Potenzen und Quadratwurzeln

Wir beginnen mit Potenzen.

Definition 1

Für eine natürliche Zahl nn (daher n=1,2,3,...n=1,2,3,...) definieren wir die nn-te Potenz eine Zahl aa wie folgt:

an=a⋅a⋅...⋅a⏟n mala^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{n \text{ mal}}

Die Zahl aa wird Basis genannt, und nn der Exponent. Daher wir können und Potenzen als Abkürzung von einer nn-fachen Multiplikation denken.

Die Potenz bindet stärker als alle anderen Operatoren (+,−⋅,:+,-\cdot,:).

Beispiel

  1. 24=2⋅2⋅2⋅2=162^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16
  2. (−2)4=(−2)⋅(−2)⋅(−2)⋅2=16(-2)^4=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot 2=16
  3. −24=−(2⋅2⋅2⋅2)=−16-2^4=-(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)=-16
  4. 3⋅24=3⋅2⋅2⋅2⋅2=483\cdot 2^4 = 3 \cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=48
  5. 3+24=3+2⋅2⋅2⋅2=193+ 2^4 = 3 + 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=19

Wir kennen schon eine abkürzende Schreibweise: die Addition

n⋅a=a+a+...+a⏟n maln\cdot a =\underbrace{a+a+...+a}_{n \text{ mal}}

wobei nn wiederum eine natürliche Zahl ist. Zum Beispiel:

5⋅6=6+6+6+6+6=305\cdot 6=6+6+6+6+6=30
Exercise 1

Aufgabe 1

  1. Schreibe so kurz und einfach wie möglich:

    1. a⋅a⋅a2a\cdot a\cdot a^2
    2. a⋅b⋅a⋅a⋅ba\cdot b\cdot a\cdot a\cdot b
    3. a+a+a+a+b+ba+a+a+a+b+b
    4. 2x⋅2x⋅2x⋅2x2x\cdot 2x\cdot 2x\cdot 2x
    5. 2x+2x+2x+2x2x+2x+2x+2x
    6. (a+2)(a+2)(a+2)(a+2)(a+2)(a+2)
    7. (a+2)+(a+2)+(a+2)(a+2)+(a+2)+(a+2)
    8. (−a)(−a)(−a)(−a)(−a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a)
    9. (−a)+(−a)+(−a)+(−a)(-a)+(-a)+(-a)+(-a)
    10. ab⋅ab⋅ab⋅ab⋅ab\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}
    11. a2⋅a4a^2\cdot a^4
    12. a4a2\frac{a^4}{a^2}
    13. a2a4\frac{a^2}{a^4}
    14. (a3)4(a^3)^4
    15. (2ab3)4(2ab^3)^4

  2. Welche Gleichungen gelten, und wieso?

    1. a2a3=a2+3a^2 a^3 = a^{2+3}
    2. a3b3=ab3a^3 b^3 = ab^3
    3. a3b3=(ab)3a^3 b^3 = (ab)^3
    4. (a2)3=a2+3\left(a^2\right)^3 = a^{2+3}
    5. (a2)3=a2⋅3\left(a^2\right)^3 = a^{2\cdot 3}
    6. a5a2=a5−2\frac{a^5}{a^2}=a^{5-2}
    7. (a−b)2(a−b)3=(a−b)2+3(a-b)^2 (a-b)^3 = (a-b)^{2+3}
    8. (a+b)2=a2+b2(a+b)^2=a^2+b^2
    9. (ab)2=a2b2(ab)^2=a^2 b^2
    10. 2a2x3c54ax2c6=ax2c\frac{2a^2 x^3 c^5}{4a x^2 c^6}=\frac{a x}{2c}
Show

