Das Steigungsdreieck

In der letzten Übung im vorigen Abschnitt wurden die Parameter aa und bb einer linearen Funktion

f(x)=ax+bf(x)=ax+b

untersucht, und welchen Effekt sie auf den Graphen von ff haben. In diesem Kapitel werden wir dies im Detail besprechen.

Der Parameter bb ist einfach: In der Tat, wir haben

f(0)=a⋅0+b=bf(0)=a\cdot 0+b=b

Somit ist bb der yy-Achsenabschnitt von ff, d.h. der Punkt auf der yy-Achse, wo die Gerade die yy-Achse schneidet:

b ist der y-Achsenabschnitt\boxed{\text{$b$ ist der $y$-Achsenabschnitt}}

Wofür der Parameter aa steht ist etwas schwieriger zu verstehen. Der Wert aa hat sogar einen Namen, die Steigung von ff. Wir werden sehen, warum dieser Name passend ist. Hier sind zwei konkrete Beispiele für lineare Funktionen und ihre Graphen:

f(x)=0.5x+1f(x)=0.5x+1 g(x)=−2x+1g(x)=-2x+1

Das heisst, a=0.5a=0.5 für ff und a=−2a=-2 für gg, und für beide Funktionen ist b=1b=1. Die Graphen sind unten abgebildet. Da beide den gleichen yy-Achsenabschnitt y=1y=1 besitzen, schneiden sie sich dort.

Den Wert aa "sehen" wir, wenn wir ein sogenanntes Steigungsdreieck für jede Gerade einzeichnen (siehe Dreiecke oben). Das machen wir wie folgt:

Recipe 1
  • Wähle einen Punkt auf der Geraden (kleine Kreise oben). Dieser Punkt kann als Startpunkt angesehen werden und bildet eine Ecke des Dreiecks. Er ist frei wählbar, solange er auf der Geraden ist.
  • Bewege dich von diesem Punkt aus um eine bestimmte Distanz nach rechts. Wir bezeichnen diese Distanz mit Δx\Delta x (wir sagen delta x). Auch diese Distanz kann frei gewählt werden.
  • Bewege dich dann nach oben (oder nach unten) bis zur Gerade, um ein Dreieck zu bilden. Die Distanz, die dabei zurückgelegt wird, bezeichnen wir mit Δy\Delta y (wir sagen delta y). Die Distanz ist negativ, wenn wir uns nach unten bewegen müssen, und positiv, falls wir uns nach oben bewegen müssen.
  • Das erhalten Dreieck wir als Steigungsdreieck bezeichnet. Wir kennen also zwei Seitenlängen dieses Dreiecks, Δx\Delta x und Δy\Delta y (siehe oben).

Die obige Abbildung zeigt zwei Steigungsdreiecke für jeden Graphen ff und gg.

Beachte folgendes:

Note 1

  • Für den Graphen von f(x)=0.5x+1f(x)=0.5x+1 (grüne Linie) ist für jedes Steigungsdreieck der Quotient Δy\Delta y geteilt durch Δx\Delta x immer 0.50.5, was genau dem Wert des Parameters aa entspricht:

    Dreieck 1: ΔyΔx=12=0.5\text{Dreieck 1: } \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{2}=0.5 Dreieck 2: ΔyΔx=0.51=0.5\text{Dreieck 2: } \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0.5}{1}=0.5

  • Dasselbe gilt für den Graphen von g(x)=−2x+1g(x)=-2x+1 (rote Linie), wir erhalten ebenfalls aa, wenn wir Δy\Delta y geteilt durch Δx\Delta x dividieren:

    Dreieck 1: ΔyΔx=−10.5=−2\text{Dreieck 1: } \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1}{0.5}=-2 Dreieck 1: ΔyΔx=−21=−2\text{Dreieck 1: } \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-2}{1}=-2

Und in der Tat ist das immer der Fall:

Theorem 1

Für eine lineare Funktion

f(x)=ax+bf(x)=ax+b

ist die Steigung aa gegeben durch

Steigung a=ΔyΔx\boxed{\text{Steigung } a=\frac{\Delta y}{\Delta x}}
Note 2

  • Das Δ\Delta vor einer Variablen wie xx oder yy wird oft verwendet, um eine Differenz zu bezeichnen. Δx\Delta x bezeichnet die horizontale Differenz der beiden Eckpunkte auf dem Graph von ff des Steigungsdreiecks. Δy\Delta y bezeichnet die vertikale Differenz der beiden Eckpunkte auf dem Graph von ff des Steigungsdreiecks.

  • Die Bezeichnung der Parameters aa als Steigung macht Sinn. Je grösser aa, desto steiler ist die Gerade (siehe auch die Aufgabe unten).

