Teilmengen und Operationen

Definition 1: Teilmenge

Ist jedes Element einer Menge $\mathbb{A}$ auch in einer Menge $\mathbb{B}$ enthalten, so ist $\mathbb{A}$ eine Teilmenge von $\mathbb{B}$ .
Wir schreiben

\mathbb{A}\subset\mathbb{B}

oder seltener $\mathbb{A}\subseteq\mathbb{B}$ .

Example 1

\{1,2,3\}\subset\mathbb{N}

oder

\{a,b,c\}\subset\{a,b,c,\dots,x,y,z\}

Ferner ist $73\subset\mathbb{N}$ falsch, da $73$ keine Menge ist. Hingegen sind $73\in\mathbb{N}$ und $\{73\}\subset\mathbb{N}$ richtige Aussagen.

Theorem 1: Leere Menge

Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.

Proof

BWoC (Beweis durch Widerspruch). Gegenannahme: Die leere Menge sei nicht Teilmenge jeder Menge.

Wäre die leere Menge nicht Teilmenge jeder Menge, dann gäbe es mindestens eine Menge $\mathbb{M}$ , welche die leere Menge nicht enthalten würde, $\emptyset\not\subset\mathbb{M}$ . Dann müsste es aber nach Definition der Teilmenge ein Element $x\in\emptyset$ geben, das nicht zu $\mathbb{M}$ gehört ( $x\notin\mathbb{M}$ ). Widerspruch, denn damit wäre die leere Menge ja nicht leer, weil sie dieses $x$ enthalten müsste. Das heisst, unsere Gegenannahme ist falsch. Es gilt also das Gegenteil der Gegenannahme: Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.

(Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge kommentiert)

Note 1

Der Begriff „Satz“ kommt vom lateinischen propositio ~ „Vorschlag, Aussage“. In der Mathematik ist ein „Satz“ eine Aussage, die bewiesen wurde und damit für alle Zeiten gilt. Wir brauchen oft das vom Griechischen eingedeutschte „Theorem“ ( $\theta\varepsilon\omega\rho\eta\mu\alpha$ ); wörtlich: „etwas, das man betrachtet“ oder „Gegenstand des Nachdenkens“.

Note 2

Haben zwei Mengen $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ die gleichen Elemente, so schreibt man $\mathbb{A}=\mathbb{B}$ .

Exercise 1: Richtig oder falsch?

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

a) $0\notin\emptyset$

b) $0\subset\{0,1,2\}$

c) $\emptyset\in\{1,2,3\}$

d) $\emptyset\subset\{0\}$

e) $\emptyset=\{x\mid x\neq x\}$

f) $\{1,2\}\not\subset\{2,1\}$

g) $\emptyset\in\{0\}$

h) $\{a\}\in\{a,\{a\}\}$

i) $\emptyset\subset\{\emptyset,\{a\}\}$

j) $\emptyset\in\{\emptyset,\{a\}\}$

Solution

a) ✓

b) ❌, $0$ ist keine Menge.

c) ❌, das Element $\emptyset$ kommt nicht vor.

d) ❌, $0$ ist keine Menge.

e) ✓

f) ❌, $\{1,2\}=\{2,1\}$

g) ❌, das Element $\emptyset$ kommt nicht vor.

h) ✓

i) ✓

j) ✓

Definition 2: Potenzmenge

Die Menge aller Teilmengen einer Menge $\mathbb{A}$ ,

\mathcal{P}(\mathbb{A}) := \{\mathbb{B}\mid \mathbb{B}\subset\mathbb{A}\},

heisst Potenzmenge von $\mathbb{A}$ .

Example 2

Die Potenzmenge von $\mathbb{A}=\{1,2\}$ ist

\mathcal{P}(\mathbb{A})=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}\}

Exercise 2: Potenzmenge notieren

Bestimme die Potenzmenge $\mathcal{P}(\mathbb{A})$ von

\mathbb{A}=\{a,b,c\}

Solution

$\mathcal{P}(\mathbb{A})=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\mathbb{A}\}$

Exercise 3: 🧩

Wie viele Elemente hat die Potenzmenge einer Menge $\mathbb{A}$ mit $\text{card}(\mathbb{A})=n$ ?

