Weitere Aufgaben (Funktionen)

Exercise 1

Funktionstypen

  • f(x)=ax+bf(x)=ax+b lineare Funktion

  • f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c Normalform der quadratischen Funktion f(x)=A(x−v)2+Bf(x)=A(x-v)^2+B Scheitelpunktform der quadratischen Funktion

  • f(x)=A(x−v)p+Bf(x)=A(x-v)^p+B Potenzfunktion

  • f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x1+a0f(x)=a_n x^n+a{n-1} x^{n-1}+...+a_1 x^1+ a_0 Polynom vom Grad nn.

  • f(x)=Ab(x−v)/uf(x)=A b^{(x-v)/u} Exponentialfunktion

  • f(x)=log⁡b(x)f(x)=\log_b(x) Logarithmus

  • f(x)=Asin⁡(ux−v)+Bf(x)=A\sin(ux-v)+B Sinusfunktion

    f(x)=Acos⁡(ux−v)+Bf(x)=A\cos(ux-v)+B Kosinusfunktion

    f(x)=Atan⁡(ux−v)+Bf(x)=A\tan(ux-v)+B Tangensfunktion

    Dies sind die trigonometrischen Funktionen

Solution
F1

  1. Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden ff, welche durch die Punkte A(2∣3)A(2\vert 3) und B(6∣−2)B(6\vert -2) geht.

  2. Ergänze die Funktion f(x)=2x2+8x+5f(x)=2x^2+8x+5 quadratisch, und bestimme die Scheitelpunktform. Bestimme dann die Transformationen, um vom Graphen x2x^2 auf den Graphen ff zu kommen.

  3. Bestimme ohne Taschenrechner die folgenden Werte:

    a)144b)log⁡3(9)c)sin⁡(π/2)d)82/3e)ln⁡(e100)f)8−1/3g)cos⁡(π/4)\begin{array}{lll} a) & \sqrt{144}\\ b) & \log_3(9)\\ c) & \sin(\pi/2)\\ d) & 8^{2/3}\\ e) & \ln(e^{100})\\ f) & 8^{-1/3}\\ g) & \cos(\pi/4)\\ \end{array}
F2

Am Tag 11 hat es 100100 Bakterien in einer Schale. Wie viele Bakterien hat es am Tag xx, falls sich

  1. die Anzahl Bakterien alle 33 Tage um 1.5%1.5\% vergrössert.
  2. die Anzahl Bakterien alle 33 Tage um 1.51.5 vergrössert.
F3

Skizziere den Graphen der Funktion ff ohne Taschenrechner. Mindestens 3 Punkte müssen genau eingezeichnet werden.

  1. f(x)=log⁡10(x)f(x)=\log_{10}(x)
  2. f(x)=0.5⋅2xf(x)=0.5\cdot 2^x
  3. f(x)=3−xf(x)=3^{-x}
  4. f(x)=2x+1+1f(x)=2\sqrt{x+1}+1
  5. f(x)=2sin⁡(x−π4)f(x)=2\sin(x-\frac{\pi}{4})
  6. f(x)=2xf(x)=\frac{2}{x}
  7. f(x)=cos⁡(π2x)f(x)=\cos(\frac{\pi}{2}x)
F4

Ordne die unten stehenden Graphen den richtigen Funktionen zu und gib jeweils eine kurze Begründung an. Zu zwei Funktionen gibt es keinen Graphen.

f(x)=−0.5x+1g(x)=−2x2h(x)=x2−x−1i(x)=−3x6+6x5−2x2+1k(x)=x3−x2+2.5l(x)=1m(x)=−x5+2x2n(x)=x6+x4\begin{array}{lll} f(x) = -0.5x+1\\ g(x) = -2x^2\\ h(x) = x^2-x-1\\ i(x) = -3x^6 + 6x^5 -2x^2 +1\\ k(x) = x^3 - x^2 + 2.5\\ l(x)=1\\ m(x) = -x^5 + 2x^2\\ n(x) = x^6 + x^4\\ \end{array}
F5

Eines der klassischen Probleme der Antike war die sogenannte Würfelverdopplung: Zu einem Würfel soll ein weiterer Würfel mit doppeltem Volumen konstruiert werden. Ermittle das Verhältnis der Kantenlängen bzw. der Oberflächeninhalte der beiden Würfel.

F6 (Sierpinski Teppich)

Das Sierpinski-Dreieck ist ein Gebilde, das iterativ entsteht: Aus einem gleichseitigen Dreieck wird zuerst das mittlere Dreieck entfernt. Mit den restlichen drei Dreiecken wird genauso vorgegangen, das mittlere Dreieck wird jeweils entfernt, usw. Interessant ist, wie sich dabei der totale Flächeninhalt und Umfang aller schwarzen Dreiecke verändern: Der Flächeninhalt wird nach jedem Schritt kleiner, der Umfang grösser.

  1. Bestimme den Flächeninhalt und den Umfang des Sierpinski-Dreiecks nach 1, 2, 3, 4, … Schritten in Bezug auf das Ausgangsdreieck mit Seitenlänge 11. Fertige dazu eine Tabelle an.
  2. Wie gross wird der Flächeninhalt bzw. der Umfang des Sierpinski-Dreiecks, wenn man den Vorgang unendlich lang fortsetzt?