Ursprungsaffinitäten & Matrizen

Definition 1: Ursprungsaffinität

Wird der Ursprung bei einer affinen Abbildung $\alpha$ auf sich abgebildet - ist er also Fixpunkt von $\alpha$ - so wird von einer Ursprungsaffinität gesprochen.

Die Koordinatendarstellung hat dann die Gestalt

\alpha = \begin{cases}a_1x+b_1y\\ a_2x+b_2y\end{cases}

Zur Erinnerung sei noch erwähnt, dass es sich bei den Spaltenvektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix}a_1\\ a_2\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix}$ einer affinen Abbildung $\alpha$ um die Bilder der Basisvektoren $\vec{e_1}$ und $\vec{e_2}$ handelt.

Grundlegende Ursprungsaffinitäten

Die folgenden vier Ursprungsaffinitäten bilden zusammen mit der Translation die Bausteine aus der jede affine Abbildung zusammengesetzt werden kann.

Die Streckung am Ursprung mit dem Faktor $k\neq0$ ist eine Ursprungsaffinität:
Die Achsenspiegelung an der $x$ - bzw. $y$ -Achse ist eine Ursprungsaffinität:
Die Scherung an der $x$ - bzw. $y$ -Achse ist eine Ursprungsaffinität:
Die Rotation um einen Winkel $\varphi$ mit dem Zentrum im Ursprung ist einen Ursprungsaffinität:

Exercise 1: Spiegelung

Eine Spiegelung $\gamma$ an einer Ursprungsgeraden

g:y = mx = \tan(\varphi)\cdot x

kann als Verknüpfung folgender Ursprungsaffinitäten ausgedrückt werden: Drehung $\alpha^{-1}$ um den Winkel $-\varphi$ (in Uhrzeigerrichtung), Spiegelung $\beta$ an der $x$ -Achse und Drehung $\alpha$ zurück um den Winkel $\varphi$ (in Gegenuhrzeigerrichtung).

\gamma=\alpha\circ\beta\circ\alpha^{-1}

Solution

\alpha^{-1}:\begin{cases}x\cos(-\varphi)-y\sin(-\varphi)\\ x\sin(-\varphi)+y\cos(-\varphi)\end{cases}

\begin{cases}x\cos(\varphi)+y\sin(\varphi)\\ -x\sin(\varphi)+y\cos(\varphi)\end{cases}

\begin{align*} \gamma(x|y) &= \alpha\circ\beta\circ\alpha^{-1}(x|y)\\ &= \alpha\circ\beta(x\cos(\varphi)+y\sin(\varphi)|-x\sin(\varphi)+y\cos(\varphi))\\ &= \alpha(x\cos(\varphi)+y\sin(\varphi)|x\sin(\varphi)-y\cos(\varphi))\\ &= \alpha((x\cos(\varphi)+y\sin(\varphi))\cos(\varphi)-(x\sin(\varphi)-y\cos(\varphi))\sin(\varphi)|(x\cos(\varphi)+y\sin(\varphi))\sin(\varphi)+(x\sin(\varphi)-y\cos(\varphi))\cos(\varphi))\\ &= (x(\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi))+y\cdot2\sin(\varphi)\cos(\varphi)|x\cdot2\sin(\varphi)\cos(\varphi)+y(\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi))) &= (x\cos(2\varphi)+y\sin(2\varphi)|x\sin(2\varphi)-y\cos(2\varphi)) \end{align*}

Exercise 2: Spiegelung an Gerade

Wie lautet die Abbildungsgleichung der Spiegelung an der Geraden

g : y = \frac{1}{2}x?

Wie die Abbildungsgleichung der Spiegelung an der Geraden

g:y=\frac{1}{2}x+1?

Solution

\alpha:\begin{cases}x'=\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y\\ \frac{4}{5}x-\frac{3}{5}y\end{cases}

\beta:\begin{cases}x'=\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y-\frac{4}{5}\\ \frac{4}{5}x-\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\end{cases}

Exercise 3: Rotation?

