Der Graph von quadratischen Funktionen

Der Graph einer quadratischen Funktion

f(x)=ax^2+bx+c

hat die Form eines $\cup$ oder $\cap$ und wird als Parabel bezeichnet. Der höchste Punkt des $\cap$ -Graphen oder der tiefste Punkt des $\cup$ -Graphen wird als Scheitelpunkt von $f$ bezeichnet. Die Scheitelpunkte der beiden unten abgebildeten Parabeln sind im Bild unten durch einen kleinen Punkt markiert.

Die einfachste quadratische Funktion ist

f(x)=x^2

Wir nennen sie die Referenz Funktion. Um ihren Graphen zu zeichnen erstellen wir eine Wertetabelle

\begin{array}{r|l} x & y=x^2 \\ \hline -3 & 9\\ -2 & 4\\ -1 & 1\\ 0 & 0\\ 1 & 1\\ 2 & 4\\ 3 & 9\\ \end{array}

und erhalten die folgende Abbildung. Sie hat die Form eines $\cup$ und der Scheitelpunkt befindet sich im Ursprung: $S(0|0)$ . Darüber hinaus verläuft der Graph durch die Punkte $P(-1|1)$ und $Q(1|1)$ .

Die Bestimmung des Graphen einer quadratischen Funktion in Normalform

f(x)=ax^2+bx+c

ist nicht gerade einfach, da nicht alle Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ eine klare geometrische Interpretation haben. Bei den Parametern der Scheitelpunktform

f(x)=a(x-u)^2+v

gibt es jedoch eine klare geometrische Interpretation und sie ist daher die bevorzugte Form, wenn wir den Graphen von $f$ zeichnen müssen. Wir haben folgende Interpretation der Parameter $a$ , $u$ und $v$ :

$x^2 \rightarrow ax^2$ : Streckt den Graphen der Referenzfunktion $x^2$ in $y$ -Richtung um den Faktor $a$ . Wenn $a<0$ ist, wird der Graph von $x^2$ gestreckt und auch an der $x$ -Achse gespiegelt. Insbesondere befindet sich der Scheitelpunkt des neuen Graphen immer noch im Ursprung: $S(0\vert 0)$ .
$ax^2 \rightarrow a(x-u)^2$ : Verschiebt den oben erhaltenen Graphen nach rechts ( $u>0$ ) oder nach links ( $u<0$ ) um die Distanz $u$ . Der Scheitelpunkt des neuen Graphen befindet sich jetzt bei $S(u\vert 0)$ .
$a(x-u)^2 \rightarrow a(x-u)^2+v$ : Verschiebt den oben erhaltenen Graphen nach oben ( $v>0$ ) oder nach unten ( $v<0$ ) um die Distanz $v$ . Der Scheitelpunkt des neuen Graphen befindet sich jetzt bei $S(u\vert v)$ .

Es wird ersichtlich, dass die Parameter $u$ und $u$ einfach die Koordinaten des Scheitelpunkts $S$ der Parabel sind.

Versuchen wir zu verstehen, warum die geometrische Interpretation der Parameter $a$ , $u$ und $v$ korrekt ist. Unten ist die quadratische Funktion in Scheitelpunktform als Maschine dargestellt (Referenz Funktion und vertex form einer allgemeinen Funktion)

Beachte, dass $a$ den Output der $(\,)^2$ -Maschine multipliziert und $v$ dazu addiert. Da die Ausgabe einer Maschine die $y$ -Koordinate ihres Graphen ist, sehen wir, dass $a$ jeden Punkt des Graphen von $x^2$ um den Faktor $a$ in $y$ -Richtung streckt und $v$ die Punkte vertikal nach oben oder unten verschiebt. Die Wirkung von $a$ und $v$ auf den Referenzgraphen $x^2$ sollte also klar sein: Streckung in $y$ -Richtung und Verschiebung hinauf oder hinunter.

