Quadratische Gleichungen

Exercise 1: Quadrat

Bestimme alle Lösungen der Gleichung x2=−1x^2=-1.

Solution∅\emptyset

Es gibt keine reelle Zahl, die quadriert negativ ist. Daher hat diese Gleichung keine Lösung.

Die reinquadratische Gleichung

Definition 1: Reinquadratische Gleichung

Eine reinquadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form

x2=cx^2=c

wobei c∈Rc\in\mathbb{R}.

Theorem 1

Die reinquadratische Gleichung hat für c<0c<0 keine Lösung, für c=0c=0 die Lösung x=0x=0 und für c>0c>0 sind die Lösungen

x1=cundx2=−c.x_1=\sqrt{c}\quad\text{und}\quad x_2=-\sqrt{c}.
Proof

Trivial, Einsetzübung.

Exercise 2: Reinquadratische Gleichungen

Löse die Gleichungen.

a) 3x2=273x^2=27

b) 2x2−7=02x^2-7=0

c) 12x2−8=0\tfrac{1}{2}x^2-8=0

d) 9x2=149x^2=\tfrac{1}{4}

Solution

a) 3x2=27  ⇒  x2=9  ⇒  x=±3.3x^2=27 \;\Rightarrow\; x^2=9 \;\Rightarrow\; x=\pm 3.

b) 2x2=7  ⇒  x2=72  ⇒  x=±72.2x^2=7 \;\Rightarrow\; x^2=\tfrac{7}{2} \;\Rightarrow\; x=\pm \sqrt{\tfrac{7}{2}}.

c) 12x2=8  ⇒  x2=16  ⇒  x=±4.\tfrac{1}{2}x^2=8 \;\Rightarrow\; x^2=16 \;\Rightarrow\; x=\pm 4.

d) 9x2=14  ⇒  x2=136  ⇒  x=±16.9x^2=\tfrac{1}{4} \;\Rightarrow\; x^2=\tfrac{1}{36} \;\Rightarrow\; x=\pm \tfrac{1}{6}.

Exercise 3: Reinquadratische Gleichung

Gib je ein Beispiel einer reinquadratischen Gleichung die keine Lösung bzw. zwei Lösungen hat.

Solution

x2=−1x^2=-1 hat keine und x2=1x^2=1 hat die Lösungen 11 und −1-1.

Die allgemeine quadratische Gleichung

Exercise 4: Störendes x

Löse die Gleichung

x2=5x−6x^2 = 5x - 6
Solution

Man kann nicht einfach auf beiden Seiten die Wurzel ziehen, da so nicht nach xx gelöst wird - die vorliegende Gleichung würde ich in Linearfaktoren zerlegen, um die Lösung abzulesen:

(x−2)(x−3)=0.(x-2)(x-3) = 0.

Also sind die Lösungen x1=2x_1=2 und x2=3x_2=3.

Definition 2: Quadratische Gleichung

Eine Gleichung heisst quadratisch, wenn sie sich in der Form

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

schreiben lässt, wobei a,b,c∈Ra,b,c\in\mathbb{R} und a≠0a\neq0 ist.

Theorem 2: Lösungsformel der quadratischen Gleichung

Die quadratische Gleichung ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 hat die Lösungen

x1,2=−b±b2−4ac2a.x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Die Anzahl der Lösungen hängt vom Term unter der Wurzel ab.

Proof

Benutze quadratische Ergänzung. Sei ax2+bx+x=0ax^2+bx+x=0 mit a,b,c∈Ra,b,c\in\mathbb{R} eine quadratische Gleichung, also zusätzlich a≠0a\neq0. Es ist

ax2+bx+x=0x2+bax+ca=0(x+b2a)2−b24a2+ca=0(x+b2a)2=b24a2−cax+b2a=±b24a2−cax=−b2a±b24a2−cax=−b2a±b24a2−4ac4a2x=−b2a±12ab2−4acx=−b±b2−4ac2a\begin{align*} ax^2+bx+x &= 0\tag{$\div a$}\\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} &= 0\tag{ergänzen}\\ (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a} &= 0\tag{$+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$}\\ (x+\frac{b}{2a})^2 &= \frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\tag{$\sqrt{\phantom{x}}$}\\ x+\frac{b}{2a} &= \pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}\tag{$-\frac{b}{2a}$}\\ x &= -\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}\tag{TU}\\ x &= -\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}}\tag{TU}\\ x &= -\frac{b}{2a}\pm\frac{1}{2a}\sqrt{b^2-4ac}\tag{TU}\\ x &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}
Definition 3: Diskriminante

Der Term unter der Wurzel, D=b2−4acD=b^2-4ac, heisst Diskriminante.

Theorem 3

Die quadratische Gleichung ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 hat

  • zwei Lösungen, falls b2−4ac>0b^2-4ac>0

  • eine Lösung, falls b2−4ac=0b^2-4ac=0

  • keine Lösung, falls b2−4ac<0b^2-4ac<0

Proof

Aus der Lösungsformel folgt unmittelbar die Behauptung.

Exercise 5: Koeffizienten ablesen

Bringe die Gleichung

7x2=−(33x−36)7x^2=-(33x-36)

in die Form ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, und bestimme die Koeffizienten aa, bb und cc.

Solution

Es folgt unmittelbar 7x2+33x−36=07x^2+33x-36=0 und offensichtlich ist a=7a=7, b=33b=33 und c=−36c=-36.

Exercise 6: Quadratische Gleichung lösen

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung

7x2+33x−36=07x^2+33x-36=0
Solution

x1,2=−33±332−4⋅7⋅(−33)2⋅7=−33±209714x_{1,2}=\frac{-33\pm\sqrt{33^2-4\cdot7\cdot(-33)}}{2\cdot7}=\frac{-33\pm\sqrt{2097}}{14}, x1≈0.9x_1\approx0.9 und x2≈−5.6x_2\approx-5.6

Note 1

Es ist oft von Vorteil, die Lösung ungerundet anzugeben.