Gegeben sei die Ursprungsaffinität

\alpha=\begin{cases}\frac{12}{13}x-\frac{5}{13}y\\ \frac{5}{13}x+\frac{12}{13}y\end{cases}

Zeige, dass es sich dabei um eine Rotation handelt und bestimme den Drehwinkel.

Solution

Sei $\cos(\varphi)=\frac{12}{13}$ . Betrachte $1-\cos^2(\varphi)=\sin^2(\varphi)=\frac{5}{13}$ . Es ist $\varphi=22.6^\circ$ .

Exercise 4: Spiegelung an Ursprungsgeraden

Gegeben sei die Ursprungsaffinität

\alpha = \begin{cases}-\frac{12}{13}x-\frac{5}{13}y\\ -\frac{5}{13}x+\frac{12}{13}y\end{cases}

Zeige, dass es sich dabei um eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden handelt und bestimme ihre Funktionsgleichung.

Solution

$2\varphi=360^\circ-\cos^{-1}(-\tfrac{12}{13})=202.6^\circ$ , also $\varphi=101.3^\circ$ und die Spiegelachse hat die Funktionsgleichung $y=-5x$ .

Die Matrixdarstellung einer Ursprungsaffinität

Die Gleichung einer Ursprungsaffinität

\alpha = \begin{cases}a_1x+b_1y\\ a_2x+b_2y\end{cases}

sind bestimmt durch das Schema der vier Koeffizienten:

\begin{pmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}

Ein solches Schema wird als Matrix bezeichnet; genauer als $2\times2$ -Matrix, weil im Schema $2$ Zeilen und $2$ Spalten auftreten.

Definition 2: Matrix

Ein rechteckiges Schema mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten wird $m\times n$ -Matrix genannt.

Example 1

Nach Definition unterscheidet sich eine $2\times1$ -Matrix nicht von der Koordinatenschreibweise eines Vektors.

Grundoperationen von Matrizen

Es ist üblich, Matrizen mit einem lateinischen Grossbuchstaben $A, B,\dots$ zu benennen. Die Matrix-Komponenten werden durch den entsprechenden lateinischen Kleinbuchstaben - versehen mit Doppelindizes (Zeilen- und Spaltennummer) - beschrieben:

A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}

Addition

Die Addition zweier Matrizen erfolgt komponentenweise:

\begin{align*} A+B &= \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{pmatrix} \end{align*}

Multiplikation mit einem Skalar

Die Multiplikation mit einem Skalar erfolgt ebenfalls komponentenweise:

k\cdot A=k\cdot\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12}\\ ka_{21} & ka_{22} \end{pmatrix}

Eigenschaften der Operationen

Theorem 1

Die $2\times2$ -Matrizen bilden bezüglich der Addition eine kommutative Gruppe.

Exercise 5

Gruppe

Erinnere dich an die Definition von Gruppe und Kommutativität und begründe obige Aussage.

Solution

Das Neutrale ist $\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}. Das Inverse zu$ A $ist$ -A $. Abgeschlossenheit, Assoziativität und Kommutativität ist von$ \mathbb{R}$ vererbt.

Note 1

Zu den oben genannten Gruppenaxiomen gilt mit der definierten skalaren Multiplikation zudem das Distributivgesetz:

k\cdot(A+B)=kA+kB

$\forall k\in\mathbb{R}$ und $A,B\in\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n$ .

Multiplikation

Die Multiplikation zweier Matrizen wirkt auf den ersten Blick etwas willkürlich:

\begin{align*} A\cdot B&=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}=\\ &= \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} \end{align*}

Ist sie aber nicht. Geometrisch läuft die Matrizenmultiplikation auf eine Verknüpfung zweier Ursprungsaffinitäten (genauer: zweier linearer Abbildungen mit Fixpunkt im Ursprung) hinaus, wie man nachrechnen kann.