Um die Wirkung von $u$ zu verstehen, finden wir zuerst die Position des Scheitelpunkts der Funktion $f(x)=a(x-u)^2$ , daher $v=0$ . Der Graph wird also nicht hinauf oder hinunter verschoben, und der Scheitelpunkt muss also auf der $x$ -Achse liegen. Berechnen wir also die Nullstelle (oder $x$ -Achsenabschnitt) von $f$ , was die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts sein muss:

\begin{array}{lll} a(x-u)^2=0 \quad | :a, \sqrt{\phantom{x}}\\ x-u = 0\quad | +v\\ x=u \end{array}

und wir sehen, dass der Scheitelpunkt von $f$ bei $S(u|0)$ liegt. Mit anderen Worten, für $u>0$ wird der Referenzgraph nach rechts verschoben, und für $u<0$ wird der Referenzgraph nach links verschoben. Dasselbe gilt, falls $v$ verschieden von Null ist. Wir zeigen dies aber nicht explizit. Wir fassen zusammen:

Theorem 1

Betrachte die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

f(x)=a(x-u)^2+v

Der Graph von $f$ ist eine gestreckte Version des Referenzgraphen $x^2$ (gestreckt in $y$ -Richtung um den Faktor $a$ ). Ihr Scheitelpunkt befindet sich bei $S(u|v)$ . Der Graph von $f$ hat die Form eines $\cup$ für $a>0$ und eines $\cap$ für $a<0$ .

Example 1

Betrachte die Funktion $f(x)=2x^2+4x-4$ .

Bestimme den Streckungsfaktor in $y$ -Richtung und die Koordinaten des Scheitelpunkts.
Zeichne den Graphen ohne Wertetabelle, nur durch Betrachtung der auf $x^2$ angewendeten Transformations-Abfolge.

Solution

Wir bringen $f$ in die Scheitelpunktform:

\begin{array}{lll} f(x) & = & 2x^2+4x-4\\ & = & 2(x^2+2x)-4\\ & = & 2((x+1)^2-1^2)-4\\ & = & 2(x+1)^2-6\\ & = & 2(x-(-1))^2-6\\ \end{array}

Somit wird $f$ in $y$ -Richtung um $a=2$ gestreckt, und der Scheitelpunkt liegt bei $S(-1|-6)$ ( $u=-1, v=-6$ ).
Zeichne zunächst den Graphen der Referenzfunktion und strecke ihn dann um den Faktor $2$ in $y$ -Richtung. Verschiebe dann diesen neuen Graphen zum Punkt $S(-1|-6)$ . Siehe Abbildung unten.

Exercise 1: Funktionsgleichung \rightarrow Graph

Solution

Sei $r$ die Referenzfunktion: $r(x)=x^2$ , und $S$ der Scheitelpunkt.

$f(x)=(x-2)^2+3$ , also $a=1, u=2, v=3$ , und damit $\underline{S(2|3)}$ .Das heisst, der Graph $r$ wird nach $S(2|3)$ verschoben.
$g(x)=-2(x+2)^2-1$ , also $a=-2, u=-2, a=-1$ , und damit $\underline{S(-2|-1)}$ .Das heisst, der Graph $r$ wird in $y$ -Richtung um den Faktor $2$ gestreckt, um die $x$ -Achse gespiegelt und nach $S(-2|-1)$ verschoben.
$h(x)=x^2-2x+5 = (x-1)^2+4$ , also $a=1, u=1, v=4$ und damit $\underline{S(1|4)}$ Das heisst, der Graph $r$ wird nach $S(1|4)$ verschoben.
$i(x)=(x+2)^2$ , also $a=1, v=-2, b=0$ , und damit $\underline{S(-2|0)}$ , d.h. der Graph $r$ ist nach $S(-2|0)$ verschoben.
$k(x)=-0.5x^2+1 = -0.5(x-0)^2+1$ , also $a=-0.5, u=0, v=1$ und damit $\underline{S(0|1)}$ .Das heisst, der Graph $r$ wird in $y$ -Richtung um den Faktor $0.5$ gestreckt, um die $x$ -Achse gespiegelt und nach $S(0|1)$ verschoben.
$j(x)=\frac{3}{4}x^2-6x+\frac{15}{2} =\frac{3}{4}(x-4)^2-4.5$ , also $a=\frac{3}{4}, u=4, v=-4.5$ und damit $\underline{S(4|-4. 5)}$ . Das heisst, der Graph $r$ wird in $y$ -Richtung um den Faktor $3/4$ gestreckt und nach $S(4|-4.5)$ verschoben.
$l(x)=3(2x-4)^2+2=3(2(x-2))^2+2=3\cdot 2^2(x-2)^2+2=12(x-2)^2+2$ , also $a=12, u=2, v=2$ und damit $\underline{S(2|2)}$ . Das heisst, der Graph $r$ wird in $y$ -Richtung um den Faktor $12$ gestreckt und nach $S(2|2)$ verschoben.

Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunkts und den Streckungsfaktor in $y$ -Richtung, und verwende diese Informationen, um den Graphen zu zeichnen:

$f(x)=(x-2)^2+3$
$g(x)=-2(x+2)^2-1$
$h(x)=x^2-2x+5$
$i(x)=(x+2)^2$
$k(x)=-0.5x^2+1$
$j(x)=\frac{3}{4}x^2-6x+\frac{15}{2}$
$l(x)=3(2x-4)^2+2$

Exercise 2: Graph \rightarrow Funktionsgleichung

Solution

$f$ : Diagramm $\rightarrow S(1|0)$ , daher $f(x)=a(x-1)^2+0$ . Um $a$ zu finden, sehen wir, dass $f(2)=1 \rightarrow a(2-1)^2+0=1 \rightarrow a=1$ . Somit haben wir $f(x)=1\cdot (x-1)^2+0=\underline{(x-1)^2}$ . Der Wert von $a$ kann auch direkt aus dem Diagramm abgeleitet werden, wenn man es mit der Referenzfunktion $x^2$ vergleicht (eins nach rechts vom Scheitelpunkt, eins nach oben).
$g$ : Diagramm $\rightarrow S(-3|3)$ , daher $g(x)=a(x+3)^2+3$ . Um $a$ zu finden, sehen wir, dass $g(-2)=2$ , also $a(-2+3)^2+3=2 \rightarrow a=-1$ . Somit haben wir $g(x)=\underline{-(x+3)^2+3}$ . Der Wert $a=-1$ kann auch direkt aus dem Diagramm abgeleitet werden, wenn man es mit der Referenzfunktion $x^2$ vergleicht (zwei nach rechts vom Scheitelpunkt, zwei nach unten).
$h$ : Diagramm $\rightarrow S(0|0)$ , daher $h(x)=a(x-0)^2+0=ax^2$ . Um $A$ zu finden, sehen wir, dass $h(2)=1$ und daher $a\cdot 2^2=1\rightarrow a=\frac{1}{4}$ . Somit haben wir $h(x)=\frac{1}{4}x^2$ . Auch hier kann der Wert $a=\frac{1}{4}$ direkt aus dem Diagramm abgeleitet werden, wenn man es mit der Referenzfunktion $x^2$ vergleicht (zwei nach rechts vom Scheitelpunkt, vier nach oben).
$k$ : Diagramm $\rightarrow S(5|-3)$ , daher $k(x)=a(x-5)^2-3$ . Um $a$ zu finden, sehen wir, dass $k(6)=0$ und daher $a(6-5)^2-3=0 \rightarrow a=3$ . Somit haben wir $k(x)=\underline{3(x-5)^2-3}$ . Der Wert $a=3$ kann auch direkt aus dem Diagramm abgeleitet werden, wenn man es mit der Referenzfunktion $x^2$ vergleicht (fünf nach rechts vom Scheitelpunkt, drei nach unten).

