Rechenoperationen

Exercise 1: Zahlenmengen: N, Z, Q und R

  1. Ordne die folgenden Zahlen der kleinstmöglichen Zahlenmenge (N,Z,Q,R\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}) zu: −7-7, 25\frac{2}{5}, 2\sqrt{2}, 1212, 00, π\pi, −2.5-2.5.

  2. Was ist das Hauptmerkmal einer irrationalen Zahl im Gegensatz zu einer rationalen Zahl?

  3. Stelle die Beziehung der Zahlenmengen N,Z,Q\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q} und R\mathbb{R} mithilfe des Teilmengensymbols (⊂\subset) dar.

Solution
  1. Zuordnung zur kleinstmöglichen Menge:
    • 12,012, 0: N\mathbb{N} (Natürliche Zahlen)
    • −7-7: Z\mathbb{Z} (Ganze Zahlen)
    • 25,−2.5\frac{2}{5}, -2.5: Q\mathbb{Q} (Rationale Zahlen)
    • 2,π\sqrt{2}, \pi: Irrationale Zahlen (Teil von R\mathbb{R}, den rellen Zahlen, daher allen möglichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl)
  2. Rationale Zahlen (Q\mathbb{Q}) lassen sich als Bruch pq\frac{p}{q} darstellen. Als Dezimalzahl sind sie entweder abbrechend (z. B. 0.250.25) oder unendlich periodisch (z. B. 0.333...0.333...). Irrationale Zahlen lassen sich nicht als Bruch darstellen. Ihre Dezimalbruchdarstellung ist unendlich und nicht periodisch (kein sich wiederholendes Muster).
  3. Die Mengen sind ineinander enthalten:
N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
Exercise 2: Grundporatoren und deren Regeln

Alles ohne Taschenrechner.

  1. Welche Operatoren "binden" am stärksten? Formuliere Regeln.
    1. 5+3⋅7−8⋅2+325+3\cdot 7-8\cdot 2+32
    2. 3⋅18+6−3⋅17+2⋅8−2⋅33\cdot 18+6-3\cdot 17+2\cdot 8-2\cdot 3
    3. 117−91:13+10+51:17−14117-91:13+10+51:17-14
    4. 168:7−12:2⋅3+1+20:5⋅2:4−3168:7-12:2\cdot 3+1+20:5\cdot 2:4-3
    5. 13+17⋅5−(8+12:3)+513+17\cdot 5-(8+12:3)+5
    6. 3⋅(20−20:2)−26+16⋅43\cdot (20-20:2)-26+16\cdot 4
    7. 12⋅17−4⋅51:(6⋅17)−2⋅3412\cdot 17-4\cdot 51:(6\cdot 17)-2\cdot 34
    8. (15−3+17−22)⋅(318−12∗23)(15-3+17-22)\cdot (318-12*23)
    9. 225−[82−(94−86)+8]⋅2225-[82-(94-86)+8]\cdot 2
    10. 3⋅(75−20)−(60−27):33\cdot (75-20)-(60-27):3
    11. [55+(81−15):3]⋅6−(45+32)[55+(81-15):3]\cdot 6-(45+32)
    12. [16+(65−13⋅5):2]⋅(45:3:5)[16+(65-13\cdot 5):2]\cdot(45:3:5)
  2. Falls nötig, setze Klammern so, dass die Gleichung stimmt.
    1. 5−2⋅7=215-2\cdot 7 = 21
    2. 2⋅7−4⋅3=182\cdot 7 - 4 \cdot 3 = 18
    3. 2⋅3⋅4+5=292\cdot 3\cdot 4+5 = 29
    4. 10−5+3⋅5−2=2410-5+3\cdot 5-2 = 24
  3. Kann die Klammer weggelassen werden? Formuliere eine Regel?
    1. 2+3+(4+5)=2+3+4+52+3+(4+5)=2+3+4+5 ?
    2. 2+3−(4+5)=2+3−4+52+3-(4+5)=2+3-4+5 ?
    3. 2⋅3⋅(4⋅5)=2⋅3⋅4⋅52\cdot 3\cdot(4\cdot 5)=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 ?
    4. 2⋅(3⋅(4⋅5)))=2⋅3⋅4⋅52\cdot (3\cdot (4\cdot 5))) = 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 ?
    5. 2⋅(3:4)⋅5=2⋅3:4⋅52\cdot (3:4) \cdot 5 = 2\cdot 3:4 \cdot 5 ?
  4. Kann die Reihefolge der Zahlen geändert werden? Formuliere eine Regel.
    1. 2+3+4+5=5+3+2+42+3+4+5=5+3+2+4 ?
    2. 2⋅3⋅4⋅5=5⋅3⋅2⋅42\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 5\cdot 3\cdot 2\cdot 4 ?
    3. 2+3−4+5=3+5−2+42 +3-4+5 = 3+5-2+4 ?
    4. 2⋅3:4⋅5=3⋅5:2⋅42\cdot 3 : 4\cdot5 = 3\cdot5:2\cdot4
  5. Lassen sich die Operatoren so verteilen? Formuliere eine Regel.