Solution

Sei $K$ die Anzahl der Elemente der Potenzmenge. Wir kennen die ersten paar Zuordnungen $(n|K)$ :

(0|1),(1|2),(2|4),(3|8)

Wir schliessen daraus, dass die Potenzmenge $2^n$ Elemente hat. Denn fügt man zur Menge $\mathbb{A}$ ein weiteres Element hinzu, so nimmt die Anzahl möglicher Mengenkombinationen um den Faktor $2$ zu, da jede bereits vorhandene Menge in der Potenzmenge von $\mathbb{A}$ zusätzlich mit dem neuen Element kombiniert werden kann. Wir haben also $K=2^n$ Elemente in der Potenzmenge für eine Menge mit $n$ Elementen.

Definition 3: Schnitt

Die Durchschnittsmenge oder kurz der Schnitt zweier Mengen $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ besteht aus sämtlichen Elementen, die sowohl zu $\mathbb{A}$ als auch zu $\mathbb{B}$ gehören. In mathematischer Schreibweise:

\mathbb{A}\cap\mathbb{B} := \{x\mid x\in\mathbb{A}\text{ und }x\in\mathbb{B}\}

Example 3

Ist $\mathbb{A}=\{1,2\}$ und $\mathbb{B}=\{2,3\}$ , dann gilt

\mathbb{A}\cap\mathbb{B}=\{2\}

Definition 4: disjunkt

Zwei Mengen heissen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben, d. h.

\mathbb{A}\cap\mathbb{B}=\emptyset.

Definition 5: Vereinigungen

Die Vereinigung zweier Mengen $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ besteht aus sämtlichen Elementen, die zu $\mathbb{A}$ oder $\mathbb{B}$ gehören. Wir schreiben

\mathbb{A}\cup\mathbb{B} := \{x\mid x\in\mathbb{A}\text{ oder }x\in\mathbb{B}\}

Example 4

Für $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ wie im obigen Beispiel gilt

\mathbb{A}\cup\mathbb{B}=\{1,2,3\}

Definition 6: Differenz

Die Differenz von $\mathbb{A}$ mit $\mathbb{B}$ besteht aus sämtlichen Elementen, die zu $\mathbb{A}$ , aber nicht zu $\mathbb{B}$ gehören. Wir schreiben

\mathbb{A}\setminus\mathbb{B} := \{x\mid x\in\mathbb{A}\text{ und }x\notin\mathbb{B}\}

Example 5

Mit $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ wie oben gilt

\mathbb{A}\setminus\mathbb{B}=\{1\}

Definition 7: Komplement

Es sei $\mathbb{A}\subset\mathbb{G}$ . Das Komplement von $\mathbb{A}$ bezüglich der Grundmenge $\mathbb{G}$ besteht aus sämtlichen Elementen von $\mathbb{G}$ , die nicht zu $\mathbb{A}$ gehören. Wir schreiben

\overline{\mathbb{A}} := \{x\mid x\in\mathbb{G}\text{ und }x\notin\mathbb{A}\}

Example 6

Ist $\mathbb{G}=\{1,2,3\}$ und $\mathbb{A}$ wie oben, dann gilt

\overline{\mathbb{A}}=\{3\}

Exercise 4: Mengenoperationen

Es sei die Grundmenge

\mathbb{G}=\{1,2,3,4,\dots,19,20\}

sowie Teilmengen von $\mathbb{G}$

\begin{align*} \mathbb{A}&=\{x\in\mathbb{G}\mid x\text{ ist Viererzahl}\}\\ \mathbb{B}&=\{8,9,10,11,12,13\}\\ \mathbb{C}&=\{x\in\mathbb{G}\mid x\text{ ist ungerade}\} \end{align*}

