Operationen auf Vektoren

Wir wollen uns zuerst mit der geometrischen Interpretation der Grundoperationen auseinandersetzen. Die algebraische Umsetzung ist dann einfach durch Angabe von Definitionen zu erledigen, die die Geometrie repräsentieren.

Definition 1: Gegenvektor

Der Vektor, der zwar den gleichen Betrag, aber die entgegengesetzte Richtung wie v⃗\vec{v} hat, wird mit −v⃗-\vec{v} bezeichnet und heisst Gegenvektor von v⃗\vec{v}.

Analog definiert man die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.

Definition 2: S-Multiplikation

Für t∈Rt\in\mathbb{R} ist t⋅a⃗t\cdot\vec{a} ein Vektor mit dem ∣t∣|t|-fachen Betrag von a⃗\vec{a}:

∣ta⃗∣=∣t∣a⃗.|t\vec{a}| = |t|\vec{a}.

Diese Operation nennt man kurz S-Multiplikation.

  • Falls t>0t>0 ist, hat ta⃗t\vec{a} dieselbe Richtung wie a⃗\vec{a},
  • Falls t<0t<0 ist, hat ta⃗t\vec{a} die entgegengesetzte Richtung von a⃗\vec{a},
  • Falls t=0t=0 ist, ist ta⃗t\vec{a} der Nullvektor.

Umgekehrt gilt

Note 1

Sind zwei Vektoren v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} zu ein und derselben Geraden parallel, so ist w⃗\vec{w} ein Vielfaches von v⃗\vec{v}, d.h.

w⃗=tv⃗\vec{w} = t\vec{v}
Definition 3: kollinear

Zwei Vektoren v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w}, für die $$ \vec{w}=t\vec{v}

Definition 4: Einheitsvektor

Ein Vektor mit Betrag 11 heisst Einheitsvektor.

Insbesondere bezeichnen wir die Einheitsvektoren in xx- bzw. yy-Richtung mit e⃗x\vec{e}_x bzw. e⃗y\vec{e}_y.

Addition und Subtraktion

Man legt fest

Definition 5: Vektorsumme

Die Summe v⃗+w⃗\vec{v}+\vec{w} zweier Vektoren v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} ist der Vektor u⃗\vec{u}, den man durch Aneinandersetzen von v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} erhält. (Vektorsummen kommentiert)

Der Summenvektor u⃗=v⃗+w⃗\vec{u} = \vec{v}+\vec{w} hat seinen Anfangspunkt im Anfangspunkt des ersten Summanden und seinen Endpunkt im Endpunkt des zweiten Summanden:

AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB}+\vec{BC} = \vec{AC}
Note 2

u⃗=v⃗+w⃗\vec{u} = \vec{v}+\vec{w} entspricht der Diagonalen des von v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} aufgespannten Parallelogramms.

Definition 6: Subtraktion

Die Subtraktion wird auf die Addition zurückgeführt:

u⃗=v⃗−w⃗=v⃗+(−w⃗)\vec{u} = \vec{v}-\vec{w} = \vec{v}+(-\vec{w})

Man subtrahiert den Vektor w⃗\vec{w} vom Vektor v⃗\vec{v}, indem man zu v⃗\vec{v} den Gegenvektor von w⃗\vec{w} addiert. Aus u⃗=v⃗−w⃗\vec{u} = \vec{v}-\vec{w} ergibt sich sofort u⃗+w⃗=v⃗\vec{u}+\vec{w} = \vec{v}. Um die Differenz v⃗−w⃗\vec{v}-\vec{w} zu erhalten, genügt es, die Vektoren v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} an einem Punkt PP anzutragen und den Vektor aufzusuchen, der vom Endpunkt des Vektors w⃗\vec{w} zum Endpunkt des Vektors v⃗\vec{v} reicht.