    1. 4+(3⋅5)=(4+3)⋅(4+5)4+(3\cdot 5) =(4+3)\cdot (4+5) ?

    2. 4⋅(3+5)=(4⋅3)+(4⋅5)4\cdot (3+5) =(4\cdot 3)+(4 \cdot 5) ?

Solution
    1. 4242
    2. 1919
    3. 109109
    4. 66
    5. 9191
    6. 6868
    7. 134134
    8. 294294
    9. 6161
    10. 154154
    11. 385385
    12. 4848
    13. Regel: Hierarchie der Operatoren
      • Multiplikation und Division binden stärker als Addition und Subtraktion.
      • Multiplikation und Division sind gleichwertig, und werden von links nach rechts ausgewertet.
      • Addition und Subtraktion sind gleichwertig und werden von links nach rechts ausgewertet.
      • Klammern müssen zuerst berechnet werden.
    1. (5−2)⋅7=21(5-2)\cdot 7 = 21
    2. 2⋅(7−4)⋅3=182\cdot (7 - 4) \cdot 3 = 18
    3. 2⋅3⋅4+5=292\cdot 3\cdot 4+5 = 29 braucht keine Klammern
    4. (10−5+3)⋅(5−2)=24(10-5+3)\cdot (5-2) = 24
    1. ja
    2. nein
    3. ja
    4. ja
    5. nein
    6. Regel: Assoziativgesetz. Bei der puren Addition von Zahlen kann die Klammer weggelassen werden. Ebenso für die pure Multiplikation von Zahlen.
    1. ja
    2. ja
    3. nein
    4. nein
    5. Regel: Kommutativgesetz. Bei der puren Addition von Zahlen kann die Reihenfolge der Zahlen beliebig verändert werden. Ebenso für die pure Multiplikation von Zahlen.
    1. nein
    2. ja
    3. Regel: Distributivgesetz: Es gilt a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)=a⋅b+a⋅ca\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)=a\cdot b+a\cdot c, daher die Multiplication lässt sich über die Addition verteilen.
Exercise 3: Negative Zahlen

Ohne Taschenrechner.

  1. Bestimme den Wert:
    1. −−3--3
    2. −(−3)-(-3)
    3. 3+−23+-2
    4. 3−−23--2
    5. 3+(−2)3+(-2)
    6. 3−(−2)3-(-2)
    7. −2⋅3-2\cdot 3
    8. −2⋅(−3)-2\cdot (-3)
    9. 2⋅(−3)2\cdot (-3)
    10. 4−8\frac{4}{-8}
    11. −48\frac{-4}{8}
    12. −4−8\frac{-4}{-8}
    13. −52-5^2
    14. (−5)2(-5)^2
    15. (−5)3(-5)^3
    16. −53-5^3
    17. −3−2-3-2
    18. −3(−2)-3(-2)
    19. −3⋅−2-3\cdot -2
    20. 3−−23--2
    21. 3−(−2)3-(-2)
    22. 3−⋅−23-\cdot -2
  2. Berechne
    1. −3⋅(−2+2(1−3)2)+7-3\cdot (-2+2(1-3)^2)+7
    2. (2−(−3))⋅(−4)+(−3−2)2(2-(-3))\cdot (-4)+(-3-2)^2
    3. −7⋅(4−(−4))+(−3)⋅(−4)-7\cdot (4-(-4))+(-3)\cdot (-4)
  3. Schreibe den Ausdruck ohne Klammer. Es muss nichts ausgerechnet werden.

