end{array}\right)\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^n &=&0.001\\ \left(\frac{5}{6}\right)^n &=&0.001 \quad | \log(.)\\ \log(\left(\frac{5}{6}\right)^n)&=&\log(0.001)\\ n\cdot \log(\frac{5}{6})&=&\log(0.001)\\ n&=&\frac{\log(0.001)}{\log(\frac{5}{6})}\\ &=& 37.8\\ \end{array}$
Es muss also $n=38$ sein.

A3.5

Die Balkenbreite ist $\Delta x=10$ , die Anzahl Schüler und Schülerinnen ist $120$ . Die Verteilung ist also

\begin{array}{c|c|c} \text{Klasse } i & \text{Häuf} & \text{rel. Häuf} & \text{Dichte}\\\hline 150-160 & 20 & 0.166 & 0.0166\\ 160-170 & 30 & 0.25 & 0.025\\ 170-180 & 50 & 0.416 & 0.0416\\ 180-190 & 20 & 0.166 & 0.0166\\ \end{array}

Das Histogramm ist unten gezeigt. Die Normalverteilung hat die Parameter $\mu=175$ und $\sigma =10$ . Der Höchste Punkt hat die Höhe $y=\frac{0.4}{\sigma}=\frac{0.4}{10}=0.04$ . Die Skizze ist ebenfalls unten im gleichen Koordinatensystem eingezeichnet.