Grundbegriffe

Motivation

In unserer Umwelt werden viele Grössen durch Angabe einer reellen Zahl und einer bestimmten Masseinheit beschrieben, z.B. $\qty{10}{s}$ , $\qty{4.5}{m^3}$ , $\qty{-5}{^\circ}$ , $\qty{100}{g}$ . Diese Grössen lassen sich jeweils auf einer Skala (von scalae, lat., Leiter), also durch Punkte auf einer Zahlengeraden, darstellen und heissen deshalb skalare Grössen.

Die Geschwindigkeit hingegen ist ein Beispiel für eine Grösse, zu deren vollständiger Festlegung ausser einer Zahl noch die Angabe einer Richtung nötig ist. Auch eine Kraft wird erst durch Angabe von Betrag, Richtung und Angriffspunkt vollständig beschrieben. Derartige Grössen, also Grössen, die durch Festlegung eines Betrags und einer Richtung vollständig bestimmt sind, werden vektorielle Grössen genannt und durch Pfeile (gerichtete Strecken) dargestellt.

Definition 1: Vektor

Unter einem Vektor versteht man eine Schar aus sämtlichen untereinander parallelen, gleichgerichteten und gleichlangen Strecken. (Begriff Vektor kommentiert)

Damit ist ein Vektor eine unendliche Menge von gerichteten Strecken: Von jedem Punkt der Ebene bzw. des Raumes geht genau eine solche Strecke aus, wobei alle diese Strecken untereinander parallel und gleichgerichtet sind und die gleiche Länge haben.

In Abbildungen wird ein Vektor als eine Strecke mit Pfeilspitze gezeichnet, d.h. man zeichnet nicht die ganze Schar von gerichteten Strecken, die den Vektor darstellen, sondern nur eine dieser Strecken, einen sogenannten Repräsentanten.

Context

Eine ähnliche Situation liegt bei den Zahlen vor: Wir vergleichen die Brüche

\frac{1}{4}, \frac{2}{8}, \frac{-3}{-12}, \frac{90}{360}, \dots

die durch Kürzen und Erweitern ineinander übergeführt werden können. Sie sind alle dem gleichen Punkt auf der Zahlengeraden zugeordnet. Jeder derartige Bruch kann als Repräsentant zur Angabe der rationalen Zahl $0.25$ herangezogen werden.

Die Vektoren werden mit $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ , $\dots$ oder mit $\vec{AB}$ , $\vec{PQ}$ , $\dots$ , wobei der erste Buchstabe den Anfangspunkt, der zweite den Endpunkt angibt, bezeichnet. Der darüber gesetzte Pfeil deutet an, dass es sich um einen Vektor und nicht etwa um einen Skalar handelt.

Note 1: Länge und Richtung

Die Länge oder der Betrag eines Vektors wird in der Form $|\vec{v}|$ oder auch kurz $v$ bzw. $|\vec{PQ}|$ geschrieben; für die Richtung verwendet man kein besonderes Zeichen. Wir geben zum Beispiel in der Ebene die Richtung als Winkel zwischen dem Vektor und der positiven $x$ -Achse an.

Exercise 1

Bestimme Länge und Richtung von $\vec{v}$ aus der obigen Abbildung.

Solution

Die Länge ist nach Pythagoras $\sqrt{4^2+2^2} = \sqrt{20}=2\sqrt{5} \approx 4.5$ . Für den Winkel berechnen wir $\tan(\varphi) = \frac{2}{4}$ und erhalten $\varphi = \arctan(\frac{1}{2}) \approx 27^\circ$ .

Entscheidend für die Einführung von Vektoren ist die Tatsache, dass man für sie Rechengesetze angeben und infolgedessen mit ihnen, ähnlich wie in der Arithmetik mit Zahlen oder in der Algebra mit Buchstaben, rechnen kann.

Definition 2

Um die algebraische Struktur zu vervollständigen, auf der die einzuführenden Rechengesetze gelten, werden Strecken der Länge Null zugelassen. Obwohl für solche Strecken keine Richtung definiert ist, ist es zweckmässig, diese als Nullvektor $\vec{0}$ zu bezeichnen. Der Nullvektor hat den Betrag $0$ und keine Richtung.

Insight

Ein Vektor kann geometrisch als Translation aufgefasst werden, die den Anfangspunkt in den Endpunkt abbildet.

Heute gilt die Vektorrechnung in der Mathematik und ihren Anwendungen in den Naturwissenschaften als ein unentbehrliches Hilfsmittel. Als herausragendes Beispiel seien hier nur die vier Maxwell'schen Gleichungen erwähnt, die für die Elektrodynamik ein ähnliches Axiomensystem wie die Newton'schen Grundgleichungen für die Mechanik bilden (James Clerk Maxwell, 1831–1879).

\begin{align*} \nabla\cdot\vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \qquad\text{(Ladung ist Quelle des elektrischen Feldes)}\\ \nabla\cdot\vec{B} &= 0 \qquad\text{(Es gibt keine magnetischen Monopole)}\\ \nabla\times\vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \qquad\text{(Änderung mag. Feld führt zu el. Wirbelfeld)}\\ \nabla\times\vec{B} &= \mu_0\vec{j}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \qquad\text{(el. Strom führt zu mag. Wirbelfeld)} \end{align*}

Wer sich bereits etwas mit Vektoren auskennt, für den ist hier der Link zum Video Vektoren in 10 Minuten notiert.

Exercise 2

Berechne die Beträge und die Richtungen (Winkel $\varphi$ zwischen Pfeil und $x$ -Achse) der eingezeichneten Vektoren.

Solution

a) Länge $\sqrt{8.5^2+2^2}\approx8.7$ , der Winkel ist $\varphi=\arctan(\frac{2}{8.5})\approx13^\circ$

b) Länge $2$ und Winkel $0^\circ$

c) $u=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ und Winkel $\varphi=\arctan(\frac{1}{3})+180^\circ$

d) $v=\sqrt{2^2+5^2}$ und $\varphi=\arctan(\frac{5}{2})$