    1. 3−(4−5+3⋅5)3 - (4-5+3\cdot 5)

    2. −(4+5)-(4+5)

    3. −(−4−5)-(-4-5)

    4. −(−4+5)-(-4+5)

    5. 5⋅6−(4⋅6−4⋅7+2:5)5\cdot 6-(4\cdot 6-4\cdot 7+2:5)

    6. 6−[5−(3−4)]6-[5-(3-4)]

Solution
    1. −−3=3--3=3
    2. −(−3)=3-(-3)=3
    3. 3+−2=3−2=13+-2=3-2=1
    4. 3−−2=3+2=53--2=3+2=5
    5. 3+(−2)=3−2=13+(-2)=3-2=1
    6. 3−(−2)=3+2=53-(-2)=3+2=5
    7. −2⋅3=−6-2\cdot 3=-6
    8. −2⋅(−3)=6-2\cdot (-3)=6
    9. 2⋅(−3)=−62\cdot (-3)=-6
    10. 4−8=−48=−12\frac{4}{-8}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}
    11. −48=−48=−12\frac{-4}{8}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}
    12. −4−8=−−48=12\frac{-4}{-8}=--\frac{4}{8}=\frac{1}{2}
    13. −52=−5⋅5=−25-5^2=-5\cdot 5 = -25
    14. (−5)2=(−5)(−5)=25(-5)^2=(-5)(-5)=25
    15. (−5)3=(−5)(−5)(−5)=−125(-5)^3=(-5)(-5)(-5)=-125
    16. −53=−5⋅5⋅5=−125-5^3=-5\cdot 5\cdot 5=-125
    17. −3−2=−5-3-2=-5 (von −3-3 wird noch 22 abgezogen)
    18. −3(−2)=−3⋅(−2)=6-3(-2)=-3\cdot(-2)=6 (Punkt wird oft weggelassen)
    19. −3⋅−2=6-3\cdot -2=6
    20. 3−−2=3+2=53--2=3+2=5
    21. 3−(−2)=3−−2=3+2=53-(-2)=3--2=3+2=5
    22. 3−⋅−23-\cdot -2 diese Notation macht keinen Sinn.
    1. −3⋅(−2+2(1−3)2)+7=−3(−2+2⋅4)+7=−3⋅6+7=−18+7=−11-3\cdot (-2+2(1-3)^2)+7=-3(-2+2\cdot 4)+7=-3\cdot 6 +7=-18+7=-11
    2. (2−(−3))⋅(−4)+(−3−2)2=5⋅(−4)+25=−20+25=5(2-(-3))\cdot (-4)+(-3-2)^2=5\cdot (-4)+25=-20+25=5
    3. −7⋅(4−(−4))+(−3)⋅(−4)=−7⋅8+12=−56+12=−44-7\cdot (4-(-4))+(-3)\cdot (-4)=-7\cdot 8+12=-56+12=-44
    1. 3−(4−5+3⋅5)=3−4+5−3⋅53 - (4-5+3\cdot 5)=3-4+5-3\cdot 5
    2. −(4+5)=−4−5-(4+5)=-4-5
    3. −(−4−5)=−−4+5=4+5-(-4-5)=--4+5=4+5
    4. −(−4+5)=−−4−5=4−5-(-4+5)=--4-5=4-5
    5. 5⋅6−(4⋅6−4⋅7+2:5)=5⋅6−4⋅6+4⋅7−2:55\cdot 6-(4\cdot 6-4\cdot 7+2:5)=5\cdot 6-4\cdot 6+4\cdot 7-2:5
    6. 6−[5−(3−4)]=6−[5−3+4]=6−5+3−46-[5-(3-4)]=6-[5-3+4]=6-5+3-4
Exercise 4: Brüche

Alles ohne Taschenrechner.

