Formalisierung des „Zufalls“

Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung – so wie wir sie heute verstehen – befasst sich mit der quantitativen Erfassung gewisser Aspekte zufälliger Ereignisse oder Beobachtungen. Was Zufall ist, wissen wir eigentlich nicht. Doch tritt dieses Phänomen in der Natur und in der sozialen Umwelt in Erscheinung. In unserer Welt hängen viele Dinge vom Zufall ab: Die Erbfaktoren bestimmen in der Vielfalt ihrer Kombinationen unseren Charakter und unser Aussehen, die Wahl des Ehepartners oder des Berufs wird oft durch eine zufällige Begegnung entschieden. Kleinigkeiten lösen Unfälle aus, die durch einen Zufall glimpflich oder tödlich verlaufen können, und eine plötzliche Eingebung hat schon manchem den grossen Gewinn im Lotto gebracht. Ursprünglich war das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten ein Hilfsmittel für Glücksspiele (Würfelspiele, Kartenspiele, Roulette, Lotto etc.), die ja zu allen Zeiten und in allen Kulturen beliebt waren – und es immer noch sind.

Das Würfelspiel war sogar schon in der Antike weit verbreitet. Als Würfel verwendete man Tierknochen, sogenannte Astragale (Sprungbeine von Schafen oder Ziegen).

Das nächste Bild zeigt eine antike Spielmarke mit den Inschriften Casus Sortis (lat. Wechselfälle des Glücks) und «Wer spielt, möge genügend einsetzen.» Ausserdem zeigt der Chip die vier Astragali des «Venuswurfs».

Der eigentliche Beginn der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung wird üblicherweise mit Pierre de Fermat (1601–1685) und Blaise Pascal (1623–1662) in Verbindung gebracht. Sie beschäftigten sich mit zwei jahrzehntelang ungelöst gebliebenen Problemen, die wir später in einer speziellen Aufgabe erörtern werden: das Würfelproblem und das Teilungsproblem. Eine lehrbuchartige Darstellung fand die Wahrscheinlichkeitsrechnung in dem 1713 erschienenen Buch De arte conjectandi (lat. Über die Kunst des Vermutens) des Schweizers Jakob Bernoulli (1655–1705).

In diesem Buch entwickelt Bernoulli zunächst die Kombinatorik und wendet diese dann auf Glücksspiele, aber auch auf wirtschaftliche Probleme an. Es enthält weiter das Gesetz der grossen Zahlen, mit dem eine Verbindung zur Statistik hergestellt werden kann. Einen gewissen Abschluss erreichte die Wahrscheinlichkeitsrechnung in dem 1812 erschienenen Werk Théorie analytique des probabilités von Pierre Simon de Laplace (1749–1827). Die Wahrscheinlichkeit wird dabei definiert als der Quotient aus der Anzahl der im Sinne der Fragestellung günstigen zur Anzahl der möglichen Ausgänge. An der Entwicklung der analytischen Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der mathematischen Statistik waren ausser Laplace unter anderen die folgenden Mathematiker beteiligt: Abraham de Moivre (1667–1754), Carl Friedrich Gauss (1777–1865), Siméon Denis Poisson (1781–1840).

Die weitere Herausbildung der Wahrscheinlichkeitsrechnung als mathematische Disziplin ist insbesondere das Verdienst der russischen Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschew (1821–1894), Andrei Markow (1856–1922)

und Andrei Kolmogorow (1903–1989). Ihnen verdankt die Wahrscheinlichkeitsrechnung die Präzisierung einer Reihe wesentlicher Begriffsbildungen, insbesondere die axiomatische Erklärung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs im Jahre 1933 durch Kolmogorow. Er verzichtete darauf zu sagen, wie man eine Wahrscheinlichkeit erhält; er legte bloss fest, wann eine reelle Zahl «Wahrscheinlichkeit» heissen darf und wie man mit diesen Zahlen dann rechnen kann.

Die modernen Naturwissenschaften sind ganz besonders auf Wahrscheinlichkeitsrechnungen angewiesen, zum Beispiel bei Problemen, die mit der Bewegung der Elementarteilchen zusammenhängen. Denn einzelne Teilchen bewegen sich in einer zufälligen Art, die nicht voraussehbar und nicht berechenbar ist. Moleküle treten aber praktisch immer in grossen Mengen auf; ihr kollektives Verhalten wird durch die Wahrscheinlichkeitsrechnung voraussehbar.