Auch das Berechnen des Matrizenprodukts $A\cdot B$ ist nicht kompliziert, wenn das Prinzip erkannt wurde: Das Element, das in der $i$ -ten Zeile und $k$ -ten Spalte der Produktmatrix $AB$ steht, ergibt sich, indem der $i$ -te Zeilenvektor von $A$ mit dem $k$ -ten Spaltenvektor von $B$ skalar multipliziert wird.

Example 2

Sei $\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$ ein Vektor der Ebene, so ist

A\cdot\vec{v}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}x+a_{12}y\\ a_{21}x+a_{22}y\end{pmatrix}

der Bildvektor der Abbildung, die durch die Matrix $A$ repräsentiert ist.

Das Bild $\vec{v'}$ eines Vektors $\vec{v}$ kann also als Multiplikation zweier Matrizen (einer $2\times2$ -Matrix $A$ und eines Vektors $\vec{v}$ ) angesehen werden. Damit ergibt sich auch der folgende

Theorem 2

Repräsentieren die Matrizen $A$ und $B$ zwei Abbildungen $\alpha$ und $\beta$ , so stellt die Matrizenmultiplikation $A\cdot B$ die zusammengesetzte Abbildung $\alpha\circ\beta$ dar:

A(B\cdot\vec{v}) = (A\cdot B)\cdot\vec{v}

Proof

Das rechnet man einfach in beiden Varianten durch und erhält Gleichheit.

Eigenschaften zur Matrizenmultiplikation

Die Menge der $2\times2$ -Matrizen ist abgeschlossen bezüglich der Multiplikation; das heisst, dass falls $A$ und $B$ $2\times2$ -Matrizen sind, so ist auch ihre Produkt $A\cdot B$ eine solche.
Gegeben seien die drei Matrizen

\begin{pmatrix}1 & 3\\ 2 & 4\end{pmatrix}\quad\begin{pmatrix}-2 & 5\\ 1 & -3\end{pmatrix}\quad\begin{pmatrix}4 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}

Exercise 6: Eigenschaften der Matrizen-Multiplikation

Zeige anhand dieser Matrizen, dass die Matrizenmultiplikation

assoziativ ist,
nicht kommutativ ist.
Gib die Matrix $E$ an, die bezüglich der Multiplikation "neutral" ist, d.h. diejenige Matrix $E$ , für die gilt:

AE = EA = A

für alle Matrizen $A$ . $E$ wird Einheitsmatrix genannt.

Eine Matrix $A^{-1}$ heisst Inverse von $A$ , wenn

AA^{-1} = A^{-1}A = E

ist.

Solution

Man rechnet nach.

Exercise 7: Inverse Matrix

Finde mit Hilfe von Gleichungssystemen die Inversen der folgenden Matrizen

\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix}\quad\begin{pmatrix}-2 & 1\\ 3 & -2\end{pmatrix}\quad\begin{pmatrix}2 & -4\\ -3 & 6\end{pmatrix}

Solution

\begin{pmatrix}1 & 0\\ -1 & 1\end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix}-2 & -1\\ -3 & -1\end{pmatrix}

Die dritte Matrix ist nicht invertierbar, da sie singulär ist.

Bildet die Menge der $2\times2$ -Matrizen bezüglich der Multiplikation eine Gruppe?

Determinante, reguläre und singuläre Matrizen

Eine Ursprungsaffinität kann durch eine Matrix

\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}

mit geeigneten Komponenten $a_{ij}\in\mathbb{R}$ dargestellt werden. Umgekehrt stellt sich die Frage, ob jede Matrix

\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}

auch eine Ursprungsaffinität repräsentiert. Da die Abbildung $\alpha$ , wiedergegeben durch eine Matrix $A$ , linear in ihren Argumenten ist,

A\vec{v} = A\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = A(x\vec{e_1}+y\vec{e_2}) = x\cdot A\vec{e_1}+y\cdot B\vec{e_2} = x\cdot\vec{e_1'}+y\cdot\vec{e_2'}

ist die Abbildung $\alpha$ geraden-, parallelen- und verhältnistreu. Zudem ist der Ursprung ein Fixpunkt. Für eine Ursprungsaffinität fehlt also einzig und allein noch das Kriterium der Bijektivität.