  1. Wie nennnen wir die beiden Zahlen einen Bruchs?
  2. Welche Aussagen stimmen?
    1. Der Wert eines Bruches bleibt sich gleich, wenn der Zähler wie auch der Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert werden.
    2. Der Wert eines Bruches bleibt sich gleich, wenn die Zähler wie auch die Nenner durch die gleiche Zahl dividiert werden.
    3. Der Wert eines Bruches bleibt sich gleich, wenn die Zähler wie auch die Nenner mit der gleichen Zahl addiert werden.
    4. Zwei Brüche werden multipliziert, indem die Zähler miteinander multipliziert werden, und die Nenner multipliziert werden.
    5. Zwei Brüche werden addiert, indem die Zähler addiert werden und die Nenner addiert werden.
    6. Zwei Brüche werden addiert, indem zuerst beide Brüche auf den gleichen Nenner gebracht werden, und dann die Zähler addiert werden.
    7. Ist der Zähler ein Bruch und der Nenner ein Bruch (Doppelbruch), so kann dies geschrieben werden als die Multiplikation des Bruchs im Zähler mit dem Kehrwert des Bruchs im Nenner.
    8. Jede Ganze Zahl (...,−2,−1,0,1,2,......,-2,-1,0,1,2,...) kann als Bruch geschrieben werden.
  3. Erweitere den Bruch mit 4:
    1. 35\frac{3}{5}
    2. 3+15+2\frac{3+1}{5+2}
    3. 284\frac{28}{4}
  4. Vereinfache durch Kürzen:
    1. 24\frac{2}{4}
    2. 6042\frac{60}{42}
    3. 2+12+4\frac{2+1}{2+4}
    4. 2⋅33⋅5\frac{2\cdot 3}{3\cdot 5}
    5. 76⋅2+176⋅3+1\frac{76\cdot 2+1 }{76\cdot 3+1}
    6. 76⋅(2+1)76⋅(3+1)\frac{76\cdot (2+1) }{76\cdot (3+1)}
    7. 3⋅4⋅5⋅10⋅142⋅3⋅5⋅7\frac{3\cdot 4\cdot 5\cdot 10\cdot 14}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7}
  5. Schreibe das Endresultat als möglichst einfachen (gekürzten) Bruch.
    1. 23+79\frac{2}{3}+\frac{7}{9}
    2. 54⋅39\frac{5}{4}\cdot\frac{3}{9}
    3. 1213−56\frac{12}{13}-\frac{5}{6}
    4. 12:45\frac{1}{2}:\frac{4}{5}
    5. 2+342+\frac{3}{4}
    6. 2⋅342\cdot\frac{3}{4}
    7. 2436+12144\frac{24}{36}+\frac{12}{144}
    8. 34+45+56\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}
    9. 51616⋅8516\frac{516}{16}\cdot \frac{8}{516}
    10. 2147⋅4428\frac{214}{7}\cdot \frac{4}{428}
    11. 12⋅47+2\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{7}+2
    12. 3489\frac{\frac{3}{4}}{\frac{8}{9}}
    13. 389\frac{3}{\frac{8}{9}}
    14. 346\frac{\frac{3}{4}}{6}
  6. Falls möglich, schreibe den Bruch als Produkt zweier Brüche so, dass der eine dieser Brüche eins wird.
    1. 5⋅44⋅3\frac{5\cdot 4}{4\cdot 3}
    2. 5⋅(4+19)(3−2)⋅5\frac{5\cdot (4+19)}{(3-2)\cdot 5}
    3. 13⋅4+213⋅3−1\frac{13\cdot 4+2}{13\cdot 3-1}
    4. 3ab4b\frac{3ab}{4b}
    5. x(x+1)2x\frac{x(x+1)}{2x}
    6. a+b2a\frac{a+b}{2a}
    7. x(x+1)2x+1\frac{x(x+1)}{2x+1}
    8. x⋅x+13x\frac{x\cdot x+1}{3x}
    9. x2x−1+1x⋅x−1\frac{x^2\sqrt{x-1}+1}{x\cdot \sqrt{x-1}}
Solution

  1. Brüche haben die Form

    Za¨hlerNenner\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}

    wobei der Zähler eine ganze Zahl (...,−2,−1,0,1,2,......,-2,-1,0,1,2,...). Der Nenner ist ebenfalls eine ganze Zahl, aber die Null ist nicht erlaubt. Ein Bruch ist dasselbe wie eine Division:

