Mengen

Note 1: Hinweise zum Skript

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Wir legen also mit Mengen los.

Exercise 1: Wichtige Menge

Notiere die Menge der natürlichen Zahlen.

Solution

$\N = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\}$

Historisches zur Mengenlehre

Die Mengenlehre kann als Fundament der gesamten modernen Mathematik aufgefasst werden. Ihre Begriffe und Sprachelemente sind heute für die Formulierung mathematischer Probleme unentbehrlich geworden. Die axiomatische Mengenlehre ist ein relativ neuer mathematischer Gegenstand. Die wichtigsten Grundbegriffe gehen auf den deutschen Mathematiker Georg Cantor (1845–1918) zurück. Seine erste mengentheoretische Arbeit erschien 1874. Nach einem Ausspruch von David Hilbert, einem bedeutenden deutschen Mathematiker (1862–1943), schuf Cantor mit seiner Mengenlehre ...

... einen der fruchtreichsten und kräftigsten Wissenszweige der Mathematik, ein Paradies, aus dem uns niemand soll vertreiben können.

Ein mathematisches Axiom ist eine Grundregel oder Annahme, von der man ausgeht, ohne sie zu beweisen. Wir verwenden Axiome als Startpunkt, um darauf aufbauend mathematische Sätze und Theorien zu entwickeln. Sehr "berühmte" Axiome stammen aus der euklidischen Geometrie:

Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade (erstes Axiom der euklidischen Geometrie).
Durch einen Punkt ausserhalb einer gegebenen Geraden lässt sich genau eine Gerade zeichnen, die parallel zur gegebenen Geraden ist (Parallelenaxiom).

Definition der Menge nach Cantor

Unsere Sprache enthält viele Ausdrücke zur Bezeichnung von Mengen. In der Mathematik wird die folgende Definition bevorzugt:

Definition 1: Menge

Unter einer Menge versteht man jede Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterscheidbaren Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.

Note 2

In der Mathematik wollen wir Begriffe möglichst unmissverständlich festlegen oder abgrenzen. Dies geschieht mit sogenannten Definitionen (de ~ ab, finis ~ Grenze).

Definition 2: Element

Die Objekte einer Menge nennt man Elemente der Menge.

Note 3

Es seien $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ Objekte. Diese lassen sich zu einer Menge $\mathbb{G}$ zusammenfassen. Elemente einer Menge werden in geschweifte Klammern gefasst. Man schreibt:

\mathbb{G} = \{a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\}

Example 1

Die Menge der Ziffern des Dezimalsystems:

\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}

Die Menge der ersten drei Buchstaben des griechischen Alphabets:

\{\alpha, \beta, \gamma\}

Die Menge der fünf traditionellen Sinne:

\mathbb{S} = \{\text{sehen}, \text{hören}, \text{riechen}, \text{schmecken}, \text{tasten}\}

Die Menge der natürlichen Zahlen:

\N := \{1, 2, 3, 4, \dots\}

Note 4

Es ist zu beachten, dass in einer Menge die Nennung der Elemente von der Reihenfolge unabhängig ist. Das heisst, $\{1, 2, 3\}$ ist dieselbe Menge wie $\{3, 1, 2\}$ .

Note 5

Wir verwenden zwei Möglichkeiten, eine Menge hinzuschreiben:

die aufzählende Form, z. B. $\{2, 4, 6, 8, 10, \dots\}$
die beschreibende Form, z. B. $\{x \in \N \mid x \text{ gerade}\}$

Note 6

Bei der beschreibenden Form liest sich der Trennstrich als "so dass". Also wird

\{x \in \N \mid x \text{ gerade}\}

gelesen als: "Die Menge aller $x$ in den natürlichen Zahlen, so dass $x$ gerade ist."

Note 7

Mengen bezeichnet man üblicherweise mit Blackboard-Grossbuchstaben, Elemente mit Kleinbuchstaben. Zur Veranschaulichung benutzt man meist sogenannte Venn-Diagramme. Das sieht im Falle von $\mathbb{A} = \{1, 2, 3\}$ etwa so aus:

Note 8

Es ist natürlich, die leere Menge zu definieren. Man schreibt auch

\{\,\} =: \emptyset

Note 9

Um auszudrücken, ob ein Element zu einer Menge $\mathbb{G}$ gehört oder nicht, benutzt man die Symbole

\in \quad \text{(sprich "ist Element von" oder kurz "in")}

bzw.

\notin \quad \text{(sprich "ist nicht Element von" oder kurz "nicht in")}

Exercise 2: Menge oder nicht Menge?