Exercise 1

Bestimme die Steigung jeder Geraden (siehe unten), indem ein Steigungsdreiecke konstruiert wird. Beantworte auch die folgenden Fragen:

  1. Verdoppelt sich die Steigung, wenn sich der Winkel zwischen der xx-Achse und der Geraden verdoppelt?
  2. Wie gross ist die Steigung einer horizontalen Linie?
  3. Wie gross ist die Steigung der Diagonalen?
  4. Wie gross ist die Steigung einer vertikalen Linie, und warum kommt diese Steigung bei einer linearen Funktion nicht vor?
Solution
  1. nein!
  2. a=0a=0
  3. a=1a=1
  4. a=∞a=\infty, aber dies kann kein Graph einer Funktion sein, da ein Input viele (eigentlich unendlich viele) Outputs hat.
Exercise 2

Skizziere ein Koordinatensystem und darin einen beliebigen Punkt AA. Zeichnen Sie dann eine Gerade, die durch den Punkt AA geht, und die folgende Steigung besitzt:

  1. 33

  2. 25\frac{2}{5}

  3. −0.25-0.25

  4. −2.5-2.5

Solution
Exercise 3

Bestimme die exakte Steigung für die unten stehenden Graphen. Tipp: Konstruiere ein Steigungsdreieck so, dass mit Hilfe der bekannten Punkte die Steigung berechnet(!) werden kann.

Solution

Linie ff: Nimm den Punkt auf der linken Seite als Ausgangspunkt, A(1.27∣0.65)A(1.27\vert 0.65), und bewege dich nach rechts, bis der andere Punkt, B(1.87∣1.81)B(1.87\vert 1.81), genau über dir liegt. Konstruiert man auf diese Weise das Steigungsdreieck (siehe Abbildung unten), so ergibt sich

Δx=Bx−Ax=1,87−1,27=0.60\Delta x = B_x-A_x = 1,87-1,27 = 0.60

und

Δy=By−Ay=1,81−0,65=1.16\Delta y = B_y-A_y = 1,81-0,65 = 1.16

Die Steigung ist also

a=ΔyΔx=1.160.60=1.93‾‾a=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{1.16}{0.60}=\underline{1.9\overline{3}}

Linie gg: Ähnlich. Wir beginnen wieder am linken Punkt, C(0.36∣0.12)C(0.36 \vert 0.12 ), und laufen nach rechts, bis zum Punkt D(1.8∣−1.15)D(1.8 \vert -1.15) genau unter dir liegt. Konstruiert man auf diese Weise das Steigungsdreieck (siehe Abbildung unten), so ergibt sich

Δx=Dx−Cx=1.8−0.36=1.44\Delta x = D_x-C_x = 1.8-0.36 = 1.44

und

Δy=Dy−Cy=−1.15−0.12=−1.27\Delta y = D_y-C_y = -1.15-0.12 = -1.27

Die Steigung ist also

a=ΔyΔx=−1.271.44=−0.882‾a=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{-1.27}{1.44}=\underline{-0.882}
Exercise 4

Eine Gerade ff hat die Steigung 1.6771.677.

  1. Eine weitere Gerade gg ist parallel zu ff. Bestimme die exakte Steigung.
  2. Eine weitere Gerade gg liegt orthogonal zu ff. Bestimme die exakte Steigung. Hinweise:

    • orthogonal bedeutet "senkrecht", also bilden die Geraden ff und gg im Schnittpunkt einen rechten Winkel.

    • Du kannst die Gerade ff um den Schnittpunkt drehen, um gg zu erhalten. Konstruiere nun ein Steigungsdreieck für ff, und drehe es dann ebenfalls ... Du erhältst ein Steigungsdreieck für gg mit vertauschten Seiten.

Solution

  1. Da ff und gg parallel sind, können wir ff, mit seinem Steigungsdreieck, einfach verschieben, um gg mit demselben Steigungsdreieck zu erhalten. Also haben ff und gg die gleiche Steigung a=1.677‾a=\underline{1.677}. Siehe Abbildung unten, links.

  2. Wie man aus der Abbildung (unten rechts) ersehen kann, ist das Steigungsdreieck von gg eine gedrehte Version des Steigungsdreiecks von ff, wobei der Drehwinkel 90∘90^\circ beträgt. Beachte, wie die Rolle von Δx\Delta x und Δy\Delta y beim gedrehten Dreieck vertauscht sind (und sich das Vorzeichen ändert).

    a=−11.677=−0.596‾a=\frac{-1}{1.677}=\underline{-0.596}
Exercise 5

Bestimme die Funktionsgleichung der unten stehenden Graphen mit Hilfe des Steigungsdreiecks und der Tatsache, dass bb der yy-Achsenabschnitt ist.

Solution

Gerade ff: Aus dem Steigungsdreieck folgt die Steigung a=−31=−3a=\frac{-3}{1}=-3. Wegen b=2b=2 gilt f(x)=−3x+2‾f(x)=\underline{-3x+2}.

Gerade gg: Aus dem Steigungsdreieck folgt die Steigung a=14a=\frac{1}{4}. Wegen b=−1b=-1gilt g(x)=14x−1‾g(x)=\underline{\frac{1}{4}x-1}.

Gerade hh: Aus dem Steigungsdreieck folgt die Steigung a=11=1a=\frac{1}{1}=1. Wegen b=0b=0 gilt h(x)=x‾h(x)=\underline{x}.