Die schwingende Saite

Bei einer schwingenden Saite sucht man eine Funktion $u$ , die die Auslenkung zum Zeitpunkt $t$ an der Stelle $x$ beschreibt,

u(t,x).

Die zugrunde liegende partielle Differentialgleichung lautet:

\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\lambda^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}.

Die Saite sei an den Endpunkten $x=0$ bzw. $x=\pi$ fixiert. Damit erhält man die Randbedingungen

u(t,0) = u(t,\pi) = 0.

Der Einfachheit halber setzen wir $\lambda = 1$ . Mit dem Separationsansatz $u(t,x) = v(x)\cdot w(t)$ erhalten wir die Beziehung $v(x)\ddot{w}(t)=v''(x)w(t)$ . Betrachten wir einen Punkt $(t,x)$ , in dem beide Funktionen nicht verschwinden, so können wir

\frac{\ddot{w(t)}}{w(t)}=\frac{v''(x)}{v(x)}

schreiben. Da die beiden Seiten von verschiedenen Variablen abhängen und für alle $x,t$ im Definitionsbereich erfüllt sein sollen, müssen sie konstant und gleich sein. Also in der Art

\begin{align*} \ddot{w} &= -Kw\\ v'' &= -Kv \end{align*}

mit $K>0$ . Das Vorzeichen ist wiederum physikalisch motiviert; sonst erhält man keine zeitlich periodische Lösung. Wie im Beispiel mit dem mathematischen Pendel lautet eine Lösung der zweiten Gleichung

v(x)=c_1\cos(\sqrt{K}x)+c_2\sin(\sqrt{K}x).

Exercise 1: Verwende Randbedingungen

Überlege dir, dass mit den Randbedingungen der Cosinusterm verschwindet und $K=n^2$ mit $n\in\mathbb{N}$ gelten muss, so dass also $v(x)=c_2\sin(nx)$ wird.

Solution

Aus $v(0)=0$ folgt $c_1=0$ und $v(\pi)=c_2\sin(\sqrt{K}\pi)=0$ heisst $\sqrt{K}=n\in\mathbb{N}_0$ , also $K=n^2$ . Daraus folgt unmittelbar die Behauptung.

Damit kann man eine Schar von Lösungen der Gleichung angeben, nämlich

u(t,x)=\sum_{n=0}^\infty\left(d_n^1\cos(nt)+d_n^2\sin(nt)\right)\sin(nx).

Exercise 2: Allgemeine Lösung

Geht man von einer Ausgangsauslenkung aus der Ruhelage mit Anfangsgeschwindigkeit $0$ aus, so erhält man

u(t,x)=\sum_{n=0}^\infty d_n\cos(nt)\sin(nx).

Solution

Die Geschwindigkeit ist

v_x(t)=\frac{\partial u(t,x)}{\partial t}=\sum_{n=0}^\infty (-d_n^1n\sin(nt)+d_n^2n\cos(nt))\sin(nx).

Wegen

v_x(0)=\frac{\partial u(0,x)}{\partial t}\stackrel{!}{=}0

muss dann $d_n^2=0$ sein und dies führt direkt zur Behauptung.