Ein Raketenmodell

Exercise 1: Stufen

Wieso hat eine Rakete Stufen?

Solution

  • Gewicht reduzieren

  • Effizienz steigern

  • Geschwindigkeit erreichen

Das Pfupfmodell

Wir betrachten das klassische "Pfupfmodel" einer Rakete der Masse mm mit Geschwindigkeit vv und verwenden den Impulserhaltungssatz. Wir notieren also jeweils den Impuls pp vor und nach dem Stoss und vergleichen.

Mit obiger Notation gilt nach dem Pfupf:

p=(m−Δm)⋅v′+Δm⋅(v′−u)p=(m-\Delta m)\cdot v'+\Delta m\cdot(v'-u)

und unmittelbar folgt mit p=mvp=mv vor dem Pfupf

mv=mv′−Δmu,mv=mv'-\Delta mu,

wobei v′v' die Geschwindigkeit der Rakete nach dem Stoss und uu die Ausströmgeschwindigkeit des Gases bezeichnet.

Geschwindigkeitsverlauf

Wir lösen

mv=mv′−Δmumv=mv'-\Delta mu

nach v′−vv'-v und bezeichnen diese Geschwindigkeitszunahme mit Δv\Delta v:

Δv=Δmmu.\Delta v=\frac{\Delta m}{m} u.

Mit Division und für Δt→0\Delta t\to0 erhalten wir die Differentialgleichung

dv=−dmm⋅u.\mathrm{d}v=-\frac{\mathrm{d}m}{m}\cdot u.

Das Vorzeichen erklärt sich dadurch, dass die Geschwindigkeit zunimmt, wenn Masse abnimmt. Wir integrieren, um die Geschwindigkeit zu erhalten:

∫v0v dv=∫m0m−um dm.\int_{v_0}^v\,\mathrm{d}v=\int_{m_0}^m-\frac{u}{m}\,\mathrm{d}m.

Also gilt für die Geschwindigkeit der Rakete mit Anfangsmasse m0m_0 und Anfangsgeschwindigkeit v0v_0

v(t)=v0+u⋅ln⁡(m0m).v(t)=v_0+u\cdot\ln\left(\frac{m_0}{m}\right).

Mit v0=0v_0=0 wird diese Beziehung

v(t)=u⋅ln⁡(m0m)\boxed{v(t) = u\cdot\ln\left(\frac{m_0}{m}\right)}

auch gerne 1. Raketengleichung genannt. Sie gibt die Geschwindigkeit einer Rakete im Vakuum ohne Gravitationseinfluss an.

Brenndauer

Wir wollen das vv-tt-Diagramm zeichnen. Dazu müssen wir beachten, dass mm auch von der Zeit abhängt, m=m(t)m=m(t).

v(t)=v0+u⋅ln⁡(m0m(t)).v(t)=v_0+u\cdot\ln\left(\frac{m_0}{m(t)}\right).

Nehmen wir einen zeitlich konstanten Gasausstoss μ\mu an, so gilt für die Masse der Rakete zur Zeit tt

m(t)=m0−μtm(t)=m_0-\mu t

und damit für die Geschwindigkeit

v(t)=v0+u⋅ln⁡(m0m0−μt).v(t)=v_0+u\cdot\ln\left(\frac{m_0}{m_0-\mu t}\right).

Setzen wir v0=0v_0=0, u=2500u=2500, m0=2200m_0=2200 und μ=2.5\mu=2.5 und schauen uns Abbildung an.

Man sieht, dass die Rakete immer stärker beschleunigt. So lange, bis der Brennstoff aufgebraucht ist. Wie lange dauert das? Um diese Frage zu beantworten, nehmen wir uns m0m_0 vor und schreiben

m0=mleer+mbrenn.m_0=m_{leer}+m_{brenn}.

Dabei ist natürlich zu beachten, dass mleerm_{leer} inklusive Nutzlast aufzufassen ist. Ist zum Beispiel mleer=200m_{leer}=200, so erhält man für mbrenn=μ⋅tbrennm_{brenn}=\mu\cdot t_{brenn} die Brenndauer

tbrenn=mbrennμ.t_{brenn}=\frac{m_{brenn}}{\mu}.

Für obige Werte hat man tbrenn=800 Sekundent_{brenn}=800\,\text{Sekunden}.

Brennschlussgeschwindigkeit

Von Interesse ist auch, welche Endgeschwindigkeit die Rakete erreicht. Wir setzen also im Geschwindigkeitsverlauf m0=mleerm_0=m_{leer}, da ja kein Brennstoff mehr vorhanden ist. Numerisch ergibt sich

ve=v0+vg⋅ln⁡(m0mleer)≈6000m/sv_e=v_0+v_g\cdot\ln\left(\frac{m_0}{m_{leer}}\right)\approx6000 \mathrm{m/s}

Man will die Endgeschwindigkeit optimieren. Sie ist proportional zur Ausströmgeschwindigkeit und hängt logarithmisch vom Verhältnis Masse beim Start zu Masse nach Brennschluss ab. Mehr Erkenntnis gibt unser Model nicht her.

Nutzlasten

Will man Material in eine Umlaufbahn bringen, so muss man grosse Endgeschwindigkeiten erreichen können. Wir betrachten, wiederum für v0=0v_0=0, das Verhältnis von Endgeschwindigkeit zu Gasgeschwindigkeit:

veu=ln⁡(m0mleer)=ln⁡(1+mbrennmleer).\frac{v_e}{u}=\ln\left(\frac{m_0}{m_{leer}}\right)=\ln\left(1+\frac{m_{brenn}}{m_{leer}}\right).

Also ist der Zusammenhang vom Typ

vtop=ln⁡(1+mtop)v_{\text{top}}=\ln(1+m_{\text{top}})

mit vtop=veuv_{\text{top}}=\frac{v_e}{u} und mtop=mbrennmleerm_{\text{top}}=\frac{m_{brenn}}{m_{leer}} oder in der Anschauung in der unten stehenden Abbildung.