    Za¨hlerNenner=Za¨hler:Nenner\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}=\text{Zähler}:\text{Nenner}
    1. stimmt, das nennt man Erweitern. Zum Beispiel den Bruch 23\frac{2}{3} mit 55 erweitern: 23=2⋅53⋅5=1015\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\frac{10}{15}
    2. stimmt, braucht man zum Kürzen. Zum Beispiel den Bruch 1015\frac{10}{15} mit 55 Kürzen: 1015=10:515:5=23\frac{10}{15}=\frac{10:5}{15:5}=\frac{2}{3}
    3. nein, zum Beispiel 42≠4+12+1\frac{4}{2}\neq \frac{4+1}{2+1}
    4. Ja, etwa 23⋅45=2⋅43⋅5=815\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 5}=\frac{8}{15}
    5. Nein, etwa 42+126≠12+42+6\frac{4}{2}+ \frac{12}{6}\neq \frac{12+4}{2+6}
    6. stimmt, etwa 12+23=36+26=2+36=56\frac{1}{2}+ \frac{2}{3} = \frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{2+3}{6}=\frac{5}{6}
    7. stimmt, etwa 2345=23⋅54\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{4}
    8. Ja, zum Beispiel 2=212=\frac{2}{1}, oder −4=−41-4=\frac{-4}{1}
    1. Es ist:
    2. 35=1220\frac{3}{5}=\frac{12}{20}
    3. 3+15+2=1628\frac{3+1}{5+2}=\frac{16}{28}
    4. 284=11216\frac{28}{4}=\frac{112}{16}
    1. 24=12\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
    2. 6042=107\frac{60}{42}=\frac{10}{7}
    3. 2+12+4=36=12\frac{2+1}{2+4}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
    4. 2⋅33⋅5=25\frac{2\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{2}{5}
    5. 76⋅2+176⋅3+1=153229\frac{76\cdot 2+1 }{76\cdot 3+1}=\frac{153}{229}
    6. 76⋅(2+1)76⋅(3+1)=2+13+1=34\frac{76\cdot (2+1) }{76\cdot (3+1)}=\frac{2+1}{3+1}=\frac{3}{4}
    7. 3⋅4⋅5⋅10⋅142⋅3⋅5⋅7=40\frac{3\cdot 4\cdot 5\cdot 10\cdot 14}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7}=40
    1. 23+79=139\frac{2}{3}+\frac{7}{9}=\frac{13}{9}
    2. 54⋅39=1536=512\frac{5}{4}\cdot\frac{3}{9}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}
    3. 1213−56=778\frac{12}{13}-\frac{5}{6}=\frac{7}{78}
    4. 12:45=1245=12⋅54=58\frac{1}{2}:\frac{4}{5}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{4}{5}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{4}=\frac{5}{8}
    5. 2+34=21+34=1142+\frac{3}{4}=\frac{2}{1}+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}
    6. 2⋅34=21⋅34=322\cdot\frac{3}{4}=\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{2}