Ermittle:

a) $\mathbb{A}\cap\mathbb{B}$

b) $\mathbb{A}\cap\mathbb{C}$

c) $\overline{\mathbb{C}\cup\mathbb{B}}$

d) $\overline{\mathbb{C}}\setminus\mathbb{A}$

e) $(\mathbb{A}\cup\mathbb{C})\cap\mathbb{B}$

f) $(\mathbb{B}\setminus\mathbb{C})\cup(\mathbb{A}\cap\mathbb{C})$

g) $\overline{\mathbb{B}}\cap(\mathbb{A}\cup\mathbb{C})$

Solution

a) $\mathbb{A}\cap\mathbb{B}=\{8,12\}$

b) $\mathbb{A}\cap\mathbb{C}=\emptyset$

c) $\overline{\mathbb{C}\cup\mathbb{B}}=\{2,4,6,14,16,18,20\}$ ,
$\phantom{c)\ }$ da $\mathbb{C}\cup\mathbb{B}=\{1,3,5,7,8,9,10,11,12,13,15,17,19\}$

d) $\overline{\mathbb{C}}\setminus\mathbb{A}=\{2,6,10,14,18\}$

e) $(\mathbb{A}\cup\mathbb{C})\cap\mathbb{B}=\{8,9,11,12,13\}$

f) $(\mathbb{B}\setminus\mathbb{C})\cup(\mathbb{A}\cap\mathbb{C})=\{8,10,12\}$

g) $\overline{\mathbb{B}}\cap(\mathbb{A}\cup\mathbb{C})=\{1,3,4,5,7,15,16,17,19,20\}$

Exercise 5: Physik oder Chemie?

Von $45$ Schülerinnen nehmen $26$ an einer Arbeitsgemeinschaft für Physik und $14$ an einer Arbeitsgemeinschaft für Chemie teil. Wie viele Schülerinnen nehmen mindestens an keiner der beiden Arbeitsgemeinschaften teil, wie viele höchstens?

Solution

Sollen möglichst viele Schülerinnen an keiner der beiden Arbeitsgemeinschaften teilnehmen, dann kommen alle $14$ der Chemie in den Schnitt mit der Physik. Dies ergibt dann $45-26=19$ Personen.

Für möglichst wenige Schülerinnen in Arbeitsgemeinschaften lassen wir den Schnitt von Chemie und Physik leer: $45-(26+14)=5$ .

Exercise 6: Klubmitglieder

Betrachte folgende Mengen: Grundmenge

\mathbb{G}=\{x\mid x\text{ ist Klubmitglied}\}

\begin{align*} \mathbb{A}&=\{x\in\mathbb{G}\mid x\text{ trägt eine Krawatte}\}\\ \mathbb{B}&=\{x\in\mathbb{G}\mid x\text{ hat seinen Arbeitsplatz in Basel}\}\\ \mathbb{C}&=\{x\in\mathbb{G}\mid x\text{ hat braune Augen}\}\\ \mathbb{D}&=\{x\in\mathbb{G}\mid x\text{ ist älter als 20 Jahre}\} \end{align*}

Übersetze die folgenden Sätze in die Mengensprache:

a) Es gibt keine Klubmitglieder mit braunen Augen, die älter als 20 Jahre sind.

b) Alle Klubmitglieder, die eine Krawatte tragen, arbeiten in Basel.

c) Alle Klubmitglieder mit braunen Augen sind älter als 20 Jahre.

d) Es gibt Klubmitglieder, die in Basel arbeiten oder eine Krawatte tragen.

e) Kein Klubmitglied mit braunen Augen trägt eine Krawatte.

f) Jedes Klubmitglied, das nicht älter als 20 ist, trägt keine Krawatte.

g) Es gibt mindestens ein Klubmitglied, das älter als 20 Jahre ist, in Basel arbeitet und keine Krawatte trägt.

Solution

a) $\mathbb{C}\cap\mathbb{D}=\emptyset$

b) $\mathbb{A}\subset\mathbb{B}$

c) $\mathbb{C}\subset\mathbb{D}$

d) $\mathbb{A}\cup\mathbb{B}\neq\emptyset$

e) $\mathbb{A}\cap\mathbb{C}=\emptyset$

f) $\overline{\mathbb{D}}\subset\overline{\mathbb{A}}$

g) $(\mathbb{D}\cap\mathbb{B}\cap\overline{\mathbb{A}})\neq\emptyset$

Teilmengen und Operationen

Teilmengen

Operationen

Durchschnittsmenge

Vereinigungsmenge

Differenzmenge

Komplementärmenge