Ganzrationale Funktionen

In vorherigen Kapiteln haben wir die affinen und die quadratischen Funktionen behandelt. Wir fassen diese als Spezialfälle der ganzrationalen Funktionen $n$ -ten Grades (Polynomfunktionen) auf. Eine Funktion der Gestalt

f(x)=a_0x^n+ a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_{n-1}x + a_n

heisst ganzrational vom Grade $n$ , wenn $n$ eine natürliche Zahl und $a_0, a_1, a_2, \dots, a_n$ rationale Zahlen sowie $a_0\neq0$ sind. Für $n=1$ erhält man

f(x)=a_0x+a_1,

also eine affine Funktion, für $n=2$ ergibt sich

f(x)=a_0x^2+a_1x+a_2,

also eine quadratische Funktion.

Das Zeichnen eines sauberen Graphen einer ganzrationalen Funktion mit einem Grad grösser als 2 erfordert Methoden der Differentialrechnung. Wir beschränken uns hier deshalb auf ein Beispiel für $n=4$ und eine Wertetabelle.

Example 1

Wir betrachten

f(x)=3x^4-14x^3+54x-10

anhand einer Wertetabelle:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$449$	$42$	$-47$	$-10$	$33$	$34$	$17$

Exercise 1

Zeichne den Graphen der Funktion:

a) $f(x) = -x^3+x^2$

b) $f(x) = 8x^3-12x^2+2x+1$

Solution

Rechne einige Punkte aus, skizziere den Graphen und kontrolliere das Ergebnis mit Geogebra.

Exercise 2

Im Kapitel über trigonometrische Funktionen wird die Reihenentwicklung

\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots

vorgestellt.

a) Betrachte die Güte der Näherung, wenn $x$ zwischen $-90^\circ$ und $90^\circ$ gewählt wird. Berechne dazu beispielsweise $\sin(\frac{\pi}{3})$ bzw. die entsprechende Reihe bis zum dritten Summanden.

b) Betrachte graphisch die Güte der Näherung, indem du zum Graphen der Sinusfunktion sukzessive die Entwicklungen $x$ , $x-\frac{x^3}{3!}$ , $x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$ etc. skizzierst.

Solution

a) $\sin(\tfrac{\pi}{3}) \approx \tfrac{\pi}{3}-\frac{(\tfrac{\pi}{3})^3}{3!}+\frac{(\tfrac{\pi}{3})^5}{5!}\approx 0.866$

b) Benutze Geogebra.

Gebrochenrationale Funktionen

Definition 1: Gebrochenrationale Funktion

Eine Funktion der Gestalt

f(x)=\frac{Z(x)}{N(x)}

mit ganzrationalen Funktionen $Z(x)$ und $N(x)\neq0$ heisst gebrochenrational.

Auch hier beschränken wir uns vorerst auf einige einfache Beispiele. Wir betrachten die charakteristischen Werte für

f(x)=\frac{3x+2}{2x+4},\quad\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2\}:

$x$	$-10$	$-4$	$-3$	$-2.5$	$-2.3$
$f(x)$	$1.75$	$2.5$
$x$	$-2.1$	$-1.9$	$-1.5$	$0$	$2$
$f(x)$

Die Gerade $x=-2$ ist eine Polstelle, die Gerade $y=1.5$ eine horizontale Asymptote. Die Funktion gehört zu den gebrochenrationalen Funktionen der Gestalt

f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\quad\text{mit }ad\neq bc.

Der Graph ist eine Hyperbel. Er ist punktsymmetrisch bezüglich $(-\frac{d}{c}\mid\frac{a}{c})$ und hat als Asymptoten die Geraden mit den Gleichungen $y=\frac{a}{c}$ und $x=-\frac{d}{c}$ (Polstelle).

Exercise 3

Zeichne den Graphen der Funktionen:

a) $f(x) = \frac{0.5x-2}{x-2}$

b) $g(x) = \frac{4x}{x-1}$

c) $h(x) = \frac{2-x}{x-4}$

Solution

Setze gängige Werte ein, skizziere den Graphen und kontrolliere das Ergebnis mit Geogebra.

Exercise 4

Berechne die Parameter $a$ und $b$ so, dass der Graph der Funktion

f(x)=\frac{a}{b+x}

durch die Punkte $(2\mid1)$ und $(-4\mid-2)$ geht.

Solution

$f(2)=1=\frac{a}{b+2}$ und $f(-4)=-2=\frac{a}{b-4}$ . Es folgt $a=b+2$ und weiter $-2=\frac{b+2}{b-4}$ . Daraus ergibt sich $8-2b=b+2 \Leftrightarrow 3b=6 \Leftrightarrow b=2$ und damit $a=4$ .

Exercise 5

Diskutiere (Asymptoten, Polstellen) den Graphen der Funktion

f(x)=\frac{2x-1}{x^2-4}.

Solution

Die Asymptote ist die $x$ -Achse, da der Grad im Nenner 2 und im Zähler 1 ist. Die Polstellen liegen bei den Nullstellen des Nenners, also bei $x_{1,2}=\pm2$ .