Die quadratische Funktion

Fügen wir einer linearen Funktion f(x)=bx+cf(x)=bx+c einen quadratischen Term x2x^2 hinzu, so erhalten wir eine quadratische Funktion.

Definition 1

Eine Funktion der Form

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c

wird quadratische Funktion genannt. Genauer, es ist die Normalform der quadratischen Funktion. Die Buchstaben aa, bb und cc sind die Koeffizienten der Normalform.

Koeffizienten stehen für Zahlen, wobei a≠0a\neq 0 (sonst wäre es eine lineare Funktion). Beachte die Konvention, mit dem x2x^2-Term zu beginnen, gefolgt vom xx-Term und zuletzt dem konstanten Term.

Example 1

  • f(x)=3x2+2x+1→a=3,b=2,c=1f(x)=3x^2+2x+1 \rightarrow a=3, b=2, c=1

  • g(x)=x2−1→a=1,b=0,c=−1g(x)=x^2-1 \rightarrow a=1, b=0, c=-1

  • h(x)=−1.5x2−12x→a=−1.5,b−12,c=0h(x)=-1.5x^2-\frac{1}{2}x \rightarrow a=-1.5, b-\frac{1}{2}, c=0

  • k(x)=3(x−2)2−5k(x)=3(x-2)^2-5

    Um die Koeffizienten zu finden, müssen wir zuerst erweitern: f(x)=3x2−12x+7f(x)=3x^2-12x+7, also a=3,b=−12,c=7a=3, b=-12, c=7.

Wir wissen bereits, dass wir durch quadratische Ergänzung jeden quadratischen Term in der folgenden Form schreiben können: a⋅(x−u)2+va\cdot (x-u)^2+v. Wir können also f(x)f(x) in die Form f(x)=a⋅(x−u)2+vf(x)=a\cdot (x-u)^2+v umwandeln. Dies ist die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion.

Definition 2

Eine quadratische Funktion in der Form

f(x)=a⋅(x−u)2+vf(x)=a\cdot (x-u)^2+v

wird Scheitelpunktform genannt.

Wiederum sind aa, uu und vv feste Zahlen, die nun Parameter genannt werden. Im nächsten Kapitel werden wir sehen, dass diese Parameter eine klare geometrische Bedeutung haben.

Falls Unklarheit darüber herrscht, wie quadratisch ergänzen funktioniert, lies das Kapitel in Elementarmath 1 oder klicke rechts für eine Kurzanleitung.

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Eine Kurzanleitung zum quadratischen Ergänzen

Betrachte den Ausdruck

x2+bxx^2{\color{red}+}bx

Wir können diesen Ausdruck wie folgt schreiben

(x+b2)2−(b2)2\left(x{\color{red}+}\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2

Diese Umwandlung wird als quadratisch ergänzen des Ausdrucks x2+bxx^2+bx bezeichnet. Es ist einfach genug zu sehen, dass dies korrekt ist. Erweitere einfach den unteren Ausdruck, um zu sehen, dass wir den oberen Ausdruck erhalten. Ähnlich haben wir

x2−bxx^2{\color{red}-}bx

Wir können diesen Ausdruck wie folgt schreiben

(x−b2)2−(b2)2\left(x{\color{red}-}\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2

Hier sind zwei Beispiele:

  1. x2+9x=(x−4,5)2−4,52=(x−4,5)2−20,25x^2+9x = (x-4,5)^2-4,5^2 = (x-4,5)^2-20,25(Um zu sehen, dass dies korrekt ist, erweitern wir. In der Tat haben wir (x−4,5)2−20,25=x2−9x+4,52−4,52=x2−9x(x-4,5)^2-20,25=x^2-9x+4,5^2-4,5^2=x^2-9x).

  2. x2−1=(x−0,5)2−0,52=(x−1)2−0,25x^2-1 = (x-0,5)^2-0,5^2=(x-1)^2-0,25.

Oftmals hat der Ausdruck, den wir ergänzen möchten, einen Faktor vor dem x2x^2, z.B.

4x2−8x4x^2-8x

Um den Term quadratisch zu Ergänzen, müssen wir zuerst die 44 herausheben und dann anschliessend die quadratische Form ergänzen:

4x2−8x=4(x2−2x⏟=(x−1)2−12)=4((x−1)2−1)=4(x−1)2−4\begin{array}{lll} 4x^2-8x&=&4(\underbrace{x^2-2x}_{=(x-1)^2-1^2})\\ &=&4((x-1)^2-1)\\ &=&4(x-1)^2-4 \end{array}

Die gleiche Strategie wird angewendet, wenn ein konstanter Wert zum Ausdruck hinzugefügt wird, z.B.