Bestimme die Scheitelpunktform der unten dargestellten Graphen, indem du zuerst die Koordinaten des Scheitelpunkts im Diagramm identifizierst und dann den Streckungsfaktor in $y$ -Richtung findest.

Exercise 3

Die Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ hat den Scheitelpunkt $S$ und verläuft durch den Punkt $P$ . Bestimme die Parameter $a, b$ und $c$ der Normalform:

$S(-1|-5)$ , $P(3|11)$
$S(4|12)$ , $P(0|4)$

Solution

Wir beginnen mit der Scheitelpunktform.

$S(-1|-5)$ , also $u=-1, v=-5$ und somit $f(x)=a(x+1)^2-5$ . Um $a$ zu finden, verwenden wir $f(3)=11$ (da $P(3|11)$ auf dem Graphen von $f$ liegt), also $a(3+1)^2-5=16a-5=11$ und somit $a=1$ . Es folgt $f(x)=(x+1)^2-5=x^2+2x-4$ und daher $\underline{a=1, b=2, c=-4}$
$S(4|12)$ , also $u=4, v=12$ und somit $f(x)=a(x-4)^2+12$ . Mit $f(0)=4$ folgt $a(0-4)^2+12=16a+12=4$ , also $a=-0.5$ . Wir haben $f(x)=-0.5(x-4)^2+12=-0.5x^2+4x+4$ , daher $\underline{a=-0.5, b=4, c=4}$

Exercise 4

Die Funktion $f(x)=x^2-sx+4$ hat den Scheitelpunkt $S$ mit der $y$ -Koordinate $2$ . Welchen Wert hat der Parameter $s$ und welche entsprechende $x$ -Koordinate?

Solution

Die Scheitelpunktform von $f(x)=x^2-sx+4$ lautet $f(x)=\left(x-\frac{s}{2}\right)^2-\left(\frac{s}{2}\right)^2+4$ . Der Scheitelpunkt $S(u|v)$ hat also $u=\frac{s}{2}$ und $v=4-\left(\frac{s}{2}\right)^2$ . Da die $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts $2$ ist, haben wir $v=2$ . Somit erhalten wir:

4-\left(\frac{s}{2}\right)^2=2 \Rightarrow \left(\frac{s}{2}\right)^2=2 \Rightarrow \frac{s^2}{4}=2 \Rightarrow s^2=8 \Rightarrow s=\pm 2\sqrt{2}

Da der Scheitelpunkt eine $x$ -Koordinate von $v=\frac{s}{2}$ hat, erhalten wir:

v=\frac{s}{2}=\frac{\pm 2\sqrt{2}}{2}=\pm \sqrt{2}

Die möglichen Werte für $s$ sind also $s=\pm 2\sqrt{2}$ und die entsprechenden $x$ -Koordinaten des Scheitelpunkts sind $x=\pm \sqrt{2}$ .

Note 1

In der englischen Version hat es noch mehr Aufgaben dazu!

Wir wiederholen nochmals die geometrische Interpretation der Parameter $a$ , $u$ und $v$ :

$a$ : Der Streckungsfaktor in $y$ -Richtung. Positiver Wert führt zu einer Vergrösserung der Parabel in $y$ -Richtung, negativer Wert führt zu einer Spiegelung der Parabel an der $x$ -Achse.
$u$ : Die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts. Positiver Wert verschiebt den Scheitelpunkt nach rechts, negativer Wert verschiebt den Scheitelpunkt nach links.
$v$ : Die $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts. Positiver Wert verschiebt den Scheitelpunkt nach oben, negativer Wert verschiebt den Scheitelpunkt nach unten.

Diese Interpretation hilft dabei, den Graphen einer quadratischen Funktion ohne zeitaufwändige Wertetabellen zu zeichnen, indem man die Transformationen direkt auf den Graphen der Referenzfunktion $x^2$ anwendet.