Exercise 8: Invertierbarkeit?

Nehmen wir an, eine Abbildung $\alpha$ , repräsentiert durch die Matrix $A$ , sei nicht bijektiv; d.h. also, dass zwei verschiedene Vektoren $\vec{u}\neq\vec{v}$ dasselbe Bild haben: $A\vec{u} = A\vec{v}$ . Was lässt sich jetzt über die Matrix $A$ aussagen? (Tipp: Vereinfache das entstehende Gleichungssystem $A\cdot(\vec{u}-\vec{v}) = 0$ ).

Solution

$A\vec{u} = A\vec{v}\Leftrightarrow A(\vec{u}-\vec{v}) = \vec{0}\Leftrightarrow A = 0$

Definition 3: Determinante

Die Determinante einer $2\times2$ -Matrix $A$ ist definiert durch

\det(A) = |A| = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

Exercise 9: Determinanten

Berechne die Determinanten der folgenden Matrizen. Was stellst du fest?

A = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix}\quad B = \begin{pmatrix}-2 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}\quad C = \begin{pmatrix}2 & -4\\ -3 & 6\end{pmatrix}

Solution

$\det(A)=1$ , $\det(B)=-7$ , $\det(C)=24$

Definition 4: Reguläre Matrix

Eine Matrix $A$ heisst regulär, falls ihre Determinante $\det(A) \neq 0$ ; sonst wird sie singulär genannt.

Theorem 3

Die Menge der regulären $2\times2$ -Matrizen bildet bezüglich der Multiplikation eine Gruppe. Sie entspricht gerade der Menge aller Ursprungsaffinitäten.

Proof

Übung. Finde das neutrale Element und inverse Elemente. Assoziativität kann man ebenfalls nachprüfen.

Exercise 10: Multiplikativität der Determinante

Zeige: $\det(A)\cdot\det(B) = \det(A\cdot B)$

Solution

Man rechnet allgemein beide Seiten aus und sieht, dass sie identisch sind.

Exercise 11

Berechne die Determinanten der Matrizen, die zu folgenden Abbildungen gehören:

Identität,
Streckung am Ursprung mit dem Faktor $k$ ,
Spiegelung an den Koordinatenachsen,
Spiegelung am Ursprung,
Scherung an der $x$ - bzw. $y$ -Achse,
Drehung um den Ursprung,
Spiegelung an einer Ursprungsgeraden.

Solution

a) $1$ , b) $k^2$ , c) $-1$ , d) $-1$ , der Rest ist $1$ , ausser die letzte, $-1$ .

Exercise 12

Zeige, dass der Betrag der Determinante $|\det(A)|$ gerade dem Flächeninhalt des von den Bildern von $\vec{e_1}$ und $\vec{e_2}$ aufgespannten Parallelogramms entspricht. (Tipp: Umschreibe dem Paralellogramm ein Rechteckt und subtrahiere die überschüssigen Dreiecke.)

Solution

Man bestimmt die Fläche $F$ des Parallelogramms und erhält $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=\det(A)$ .

Exercise 13: Parameter

Die Abbildung

\alpha=\begin{cases}3x+4y\\ 2x+\lambda y\end{cases}

ist gegeben.

a) Für welches $\lambda$ ist die zu $\alpha$ gehörende Matrix $A$ regulär?

b) Bestimme das Bild der Ebene, wenn $A$ singulär ist.

c) Begründe: Wenn eine durch eine Matrix $A$ gegebene Abbildung zwei verschiedene Punkte auf den gleichen Punkt abbildet, dann bildet sie mindestens einen vom Ursprung verschiedenen Punkt auf den Ursprung ab. (Tipp: Betrachte die Differenz der Ortsvektoren der beiden Punkte.)

Solution

a) $\lambda\in\mathbb{R}\setminus{\tfrac{8}{3}},

b) $A=\begin{pmatrix}3 & 4\ 2 & \tfrac{8}{3}\end{pmatrix}

c) $Au=Av\Leftrightarrow A(u-v)=0$ .