Note 3

Mit dieser Definition erzielt man auch eine Übereinstimmung mit dem in der Physik experimentell nachgewiesenen "Kräfteparallelogramm". Wenn an einem Körper die Kräfte F⃗1\vec{F}_1 und F⃗2\vec{F}_2 am gleichen Punkt angreifen, dann können sie durch die resultierende Kraft F⃗R\vec{F}_R ersetzt werden, welche die vektorielle Summe der angreifenden Kräfte ist:

F⃗R=F⃗1+F⃗2\vec{F}_R = \vec{F}_1 + \vec{F}_2
Exercise 1: Addiere!

Gegeben seien die Vektoren u⃗,v⃗\vec{u},\vec{v} und w⃗\vec{w}.

\begin{center} \includegraphics{tikz_9.png} \end{center} Skizziere:

a) r⃗=u⃗−v⃗\vec{r}=\vec{u}-\vec{v}

b) a⃗=u⃗−2v⃗+0.5w⃗\vec{a}=\vec{u}-2\vec{v}+0.5\vec{w}

Solution

\includegraphics{tikz_10.png} \includegraphics{tikz_11.png}

Exercise 2: Schwimmer

Ein Schwimmer (vs=1.5 m/sv_s = 1.5\,\mathrm{m/s}) will einen 20 m20\,\mathrm{m} breiten Fluss (vF=1.2 m/sv_F = 1.2\,\mathrm{m/s})

a) auf kürzestem Wege,

b) auf schnellstem Wege

überqueren. Berechne jeweils die Dauer und zusätzlich den Vorhaltewinkel und die Abdrift.

Solution

a) Wir wollen rechtwinklig zum Ufer schwimmen. Also müssen wir etwas vorhalten, so dass das Dreieck v⃗S\vec{v}_S, v⃗F\vec{v}_F und v⃗R\vec{v}_R, der resultierende Vektor rechwinklig ist. Also gilt

vR=vS2−vF2=0.9v_R = \sqrt{v_S^2-v_F^2} = 0.9

und damit hat man für 2020 Meter etwas mehr als 2222 Sekunden. Der Vorhaltewinkel beträgt arcsin⁡(vFvS)≈53∘\arcsin(\frac{v_F}{v_S}) \approx 53^\circ.

(Lösung Schwimmer kommentiert)

Exercise 3: Mittellinie

Zeige, dass die Mittellinie eines Dreiecks halb so lang wie die Grundlinie und parallel zu dieser ist.

Solution

Der Skizze nach ist

MbMa⃗=0.5AC⃗+0.5CB⃗=0.5(AC⃗+CB⃗)=0.5AB⃗\vec{M_bM_a}=0.5\vec{AC}+0.5\vec{CB}=0.5(\vec{AC}+\vec{CB})=0.5\vec{AB}

Also ist die Mittellinie halb so lang wie die Grundlinie und parallel dazu.

Exercise 4: Diagonale im Parallelogramm

Halbieren sich in einem Viereck die Diagonalen, so ist es ein Parallelogramm?!

Und, hat man ein Parallelogramm, so halbieren sich die Diagonalen.

Solution

Es muss AD⃗=λAC⃗+μBD⃗=\vec{AD} = \lambda\vec{AC}+\mu\vec{BD} = und somit auch BC⃗=(1−μ)BD⃗+(1−λ)BC⃗=\vec{BC} = (1-\mu)\vec{BD}+(1-\lambda)\vec{BC} =. Wegen AD⃗=BC⃗\vec{AD} = \vec{BC} folgt

λAC⃗+μBD⃗=(1−μ)BD⃗+(1−λ)AC⃗\lambda\vec{AC}+\mu\vec{BD} = (1-\mu)\vec{BD}+(1-\lambda)\vec{AC}

und daraus, da AC⃗∦BD⃗\vec{AC}\not\parallel\vec{BD}, die Gleichungen 1−λ=λ1-\lambda = \lambda und 1−μ=μ1-\mu = \mu. Das heisst λ=12=μ\lambda = \frac{1}{2} = \mu. Somit halbieren sich die Diagonalen.