5x2+15x+25x^2+15x+2

Wir heben die 55 heraus und ergänzen anschliessend die quadratische Form:

5x2+15x+2=5(x2+3x⏟=(x+1,5)2−1,52)+2=5((x+1,5)2−2,25)+2=5(x+1,5)2−11,25+2=5(x+1,5)2−9,25=5(x−(−1,5))2−9,25=5(x−(−1,5))2+(−9,25)\begin{array}{lll} 5x^2+15x+2&=&5(\underbrace{x^2+3x}_{=(x+1,5)^2-1,5^2})+2\\ &=&5((x+1,5)^2-2,25)+2\\ &=&5(x+1,5)^2-11,25+2\\ &=&5(x+1,5)^2-9,25\\ &=&5(x-(-1,5))^2-9,25\\ &=&5(x-(-1,5))^2+(-9,25) \end{array}

Je nach Kontext ist es einfacher, entweder mit der Normalform oder der Scheitelpunktform zu arbeiten. Daher ist es wichtig, dass wir zwischen diesen beiden Formen hin und her wechseln können.

Example 2: Scheitelpunktform \rightarrow Normalform
Solution

Wir erweitern einfach:

f(x)=3(x2−2x+1)+4=3x2−6x+7\begin{array}{ll} f(x) & = & 3(x^2-2x+1)+4\\ & = & 3x^2-6x+7 \end{array}

und somit haben wir a=3,b=−6a=3, b=-6 und c=7c=7

Finde die Normalform der quadratischen Gleichung f(x)=3(x−1)2+4f(x)=3(x-1)^2+4 und bestimme ihre Koeffizienten aa, bb und cc.

Example 3: Normalform \rightarrow Scheitelpunktform
Solution

Wir ergänzen die quadratische Form:

f(x)=5(x2−2x⏟=(x−1)2−12)+2f(x)=5(\underbrace{x^2-2x}_{=(x-1)^2-1^2})+2

wobei wir die quadratische Form von x2−2xx^2-2x ergänzt haben. Wir erhalten

f(x)=5(x2−2x⏟=(x−1)2−12)+2=5((x−1)2−1)+2=5(x−1)2−5+2=5(x−1)2−3=5(x−1)2+(−3)\begin{array}{ll} f(x)&=5(\underbrace{x^2-2x}_{=(x-1)^2-1^2})+2\\ & = & 5((x-1)^2-1)+2\\ & = & 5(x-1)^2-5+2\\ & = & 5(x-1)^2-3\\ & = & 5(x-1)^2+(-3)\\ \end{array}

Somit haben wir a=5,u=1a=5, u=1 und v=−3v=-3.

Finde die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion f(x)=5x2−10x+2f(x)=5x^2-10x+2 und bestimme ihre Parameter aa, uu und vv.

Example 4: Normalform \rightarrow Scheitelpunktform \rightarrow Normalform
Solution

Normalform →\rightarrow Scheitelpunktform:

f(x)=2x2−4x−2=2(x2−2x)−2=2((x−1)2−12)−2=2(x−1)2−4=2(x−1)2+(−4)\begin{array}{lll} f(x) & = & 2x^2-4x-2 \\ & = & 2(x^2-2x)-2 \\ & = & 2((x-1)^2-1^2)-2\\ & = & 2(x-1)^2-4\\ & = & 2(x-1)^2+(-4)\\ \end{array}

Scheitelpunktform →\rightarrow Normalform:

f(x)=2(x−1)2−4=2(x2−2x+1)−4=2x2−4x+2−4=2x2−4x−2\begin{array}{lll} f(x) & = & 2(x-1)^2-4 \\ & = & 2(x^2-2x+1)-4 \\ & = & 2x^2-4x+2-4\\ & = & 2x^2-4x-2\\ \end{array}

Finde die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion f(x)=2x2−4x−2f(x)=2x^2-4x-2 und erweitere diese Form, um die Normalform erneut zu finden.

Ein Wort zu den Nullstellen der quadratischen Funktionen ff. Wenn in der Normalform

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c

die Nullstelle gefunden werden soll, löst man die quadratische Gleichung

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

was mit der Mitternachtsformel gemacht werden kann:

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Wenn sich die quadratische Funktion in der Scheitelpunktform

f(x)=a(x−u)2+vf(x)=a(x-u)^2+v

befindet, kann man entweder in die Normalform erweitern und die Mitternachtsformel verwenden, es ist jedoch viel einfacher, die Gleichung

a(x−u)2+v=0a(x-u)^2+v=0

direkt zu lösen. Hier ist ein Beispiel: Betrachte die folgende quadratische Funktion

f(x)=−4(x−2)2+10f(x)=-4(x-2)^2+10

Sie ist in Scheitelpunktform. Um die Nullstellen zu finden, lösen wir die Gleichung

−4(x−2)2+10=0∣−10−4(x−2)2=−10∣:(−4)(x−2)2=2,5∣(.)x−2=±2,5∣+2x=±2,5+2\begin{array}{lll} -4(x-2)^2+10&=&0\quad | -10\\ -4(x-2)^2&=&-10\quad | :(-4)\\ (x-2)^2&=&2,5\quad | \sqrt{(.)}\\ x-2&=&\pm\sqrt{2,5}\quad| +2\\ x&=& \pm\sqrt{2,5}+2 \end{array}

und somit x1=3,58x_1=3,58 und x2=0,42x_2=0,42.