    7. 2436+12144=23+112=34\frac{24}{36}+\frac{12}{144}=\frac{2}{3}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4}
    8. 34+45+56=14360\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}=\frac{143}{60}
    9. 51616⋅8516=816=0.5\frac{516}{16}\cdot \frac{8}{516}=\frac{8}{16}=0.5
    10. 7214+4428=9214\frac{7}{214}+ \frac{4}{428}=\frac{9}{214}
    11. 12⋅47+2=27+2=167\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{7}+2=\frac{2}{7}+2=\frac{16}{7}
    12. 3489=34⋅982732\frac{\frac{3}{4}}{\frac{8}{9}}=\frac{3}{4}\cdot\frac{9}{8}\frac{27}{32}
    13. 389=3189=278\frac{3}{\frac{8}{9}}=\frac{\frac{3}{1}}{\frac{8}{9}}=\frac{27}{8}
    14. 346=3461=18\frac{\frac{3}{4}}{6}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{6}{1}}=\frac{1}{8}
    1. 5⋅44⋅3=44⋅53=53\frac{5\cdot 4}{4\cdot 3}=\frac{4}{4}\cdot\frac{5}{3}=\frac{5}{3}
    2. 5⋅(4+19)(3−2)⋅5=55⋅4+193−2=4+193−2\frac{5\cdot (4+19)}{(3-2)\cdot 5}=\frac{5}{5}\cdot\frac{4+19}{3-2}=\frac{4+19}{3-2}
    3. 13⋅4+213⋅3−1\frac{13\cdot 4+2}{13\cdot 3-1} nicht möglich
    4. 3ab4b=bb⋅3a4=3a4\frac{3ab}{4b}=\frac{b}{b}\cdot\frac{3a}{4}=\frac{3a}{4}
    5. x(x+1)2x=xx⋅x+12=x+12\frac{x(x+1)}{2x}=\frac{x}{x}\cdot \frac{x+1}{2}=\frac{x+1}{2}
    6. a+b2a\frac{a+b}{2a} nicht möglich
    7. x(x+1)2x+1\frac{x(x+1)}{2x+1} nicht möglich
    8. x⋅x+13x\frac{x\cdot x+1}{3x} nicht möglich
    9. x2x−1+1x⋅x−1\frac{x^2\sqrt{x-1}+1}{x\cdot \sqrt{x-1}} nicht möglich
Exercise 5: Wurzeln
  1. Berechne ohne Taschenrechner:
    1. 8100\sqrt{8100}
    2. 361\sqrt{361}
    3. 2549\sqrt{\frac{25}{49}}
    4. 2775\sqrt{\frac{27}{75}}
    5. 1022\sqrt{102^2}
    6. 254\sqrt{25^4}
    7. (−55)2\sqrt{(-55)^2}
    8. (19)2\left(\sqrt{19}\right)^2
  2. Für welches xx ist diese Gleichung erfüllt?
    1. x=7\sqrt{x}=7
    2. x2=64x^2=64
    3. 2x2−6=662x^2-6=66
  3. Welche Aussagen gelten? Versuche es zuerst ohne den TA zu benutzen.
    1. 3⋅5=3⋅5\sqrt{3\cdot 5}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}
    2. 3+5=3+5\sqrt{3+5}=\sqrt{3}+\sqrt{5}
    3. 35=35\sqrt{\frac{3}{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}
    4. 72=7\sqrt{7^2}=7
    5. (7)2=7\left(\sqrt{7}\right)^2=7
    6. 66=6\sqrt{6}\sqrt{6}=6
    7. 74=72\sqrt{7^4}=7^2
  4. Ziehe soweit wie möglich die Wurzel
    1. 18\sqrt{18}
    2. 80\sqrt{80}
    3. 75\sqrt{75}
    4. 20⋅32\sqrt{20\cdot 3^2}
    5. 34⋅52\sqrt{3^4\cdot 5^2}
  5. Notiere den Bruch ohne Wurzel im Nenner:

