Lineare Funktionen und deren Graphen

Eine Funktion der Form

\boxed{f(x)=a x+b}

nennt man eine lineare Funktion. Die Buchstaben $a$ und $b$ sind feste Zahlen und werden Koeffizienten genannt. Hier sind einige Beispiele

$f(x)=3x+1\quad$ ( $a=3, b=1$ )
$g(x)=-x+2\quad$ ( $a=-1, b=2$ )
$h(x)=-2x-\frac{1}{2}\quad$ ( $a=-2, b=-\frac{1}{2}$ )
$k(x)=-5\quad$ ( $a=0, b=-5$ )
$l(x)=0.57x\quad$ ( $a=0.57, b=0$ )
$u(x)=x\quad$ ( $a=1, b=0$ )
$v(x)=\frac{2}{3}x+0.001\quad$ ( $a=\frac{2}{3}, b=0.001$ )

Lineare Funktionen sind recht einfach. Der Input $x$ wird mit der Zahl $a$ multipliziert, und dann wird die Zahl $b$ dazu addiert. Wenn der Input quadriert wird, oder die Wurzel des Inputs gezogen wird, so ist die Funktion nicht linear. Beispiele von nicht-linearen Funktionen sind:

$f(x)=2x^2+1$
$g(x)=2\sqrt{x}-3$
$k(x)=\frac{2}{x}+5$

Lässt sich eine Funktion $f$ so vereinfachen, dass eine lineare Funktion resultiert, so nennen wir diese Funktion ebenfalls linear. Zum Beispiel:

$f(x)=\frac{2x^2}{4x}=\frac{1}{2}x$ also lineare Funktion
$g(x)=2x^2 \cdot 4 x^{-1}+10.5 = 8x+10.5$ also lineare Funktion
$k(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$ denn mit der dritten binomischen Formel haben wir $x^2-4=(x-2)(x+2)$ , also lineare Funktion

Das Auffinden der Nullstellen, $y$ -Achsenabschnitte und Schnittpunkte linearer Funktionen ist rechnerisch sehr einfach. Siehe dazu auch die unten stehende Aufgabe.

Exercise 1

Gegeben sind die linearen Funktionen $f(x)=2x+1$ und $g(x)=6x-4$ . Bestimme die Nullstellen von $f$ , sowie den $y$ -Achsenabschnitt. Bestimme auch den Schnittpunkt zwischen den Graphen von $f$ und $g$ .

Solution

$y$ -Achsenabschnitt: $y=f(0)=2\cdot 0+1=\underline{1}$ Nullstellen: Find $x$ with

\begin{array}{lll} f(x) &=& 0\\ 2x+1 &=& 0\\ 2x &=& -1\\ x &=& \underline{-\frac{1}{2}} \end{array}

Schnittpunkte: Find $x$ with

\begin{array}{lll} f(x) &=& g(x)\\ 2x+1 &=& 6x-4\\ 5 &=& 4x\\ x &=& 1.25 \end{array}

Um die $y$ -Koordinate zu finden, können wir $f$ oder $g$ benützen. Wir nehmen $f$ :

y=f(1.25)=2\cdot 1.25+1 = 3.5

Also, die Koordinaten des Schnittpunkts sind $\underline{P(1.25\vert 3.5)}$ .

Der Graph einer linearen Funktion ist eine gerade Linie

Es ist auch einfach, den Graphen einer linearen Funktion mit Hilfe der Wertetabelle zu finden. Er ist immer eine gerade Linie:

Exercise 2

Bestimmen Sie mithilfe einer Wertetabelle den Graphen der Funktionen $f(x)=2x+3$ und $g(x)=0.5x-1$ . Zeichnen Sie die Graphen in dasselbe Koordinatensystem ein.

Solution

\begin{array}{r|l} x & y=2x+3\\\hline -2 &-1\\ -1 & 1\\ 0 & 3\\ 1 & 5\\ \end{array}

\begin{array}{r|l} x & y=0.5x-1\\\hline -2 &-2\\ -1 & -1.5\\ 0 & -1\\ 1 & -0.5\\ 2 & 0\\ 3 & 0.5\\ \end{array}

In der Übung oben haben wir gesehen, dass der Graph eine Gerade ist. Dies ist für linearen Funktionen immer der Fall:

Theorem 1

Der Graph einer lineare Funktion ist eine Gerade.

Es ist klar, dass sich der Graph der linearen Funktion $f$ in Abhängigkeit von den Werten der Koeffizienten $a$ und $b$ verändert. Aber wie genau? Wir werden das im nächsten Kapitel untersuchen.