Man sieht sofort, dass, falls sich die Diagonalen halbieren, das Viereck ein Parallelogramm ist. Man notiere dazu einfach zwei parallele Seiten und drücke sie über die halbierten Diagonalen aus. Also haben wir sogar Äquivalenz. (Diagonalen im Parallelogramm halbiert kommentiert)

Ein ausserordentlich nützlicher Satz lässt sich über nicht kollineare Vektoren formulieren:

Theorem 1

Sind v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} nicht kollinear und

λv⃗+μw⃗=0⃗,\lambda\vec{v}+\mu\vec{w} = \vec{0},

dann muss λ=0\lambda=0 \emph{und} μ=0\mu=0 sein.

Proof

Es seien v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} nicht kollinear abhängig und λv⃗+μw⃗=0⃗\lambda\vec{v}+\mu\vec{w} = \vec{0}. OEdA λ≠0\lambda \neq 0, dann gälte v⃗=−μλw⃗\vec{v} = -\frac{\mu}{\lambda}\vec{w}. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} nicht kollinear sind. Analog geht man für μ\mu vor.

Die lineare Unabhängigkeit zweier Vektoren v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} lässt sich geometrisch veranschaulichen, wenn man die Diagonale des von λv⃗\lambda\vec{v} und μw⃗\mu\vec{w} aufgespannten Parallelogramms betrachtet. Diese Diagonale entspricht nur dann dem Nullvektor, wenn λ=0\lambda=0 und zugleich μ=0\mu=0 wird.

Definition 7: linear unabhängig

Man nennt zwei nicht kollineare Vektoren linear unabhängig.

Vektoren im Koordinatensystem

Wir wollen in diesem Kapitel ein rechtwinkliges Koordinatensystem zugrunde legen.

Durch Parallelverschiebung kann man Repräsentanten von Vektoren so verschieben, dass ihre Anfangspunkte auf den Ursprung OO eines rechtwinkligen Koordinatensystems zu liegen kommen. Diese an den Ursprung gebundenen Repräsentanten nennt man Ortsvektoren.

Die zweidimensionalen Einheitsvektoren e⃗x\vec{e}_x und e⃗y\vec{e}_y in Richtung der xx-Achse bzw. yy-Achse werden Basisvektoren genannt. Sie erlauben es als Basis einen beliebigen Ortsvektor v⃗\vec{v} der xyxy-Ebene als Linearkombination der Basisvektoren zu schreiben.

Die Vektoren λe⃗x\lambda\vec{e}_x und μe⃗y\mu\vec{e}_y der Zerlegung von v⃗\vec{v} nennt man die vektoriellen Komponenten von v⃗\vec{v} bezüglich der Basis {e⃗x,e⃗y}\{\vec{e}_x,\vec{e}_y\}. Die Koeffizienten λ\lambda und μ\mu in der Zerlegung des Vektors

v⃗=λe⃗x+μe⃗y\vec{v} = \lambda\vec{e}_x+\mu\vec{e}_y

nennt man die skalaren Komponenten oder die \definition{Koordinaten} des Vektors v⃗\vec{v} bezüglich der Basis {e⃗x,e⃗y}\{\vec{e}_x,\vec{e}_y\}.

Note 4

Will man Punktkoordinaten und Vektorkoordinaten voneinander unterscheiden, so kann man Punktkoordinaten nebeneinander, zum Beispiel P(−3∣4)P(-3|4), und Vektorkoordinaten untereinander schreiben. Exemplarisch

v⃗=(37).\vec{v} = \begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}.

Wir identifizieren einen Punkt einfach mit dem entsprechenden Ortsvektor. Aus dem Kontext geht jeweils klar hervor, ob man mit Punkten oder Vektoren arbeitet.

Note 5

Statt v⃗=x⋅e⃗x+y⋅e⃗y\vec{v}= x\cdot\vec{e}_x+y\cdot\vec{e}_y schreiben wir kompakter:

(xy)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
Theorem 2

Für die Länge von v⃗=(x∣y)\vec{v}=(x|y) gilt

v=x2+y2.v=\sqrt{x^2+y^2}.
Proof

Der Satz folgt direkt aus dem Satz von Pythagoras und ∣e⃗x∣=1=∣e⃗y∣|\vec{e}_x| = 1 = |\vec{e}_y|.