Mit den Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung gelang es, zahlreiche Erscheinungen in einer der Realität noch besser angepassten Form mathematisch zu beschreiben, die schon erhaltenen Resultate zu interpretieren und auch zu neuen Erkenntnissen zu gelangen. Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik – man nennt dies Stochastik – werden in Zukunft eine Schlüsselstellung einnehmen. Nur auf ihren Grundlagen können aufstrebende moderne, theoretisch anspruchsvolle und praktisch bedeutsame Theorien und Techniken verstanden werden. So wurden in den letzten Jahrzehnten mehrere Disziplinen entwickelt, die sich mit der Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung in verschiedenen Natur- und Gesellschaftswissenschaften, Medizin, Technik, Operations Research und Ökonomie befassen, z. B. Bedienungstheorie, Zuverlässigkeitstheorie, Entscheidungstheorie, Nutzentheorie, Optionstheorie, Spieltheorie, Informationstheorie, statistische Qualitätstheorie, Monte-Carlo-Simulation oder Evolutionstheorie. Mit den heutigen Computern wächst die Anwendung von auf der Wahrscheinlichkeitsrechnung beruhenden Verfahren ständig. Zu den neuesten Errungenschaften gehören die Large Language Models und Machine Learning.

Formalisierung

Zufallsversuche

Mit Zufallsgeräten führt man Zufallsversuche durch, indem man die verschiedenen Ausgänge oder Ergebnisse eines Zufallsexperiments beobachtet. Dabei versteht man unter einem Zufallsversuch einen – zumindest theoretisch – beliebig oft wiederholbaren Vorgang, dessen Ausgang sich nicht mit Sicherheit vorhersagen lässt.

• Zu Beginn eines Fussballspiels entscheidet eine Münze darüber, welche Mannschaft die Seitenwahl erhält.
• Beim Spiel Backgammon entscheiden zwei Würfel darüber, wie viele Felder die Spielfiguren vorrücken dürfen.
• Beim Einarmigen Banditen ist es nicht so offensichtlich, wie die einzelnen Walzen gesteuert werden. Man hat aber den Eindruck, dass sie zufällig über Gewinn und Verlust entscheiden.

Ereignisse

Wenn man beim Roulette auf «impair» setzt, ist man nicht so sehr daran interessiert, in welches Zahlenfach die Kugel fällt. Wichtig ist nur, ob das zufällige Ereignis eintritt, also die Kugel in eines der Fächer $1, 3, 5, \dots, 33, 35$ fällt. Diese Ereignisse bilden eine Teilmenge $A$ des Stichprobenraumes $\Omega = \{0, 1, 2, 3, \dots, 35, 36\}$.

Mengen eignen sich hervorragend zur Beschreibung von Zufallsversuchen. Die Ausdrücke der Mengensprechweise werden lediglich in entsprechende Ausdrücke übertragen.

Endet eine Durchführung des Zufallsversuchs mit dem Ausgang $\omega \in A$, so sagen wir: «Das Ereignis $A$ ist eingetreten.» Ist $\omega \notin A$, so sagen wir: «Das Ereignis $A$ ist nicht eingetreten» oder das Gegenereignis $\overline{A} = \Omega \setminus A$ ist eingetreten.

Da $\Omega$ alle möglichen Ereignisse enthält, tritt $\Omega$ bei jeder Durchführung des Versuchs ein. Wir bezeichnen $\Omega$ deshalb auch als das sichere Ereignis. Da die leere Menge kein Element enthält, kann dieses Ereignis bei keiner Durchführung des Versuchs eintreten. Wir bezeichnen $\emptyset$ deshalb auch als das unmögliche Ereignis. Der Vollständigkeit halber erwähnen wir noch: $\overline{\Omega} = \Omega \setminus \Omega = \emptyset$ und $\overline{\emptyset} = \Omega \setminus \emptyset = \Omega$. In Worten: Das Gegenereignis vom sicheren Ereignis ist das unmögliche Ereignis und umgekehrt.

Sind $A$ und $B$ zwei Ereignisse desselben Zufallsversuchs und endet die Durchführung des Zufallsversuchs mit dem Ausgang $\omega$, so sagen wir,

• falls $\omega \in A \cup B$: «Ereignis $A$ oder $B$ ist eingetreten»,
• falls $\omega \in A \cap B$: «Ereignis $A$ und $B$ ist eingetreten».

Zwei Ereignisse $A$ und $B$ heissen disjunkt, genau dann wenn sie nicht zugleich eintreten können, wenn also $A \cap B = \emptyset$ gilt.