Exercise 1

Bringe die folgenden quadratischen Funktionen in die andere Form. Bestimme auch die Nullstellen und den yy-Achsenabschnitt.

  1. f(x)=−2(x+3)2−4f(x)=-2(x+3)^2-4

  2. f(x)=x2−2x+3f(x)=x^2-2x+3

  3. f(x)=2x2+8x−2f(x)=2x^2+8x-2

  4. f(x)=−3x2+27x+9f(x)=-3x^2+27x+9

  5. f(x)=4(x−2)2−1f(x)=4(x-2)^2-1

  6. f(x)=−x2−x−1f(x)=-x^2-x-1

  7. f(x)=x2+2f(x)=x^2+2

  8. f(x)=0.5x2−3xf(x)=0.5x^2-3x

Solution
  1. Ist bereits in Scheitelpunktform.
    1. Bringe in Normalform: f(x)=−2(x2+6x+9)−4=−2x2−12x−22\begin{array}{ll} f(x) &= & -2(x^2+6x+9)-4\\ &= & -2x^2-12x-22 \end{array}
    2. yy-Achsenabschnitt: f(0)=−22‾f(0)=\underline{-22}
    3. Nullstellen: f(x)=0f(x)=0. Verwende die Mitternachtsformel oder einfacher, verwende die Scheitelpunktform: −2(x+3)2−4=0(x+3)2=−2\begin{array}{ll} -2(x+3)^2-4 & = & 0 \\ (x+3)^2 & = & -2 \\ \end{array} Keine Lösung hier! Daher keine Nullstelle.
  2. Ist bereits in Normalform.
    1. Bringe in Scheitelpunktform: f(x)=x2−2x+3=(x−1)2−12+3=(x−1)2+2\begin{array}{ll} f(x)&=&x^2-2x+3\\ & = & (x-1)^2-1^2+3\\ &=&(x-1)^2+2 \end{array}
    2. yy-Achsenabschnitt: f(0)=3f(0)=3
    3. Nullstellen: f(x)=0f(x)=0 Keine Lösung, daher keine Nullstelle.
  3. Ist bereits in Normalform.
    1. Scheitelpunktform: f(x)=2x2+8x−2=2(x2+4x)−2=2((x+2)2−22)−2=2(x+2)2−10\begin{array}{ll} f(x)&=&2x^2+8x-2\\ & = & 2(x^2+4x)-2\\ &=&2((x+2)^2-2^2)-2\\ &=&2(x+2)^2-10 \end{array}
    2. yy-Achsenabschnitt: f(0)=−2‾f(0)=\underline{-2}
    3. Nullstellen: Aus f(x)=0f(x)=0 folgt x1=−2−5‾x_1=\underline{-2-\sqrt{5}}, x2=−2+5‾x_2=\underline{-2+\sqrt{5}}
  4. Ist bereits in Normalform.
    1. Scheitelpunktform: f(x)=−3(x−4,5)2+69,75f(x)=-3(x-4,5)^2+69,75
    2. yy-Achsenabschnitt: f(0)=9f(0)=9
    3. Nullstellen: x1=9,322,x2=−0,322x_1=9,322, x_2=-0,322
  5. Ist bereits in Scheitelpunktform.
    1. Normalform: f(x)=4x2−16x+15f(x)=4 x^2 - 16 x + 15
    2. yy-Achsenabschnitt: f(0)=15f(0)=15
    3. Nullstellen: x1=1,5,x2=2,5x_1=1,5, x_2=2,5
  6. Ist bereits in Normalform.
    1. Scheitelpunktform: f(x)=−(x+0,5)2−0,75f(x)=-(x+0,5)^2-0,75
    2. yy-Achsenabschnitt: f(0)=−1f(0)=-1
    3. Nullstellen: keine
  7. Ist in Scheitelpunkt- und Normalform.
    1. Scheitelpunktform: f(x)=(x−0)2+2f(x)=(x-0)^2+2
    2. Normalform: f(x)=x2+0⋅x+2f(x)=x^2+0\cdot x + 2
    3. yy-Achsenabschnitt: f(0)=2f(0)=2
    4. Nullstellen: keine
  8. Ist in Normalform.
    1. Scheitelpunktform: f(x)=0,5(x−3)2−4,5f(x)=0,5(x-3)^2-4,5
    2. Normalform: f(x)=0,5x2−3x+0f(x)=0,5x^2-3x+0
    3. yy-Achsenabschnitt: f(0)=0f(0)=0
    4. Nullstellen: Mitternachtsformel, ergänzen der quadratischen Form oder schnellste Methode: den xx-Wert aus zu multiplizieren: f(x)=0,5x2−3x=0f(x)=0,5x^2-3x=0, daher x⋅(0,5x−3)=0x\cdot(0,5x-3)=0, daher x1=0x_1=0 und x2=6x_2=6.