Note 2

Eine gute Übung ist immer zur Kontrolle die Lösung in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen.

Exercise 7: Quadratische Gleichung lösen II

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung

x2−2x+1=0x^2-2x+1=0
Solution

Das ist der zweite Binom: (x−1)2=0⇔x=1(x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1.

Exercise 8: Quadratische Gleichung lösen III

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung

3x2−2x+1=03x^2-2x+1=0
Solution

x1,2=2±4−126x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4-12}}{6} hat keine Lösung, da die Diskriminante kleiner als 0 ist.

Exercise 9: Quadratische Gleichung lösen IV

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung

x2−2x−15=0x^2-2x-15=0
Solution

Kann man faktorisieren, (x−5)(x+3)=0(x-5)(x+3)=0, und daher die Lösungen direkt ablesen: x1=5x_1=5 und x2=−3x_2=-3.

Exercise 10: Quadratische Gleichung mit Parameter

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung

x2+2ex−3e2=0x^2+2ex-3e^2=0
Solution

Mit Faktorisieren oder x1,2=−2e±4e2+12e22=−2e±16e22=−2e±4e2x_{1,2}=\frac{-2e\pm\sqrt{4e^2+12e^2}}{2}=\frac{-2e\pm\sqrt{16e^2}}{2}=\frac{-2e\pm4e}{2}, also x1=ex_1=e und x2=−3ex_2=-3e

Exercise 11: Quadratische Gleichung mit Parameter II

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung

x2−4x+3+2a−a2=0x^2-4x+3+2a-a^2=0
Solution

x1,2=4±16+4a2−8a−122=4±4a2−8a+42=4±2a2−2a+12=4±2(a−1)22=4±2(a−1)2=2±(a−1)x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16+4a^2-8a-12}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{4a^2-8a+4}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{a^2-2a+1}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{(a-1)^2}}{2}=\frac{4\pm2(a-1)}{2}=2\pm(a-1) und endlich x1=1+ax_1=1+a bzw. x2=3−ax_2=3-a.

Der Satz von Viëta

Theorem 4: Satz von Viëta

Sind x1x_1 und x2x_2 Lösungen der Gleichung x2+px+q=0x^2+px+q=0, so gilt:

x1+x2=−pundx1⋅x2=qx_1+x_2=-p\quad\text{und}\quad x_1\cdot x_2=q
Proof

Fast trivial, rechne.

Theorem 5

Sind x1x_1 und x2x_2 die Lösungen der Gleichung x2+px+q=0x^2+px+q=0 so lässt sich diese stets in Linearfaktoren zerlegen:

(x−x1)(x−x2)=0(x-x_1)(x-x_2)=0
Proof

Die Gleichung (x−x1)(x−x2)=0(x-x_1)(x-x_2)=0 hat offensichtlich die Lösungen x1x_1 und x2x_2.

Note 3

Dieser Satz eignet sich zum Kreieren von quadratischen Gleichungen mit vorgegebener Lösung und zum Lösen von quadratischen Gleichungen mit ganzzahligen Lösungen.

Exercise 12: Quadratische Gleichung mit Viëta

Löse mit Zerlegung in Linearfaktoren:

a) x2−8x+15=0x^2-8x+15=0

b) x2+9x+18=0x^2+9x+18=0

c) 18x2−9x+1=018x^2-9x+1=0

d) x2−(a+b)x+ab=0x^2-(a+b)x+ab=0

Solution

a) Gesucht sind zwei Zahlen mit Summe 88 und Produkt 1515: 33 und 55.
x2−8x+15=(x−3)(x−5)x^2-8x+15=(x-3)(x-5)
⇒x1=3,  x2=5\Rightarrow x_1=3,\;x_2=5

b) Gesucht sind zwei Zahlen mit Summe −9-9 und Produkt 1818: −3-3 und −6-6.
x2+9x+18=(x+3)(x+6)x^2+9x+18=(x+3)(x+6)
⇒x1=−3,  x2=−6\Rightarrow x_1=-3,\;x_2=-6

c) Quadratische Gleichung: 18x2−9x+1=018x^2-9x+1=0.
Diskriminante: Δ=(−9)2−4⋅18⋅1=81−72=9\Delta=(-9)^2-4\cdot 18\cdot 1=81-72=9.
x=9±936=9±336x=\frac{9\pm\sqrt{9}}{36}=\frac{9\pm 3}{36}
⇒x1=1236=13,  x2=636=16\Rightarrow x_1=\tfrac{12}{36}=\tfrac{1}{3},\;x_2=\tfrac{6}{36}=\tfrac{1}{6}
Also
18x2−9x+1=18(x−13)(x−16)18x^2-9x+1=18(x-\tfrac{1}{3})(x-\tfrac{1}{6})

d) Allgemein nach Viëta: Summe der Nullstellen =a+b=a+b, Produkt =ab=ab.
Also sind die Nullstellen aa und bb.
x2−(a+b)x+ab=(x−a)(x−b)x^2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)

Exercise 13: Quadratische Gleichung kreieren

Gib eine quadratische Gleichung an, die folgende Lösung hat:

a) x1=2x_1=2 und x2=3x_2=3.

b) x1=12x_1=\frac{1}{2} und x2=−πx_2=-\pi.

Solution

a) (x−2)(x−3)=0(x-2)(x-3)=0

b) (x−12)(x+π)=0(x-\tfrac{1}{2})(x+\pi)=0