Entscheide, ob es sich um eine Menge im mathematischen Sinn handelt. Begründe deine Antwort.

a) Alle Primzahlen kleiner als $20$ .

b) Alle reichen Leute in der Schweiz.

c) Die Patienten eines Spitals.

d) Alle Hasen, die Auto fahren können.

Solution

a) ✓, klar definiert $\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$

b) ❌, "reich" ist als Kriterium nicht stringent genug.

c) ✓, klar definierte Individuen; man kann entscheiden, ob ein Element dazu gehört oder nicht.

d) Darüber lässt sich streiten. Die Antwort lautet "Ja" aus folgendem Grund:

✓: Man könnte alle Hasen darauf testen, ob sie Auto fahren können. Vermutlich ist diese Menge dann leer.

Exercise 3: Explizite Form

Schreibe die folgenden Mengen explizit auf.

a) Die Menge der Primzahlen kleiner als $10$

b) Die Menge natürlicher Satelliten der Erde

c) Die Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen. Benutze die beschreibende und die aufzählende Form.

d) Die Menge aller natürlichen Dreierpotenzen kleiner als $1000$ .

Solution

a) $\{2, 3, 5, 7\}$

b) $\{\text{Mond}\}$

c) $\{1, 3, 5, 7, \dots\}$ oder $\{x \in \N \mid x \text{ ungerade}\}$

d) $\{3, 9, 27, 81, 243, 729\}$

Exercise 4: Beschreibende Form

Gib für folgende Mengen eine Beschreibung in Worten an und füge jeweils ein weiteres Element hinzu:

a) $\{\texttt{a, e, i, o,}\quad\}$

b) $\{1972, 1976, 1980, \quad\}$

c) $\{2, 4, 8, 16, 32, \quad\}$

Solution

a) Menge der Vokale, $\texttt{u}$ .

b) Menge an Jahreszahlen, an denen Olympische Sommerspiele stattfanden, $1984$ .

c) Menge der Zweierpotenzen mit natürlichen Exponenten, $64$ .

Exercise 5: Geschweifte Klammern

Schreibe als Menge:

a) die Buchstaben im Wort Mississippi

b) Grossbuchstaben mit einem Symmetriezentrum

Solution

a) $\{\texttt{M, i, s, p}\}$

b) $\{\texttt{H, I, N, O, S, X, Z}\}$

Exercise 6: Element oder nicht Element?

Es sei $\mathbb{A}$ die Menge der Konsonanten, $\mathbb{B}$ die Menge der Vielfachen von $5$ und

\mathbb{C} = \{x \in \N \mid (x - 5)(x + 3)(x - 2) = 0\}

Setze das richtige Zeichen ( $\in$ oder $\notin$ ) ein.

a) $d \quad \mathbb{A}$

b) $5 \quad \mathbb{C}$

c) $99 \quad \mathbb{B}$

d) $-3 \quad \mathbb{C}$

Solution

a) $d \in \mathbb{A}$

b) $5 \in \mathbb{C}$ , da $(5 - 5)(5 + 3)(5 - 2) = 0 \cdot 8 \cdot 3 = 0$

c) $99 \notin \mathbb{B}$

d) $-3 \notin \mathbb{C}$ , da $-3 \notin \N$

Kardinalität einer Menge

Im täglichen Leben verwendet man die natürlichen Zahlen vor allem:

zum Nummerieren oder Ordnen von Gegenständen; die natürlichen Zahlen dienen als Ordinalzahlen.
als Anzahlen zur grössenmässigen Beschreibung von Mengen; als Kardinalzahlen.

Definition 3: Kardinalität

Die Anzahl der Elemente einer Menge $\mathbb{G}$ heisst Kardinalität oder Mächtigkeit von $\mathbb{G}$ . Man schreibt $\text{card}(\mathbb{G})$ oder kurz $|\mathbb{G}|$ .

Example 2

Für $\mathbb{G} = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ ist $\text{card}(\mathbb{G}) = 5$ . Für die leere Menge gilt $\text{card}(\emptyset) = 0$ .

Exercise 7: Anzahl Elemente

Bestimme die Kardinalität folgender Mengen:

a) $\{1, 2, 3\}$

b) $\{-1\}$

c) $\{1, a\}$

d) $\emptyset$

e) $\{\{\}\}$

f) $\N$

Solution

a) $\text{card}(\{1, 2, 3\}) = 3$

b) $\text{card}(\{-1\}) = 1$

c) $\text{card}(\{1, a\}) = 2$

d) $|\emptyset| = 0$

e) $|\{\{\}\}| = 1$

f) $|\N| = \infty$