Laplacesche Wahrscheinlichkeit

Das Gesetz der grossen Zahlen

Für zwei Verspätungen hatte ein Arrestant $200$ -mal einen Reissnagel zu werfen und zu notieren, ob er Stellung $0$ oder $1$ angenommen hat.

Sein Ergebnisprotokoll:

Würfe	2	5	10	20	30	40	60
$\text{Einsen}/\text{Würfe}$	0	0.6	0.4	0.7	0.6	0.63	0.67

Würfe	80	100	120	140	160	180	200
$\text{Einsen}/\text{Würfe}$	0.66	0.65	0.62	0.62	0.63	0.62	0.63

Exercise 1: Reissnagel-Plot

Stelle diese Daten graphisch dar.

Solution

Der Plot sieht vielleicht so aus:

Nach anfänglichen Schwankungen stabilisiert sich der Wert für die relative Häufigkeit der Ziffer $1$ – also die Anzahl Einsen dividiert durch die Anzahl Würfe – um den Wert $0.625$ herum. Es wird beobachtet, dass sich die Wahrscheinlichkeiten «einpendeln».

Aufgrund dieses Beispiels liegt es nahe, jedem Ausgang $\omega$ eines Zufallsversuchs eine Wahrscheinlichkeit $P(\omega)$ zuzuordnen. Diese Wahrscheinlichkeit steht für den festen Wert, auf den sich die relative Häufigkeit des betreffenden Ausgangs einpendelt, wenn der Versuch öfter wiederholt wird. Beim Reissnagel wurden diese Werte $P(1) \approx 0.625$ und $P(0) \approx 0.375$ empirisch durch Experimente ermittelt. Bei anderen Zufallsgeräten kann die Wahrscheinlichkeit oft aufgrund ihrer Symmetrie oder Geometrie angegeben werden.

Note 1

Die Bezeichnung $P$ lehnt sich an das englische Wort Probability an.

Die relative Häufigkeit ist eine experimentelle Messung der mathematischen Wahrscheinlichkeit. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff ist dadurch als statistischer Begriff charakterisiert. Die Wahrscheinlichkeit, auf dem Mars lebendige Wesen anzutreffen, oder die Wahrscheinlichkeit, dass Cäsar in Grossbritannien war, entsprechen nicht unserem Wahrscheinlichkeitsbegriff, da er bei diesen Beispielen im qualitativen Sinn verwendet wird. Verlangt wird jedoch ein quantitativer Wahrscheinlichkeitsbegriff. Es kann nicht, wie es sonst in der Mathematik üblich ist, durch Rückführung auf andere Begriffe streng definiert werden, was unter der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu verstehen ist. Denn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist eine auf Erfahrungen beruhende Annahme. Deshalb ist es ohne zusätzliche Annahmen nicht möglich, den Zahlenwert für eine Wahrscheinlichkeit exakt zu ermitteln.

Laplacesche Definition einer Wahrscheinlichkeit

Nachdem jedem Ausgang $\omega$ eines Zufallsversuchs auf plausible Weise ein Wert als Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden konnte, definieren wir für ein Ereignis $A$ entsprechend die zugehörige Wahrscheinlichkeit $P(A)$ .

Definition 1: Laplacesche Wahrscheinlichkeit

$P(A)$ ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ausgänge in $A$ .

Note 2

Betrachtet man ein Ereignis, das nur ein Element enthält, so wird manchmal auch von einem Elementarereignis gesprochen.

Es ist eine gute Idee, sich an klassischen Beispielen zu orientieren.

Example 1

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine ungerade Zahl zu werfen? Ereignis $A = \{\omega \mid \omega \text{ ist ungerade}\} = \{1, 3, 5\}$ , also $P(A) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ .
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Jasskartenspiel einen Buben zu ziehen? $P(A) = \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ .

Note 3

Für die Sonderfälle des sicheren und des unmöglichen Ereignisses gilt:

P(\Omega) = 1 \quad \text{und} \quad P(\emptyset) = 0

Exercise 2: Münze werfen

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Wurf

a) mit einer Münze: Kopf, Kopf oder Zahl, Kopf und Zahl zu werfen?

b) mit einem Würfel: eine $3$ , eine Quadratzahl zu würfeln?

Solution

a) Mit den intuitiv verständlichen Abkürzungen erhalten wir $P(K) = \frac{1}{2}$ , $P(K \cup Z) = 1$ und $P(K \cap Z) = 0$ .

b) $P(3) = \frac{1}{6}$ bzw. $P(\text{Quadratzahl}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

Exercise 3: Mehrlings-Faustregel

In England gab es im Zeitraum von 1938–1947 6'620'794 Einzel-, 81'133 Zwillings-, 667 Drillings- und 14 Vierlingsgeburten. Überprüfe die in der Gynäkologie übliche Regel:

Ist $p$ die ungefähre Wahrscheinlichkeit für eine Zwillingsgeburt, so ist $p^2$ die ungefähre Wahrscheinlichkeit für eine Drillingsgeburt und $p^3$ die ungefähre Wahrscheinlichkeit für eine Vierlingsgeburt.

Solution

Die aufgeführten Geburten addieren sich zu $m = 6'702'608$ . Also erhalten wir als Wahrscheinlichkeit für eine Zwillingsgeburt $p = \frac{81'133}{m} \approx 0.0121$ . Daraus folgt $p^2 \approx 0.000147$ sowie $p^3 \approx 0.00000177$ . Dies vergleichen wir mit $P(\text{Drilling}) = \frac{667}{m} \approx 0.0000995$ und $P(\text{Vierling}) = \frac{14}{m} \approx 0.0000021$ .