Exercise 14: Vererbung der Regularität

Von zwei Abbildungen $\alpha$ und $\beta$ sei $\alpha$ regulär und $\beta$ singulär. Ist $\alpha\circ\beta$ singulär oder regulär?

Solution

Wegen der Multiplikativität der Determinante ist sie singulär.

Exercise 15: Inverse Matrix

Für die Berechnung der Inversen einer Matrix $A$ existiert die Formel

A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\cdot\begin{pmatrix}a_{22} & -a_{12}\\ -a_{21} & a_{11}\end{pmatrix}

a) Beweise dies, indem du von der Eigenschaft $A\cdot A^{-1}=E$ Gebrauch machst.

b) Berechne die Inverse zu

A=\begin{pmatrix}2 & 1\\ -6 & 3\end{pmatrix}

\item Zeige, dass

\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}

Solution

a) einfache Rechnung

b) $A^{-1}=\frac{1}{12}\begin{pmatrix}3 & -1\6 & 2\end{pmatrix}

c) $1=\det(E)=\det(AA^{-1})=\det(A)\cdot\det(a^{-1})$ woraus die Behauptung folgt.

Fläche und Orientierung

Nicht nur der Betrag der Determinante einer Matrix $A$ hat eine geometrische Bedeutung (Flächeninhalt des durch die Affinität $\alpha$ erzeugten Bildes des durch die Basisvektoren $\vec{e_1}$ und $\vec{e_2}$ aufgespannten Einheitsquadrates), sondern auch ihr Vorzeichen. Um das zu verstehen, machen wir einen kleinen Ausflug ins Dreidimensionale und die Vektorgeometrie.

Definition 5: Vektorprodukt

Das Vektorprodukt zweier Vektoren

\vec{a}=\begin{pmatrix}a_x&a_y&a_z\end{pmatrix} \text{ und } \vec{b}=\begin{pmatrix}b_x&b_y&b_z\end{pmatrix}

ergibt einen Vektor $\vec{v}$ definiert durch

\vec{v} := \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\ a_y\\ a_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_x\\ b_y\\ b_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_yb_z-a_zb_y\\ a_zb_x-a_xb_z\\ a_xb_y-a_yb_x\end{pmatrix}

Note 2

Das Vektorprodukt $\vec{v}=\vec{a}\times\vec{b}$ besitzt folgende Eigenschaften:

Das Vektorprodukt $\vec{v}$ steht senkrecht auf den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ .
Die Länge des Vektorproduktes $\vec{v}$ entspricht gerade dem Flächeninhalt des durch $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms.
Die Vektoren $\vec{a},\vec{b},\vec{v}$ bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.

Der zweidimensionalen Raum $\mathbb{R}^2$ kann durch Ergänzen einer $z$ -Komponente zum dreidimensionalen Raum aufgepeppt werden. In diesem Sinn wird der $\mathbb{R}^2$ - als Einbettung in den $\mathbb{R}^3$ - auch für das an und für sich nur im dreidimensionalen Raum definierte Vektorprodukt zugänglich; die $z$ -Komponente wird einfach $0$ gesetzt. Damit ergibt sich z.B. für die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}

nota bene die Bilder der Einheitsvektoren $\vec{e_1}$ und $\vec{e_2}$ unter der Abbildung $A$ .

\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{21}\\ 0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}a_{12}\\ a_{22}\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ \det(A)\end{pmatrix}

Aus den Eigenschaften des Vektorprodukts folgt jetzt: Ist die Determinante der Matrix $A$ positiv, so müssen die Vektoren $\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{21}\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}a_{12}\\ a_{22}\end{pmatrix}$ dieselbe "Orientierung" aufweisen, wie die Basisvektoren $\vec{e_1}$ und $\vec{e_2}$ . Korrekter:

Note 3

Das Quadrat, aufgespannt durch die Basisvektoren $\vec{e_1}$ und $\vec{e_2}$ hat genau dann dieselbe Orientierung (gleichsinnig) wie das durch die Vektoren aufgespannte $\begin{pmatrix}a_{11}\\ a_{21}\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}a_{12}\\ a_{22}\end{pmatrix}$ Parallelogramm, wenn die Determinante von $A$ positiv ist. Ist die Determinante negativ, so bewirkt die durch $A$ repräsentierte Abbildung einen Orientierungswechsel (gegensinnig).