    1. 53\frac{5}{\sqrt{3}}

    2. 38\sqrt{\frac{3}{8}}

    3. 1125\sqrt{\frac{1}{125}}

    4. 818\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}}

Solution
  1. Im wesentlichen ausprobieren:
    1. 8100=90\sqrt{8100}=90
    2. 361=19\sqrt{361}=19
    3. 2549=57\sqrt{\frac{25}{49}}=\frac{5}{7}
    4. 2775=3⋅93⋅25=35\sqrt{\frac{27}{75}}=\frac{3\cdot 9}{3\cdot 25}=\frac{3}{5}
    5. 1022=102\sqrt{102^2}=102
    6. 254=252\sqrt{25^4}=25^2
    7. (−55)2=55\sqrt{(-55)^2}=55
    8. (19)2=19\left(\sqrt{19}\right)^2=19
  2. Gleichungen:
    1. x=7\sqrt{x}=7 Lösung: x=49x=49
    2. x2=64,x=x^2=64, x= Lösung: x=8,x=−8x=8, x=-8
    3. 2x2−6=66→x2=362x^2-6=66 \rightarrow x^2= 36 Lösung: x=6,x=−6x=6, x=-6
  3. Welche Aussagen gelten?
    1. 3⋅5=3⋅5\sqrt{3\cdot 5}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{5} richtig, da (3⋅5)2=(3)2⋅(5)2=3⋅5(\sqrt{3}\cdot \sqrt{5})^2=(\sqrt{3})^2 \cdot(\sqrt{5})^2 = 3\cdot 5
    2. 3+5=3+5\sqrt{3+5}=\sqrt{3}+\sqrt{5} nein (berechne mit TA)
    3. 35=35\sqrt{\frac{3}{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} richtig, da (35)2=(3)2(5)2\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{\left(\sqrt{5}\right)^2}
    4. 72=7\sqrt{7^2}=7, richtig
    5. (7)2=7\left(\sqrt{7}\right)^2=7 richtig
    6. 66=6\sqrt{6}\sqrt{6}=6 richtig
    7. 74=72\sqrt{7^4}=7^2 richtig, da (72)2=74(7^2)^2 =7^4
  4. Ziehe soweit wie möglich die Wurzel
    1. 18=9⋅2=9⋅2=32\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}
    2. 80=16⋅5=45\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}
    3. 75=25⋅3=5⋅3\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\cdot \sqrt{3}
    4. 20⋅32=3⋅20=34⋅5=3⋅25=6⋅5\sqrt{20\cdot 3^2}=3\cdot \sqrt{20}=3\sqrt{4\cdot 5}=3\cdot 2\sqrt{5}=6\cdot \sqrt{5}
    5. 34⋅52=32⋅5=45\sqrt{3^4\cdot 5^2}=3^2 \cdot 5 = 45
  5. Notiere den Bruch ohne Wurzel im Nenner:
    1. 53=5⋅33⋅3=5⋅33\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{5\cdot \sqrt{3}}{3}
    2. 38=38=3⋅88⋅8=248\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{8}}{\sqrt{8}\cdot \sqrt{8}}=\frac{\sqrt{24}}{8}
    3. 1125=1125=125125⋅125=125125\sqrt{\frac{1}{125}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{125}}=\frac{1 \sqrt{25}}{\sqrt{125}\cdot \sqrt{125}}=\frac{\sqrt{125}}{125}
    4. 818=818=49=23\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}}=\sqrt{\frac{8}{18}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}
Exercise 6: Wurzelberechnung mit rationalen Exponenten

Berechne die Werte der folgenden Potenzen, indem du sie als Wurzeln interpretierst:

  1. 811/281^{1/2}

  2. 10 0001/410\,000^{1/4}

  3. 11/31^{1/3}

  4. 01/50^{1/5}

  5. 271/327^{1/3}

  6. 6250.5625^{0.5}

  7. 2560.25256^{0.25}

Solution
  1. 811/2=81=981^{1/2} = \sqrt{81} = 9
  2. 10 0001/4=10 0004=1010\,000^{1/4} = \sqrt[4]{10\,000} = 10
  3. 11/3=13=11^{1/3} = \sqrt[3]{1} = 1
  4. 01/5=05=00^{1/5} = \sqrt[5]{0} = 0
  5. 271/3=273=327^{1/3} = \sqrt[3]{27} = 3
  6. 6250.5=6251/2=625=25625^{0.5} = 625^{1/2} = \sqrt{625} = 25
  7. 2560.25=2561/4=2564=4256^{0.25} = 256^{1/4} = \sqrt[4]{256} = 4
Exercise 7: Brüche und negative rationale Exponenten

Wende die Potenzgesetze auf Brüche und negative Exponenten an:

  1. (27125)1/3\left(\frac{27}{125}\right)^{1/3}

  2. (110 000)1/4\left(\frac{1}{10\,000}\right)^{1/4}

  3. 25−1/225^{-1/2}

Solution
  1. Zähler und Nenner separat ziehen:
(27125)1/3=2731253=35=0.6\left(\frac{27}{125}\right)^{1/3} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{3}{5} = 0.6
  1. Potenzgesetz für Brüche:
(110 000)1/4=1410 0004=110=0.1\left(\frac{1}{10\,000}\right)^{1/4} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{10\,000}} = \frac{1}{10} = 0.1
  1. Negativer Exponent bedeutet Kehrwert:
25−1/2=1251/2=125=15=0.225^{-1/2} = \frac{1}{25^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5} = 0.2