Damit nicht genug; es gilt der folgende

Theorem 4

Ist $A$ die Matrix, die zu einer Ursprungsaffinität $\alpha$ gehört, so besteht zwischen den Flächeninhalten $F$ und $F'$ eines Vielecks und dessen Bildes die Beziehung

F' = |\det(A)|\cdot F

Proof

Sei ein Dreieck $T$ mit den Punkten $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb{R}^2$ . Der Flächeninhalt von $T$ ist gegeben durch:

F = \frac{1}{2} \cdot \left| \det(\vec{b} - \vec{a}, \vec{c} - \vec{a}) \right|

Nach Anwendung der linearen Abbildung $\alpha(\vec{x}) = A \vec{x}$ wird das Bilddreieck durch die Punkte $A\vec{a}, A\vec{b}, A\vec{c}$ beschrieben. Der neue Flächeninhalt ist dann:

F' = \frac{1}{2} \cdot \left| \det\left( A(\vec{b} - \vec{a}), A(\vec{c} - \vec{a}) \right) \right|

Verwende nun die Eigenschaft der Determinante:

\det(A\vec{u}, A\vec{v}) = \det(A) \cdot \det(\vec{u}, \vec{v})

Dann folgt:

\begin{align*} F' &= \frac{1}{2} \cdot \left| \det(A) \cdot \det(\vec{b} - \vec{a}, \vec{c} - \vec{a}) \right| \\ &= |\det(A)| \cdot \frac{1}{2} \cdot \left| \det(\vec{b} - \vec{a}, \vec{c} - \vec{a}) \right| \\ &= |\det(A)| \cdot F \end{align*}

Damit ist gezeigt, dass bei einer linearen Abbildung $\alpha(\vec{x}) = A \vec{x}$ der Flächeninhalt des Bildes eines Dreiecks (und damit auch jedes Vielecks durch Zerlegung) mit dem Betrag der Determinante der Abbildungsmatrix skaliert wird.

Example 3

Die zur zentrischen Streckung am Ursprung gehörende Matrix.

A = \begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}

mit dem Streckungsfaktor $k$ besitzt die Determinante $\det(A) = k^2$ . D.h. also, dass durch die zentrische Streckung mit dem Faktor $k$ die Flächen mit $k^2$ multipliziert werden. Die Orientierung bleibt dabei erhalten, auch wenn $k$ negativ ist.

Exercise 16: Flächeninhalte

a) Gegeben sei das Parallelogramm $PQRS$ mit $P(1|0), Q(0|3)$ und $S(3|1)$ . Ermittle die Fläche dieses Parallelogramms (mit und ohne Zeichnung). $\alpha$ sei die Abbildung mit

\alpha=\begin{cases}-2x-y\\ -x+y.\end{cases}

Ermittle den Flächeninhalt $F'$ und die Orientierung des Bildparallelogramms, zunächst ohne seine Ecken zu berechnen.

b) Berechne nun $P', Q', R'$ und $S'$ .

c) Bestimme die Determinante der Spiegelung an irgendeiner Ursprungsgeraden.

Solution

$\vec{PS}\times\vec{PQ}=(0|0|7)$ , also $F=7$ , $R(2|4)$ . Man hat $\det(A)=-3$ und $F'=21$ . $P'(-2|-1)$ , $Q'(-3|3)$ , $R'(-8|2)$ , $S'(-7|-2)$ . Die Determinante müsste $-1$ sein, da der Umlaufssinn ändert aber der Flächeninhalt nicht.