Lösungen

  1. Wir haben

    1. a⋅a⋅a2=a4a\cdot a\cdot a^2=a^4
    2. a⋅b⋅a⋅a⋅b=a3b2a\cdot b\cdot a\cdot a\cdot b=a^3 b^2
    3. a+a+a+a+b+b=4a+2ba+a+a+a+b+b=4a+2b
    4. 2x⋅2x⋅2x⋅2x=16x42x\cdot 2x\cdot 2x\cdot 2x=16x^4
    5. 2x+2x+2x+2x=8x2x+2x+2x+2x=8x
    6. (a+2)(a+2)(a+2)=(a+2)3(a+2)(a+2)(a+2)=(a+2)^3
    7. (a+2)+(a+2)+(a+2)=3(a+2)=3a+6(a+2)+(a+2)+(a+2)=3(a+2)=3a+6
    8. (−a)(−a)(−a)(−a)(−a)=(−a)5=−a5(-a)(-a)(-a)(-a)(-a)=(-a)^5=-a^5
    9. (−a)+(−a)+(−a)+(−a)=−4a(-a)+(-a)+(-a)+(-a)=-4a
    10. ab⋅ab⋅ab⋅ab⋅ab=a5b5\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}=\frac{a^5}{b^5}
    11. a2⋅a4=a6a^2\cdot a^4=a^6
    12. a4a2=a2\frac{a^4}{a^2}=a^2
    13. a2a4=1a2\frac{a^2}{a^4}=\frac{1}{a^2}
    14. (a3)4=a12(a^3)^4=a^{12}
    15. (2ab3)4=24a4b12=16a4b12(2ab^3)^4=2^4 a^4 b^{12}=16 a^4 b^{12}

  2. Es gilt

    1. a2a3=a2+3a^2 a^3 = a^{2+3} richtig, da a2a3=aaaaa=a2+3a^2 a^3=a a a a a =a^{2+3}
    2. a3b3=ab3a^3 b^3 = ab^3 falsch, da a3b3=aaabbb≠abbb=ab3a^3 b^3 = a a a b b b \neq a b b b = a b^3
    3. a3b3=(ab)3a^3 b^3 = (ab)^3 richtig, da a3b3=aaabbb=ababab=(ab)3a^3 b^3 = a a a b b b = a b a b a b = (ab)^3
    4. (a2)3=a2+3\left(a^2\right)^3 = a^{2+3} falsch, da (a2)3=a2a2a2=aaaaaa≠a5\left(a^2\right)^3 = a^2 a^2 a^2 = a a a a a a \neq a^5
    5. (a2)3=a2⋅3\left(a^2\right)^3 = a^{2\cdot 3} richtig, da (a2)3=a2a2a2=aaaaaa≠a6\left(a^2\right)^3 = a^2 a^2 a^2 = a a a a a a \neq a^{6}
    6. a5a2=a5−2\frac{a^5}{a^2}=a^{5-2} richtig, da a5a2=aaaaaaaa=aaa=a3\frac{a^5}{a^2}=\frac{a a a a a}{a a a} = a a a = a^{3}
    7. (a−b)2(a−b)3=(a−b)2+3(a-b)^2 (a-b)^3 = (a-b)^{2+3}, richtig, da (a−b)2(a−b)3=(a−b)(a−b)(a−b)(a−b)(a−b)=(a−b)5(a-b)^2 (a-b)^3=(a-b)(a-b)(a-b)(a-b)(a-b)=(a-b)^5
    8. (a+b)2=a2+b2(a+b)^2=a^2+b^2 falsch, da (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2
    9. (ab)2=a2b2(ab)^2=a^2 b^2 richtig da (ab)2=abab=aabb=a2b2(ab)^2= ab ab = a a b b = a^2 b^2
    10. 2a2x3c54ax2c6=ax2c\frac{2a^2 x^3 c^5}{4a x^2 c^6}=\frac{a x}{2c} richtig, da 2a2x3c54ax2c6=2aaxxxccccc4axxcccccc=ax2c\frac{2a^2 x^3 c^5}{4a x^2 c^6}=\frac{2 a a x x x c c c c c}{4 a x x c c c c c c}=\frac{a x}{2c}
Definition 2

Die Quadratwurzel einer positiven Zahl aa,

a\sqrt{a}

ist eine positive Zahl bb so, dass

b2=ab^2=a

Beispiel

9=3\sqrt{9}=3, da 32=93^2=9.

Beachte, dass −3-3 im Quadrat ebenfalls 99 ergibt: (−3)2=9(-3)^2=9. Wir beachten diese Lösung aber nicht, da sie nicht positiv ist.

Exercise 2

Aufgabe 2

  1. Berechne ohne Taschenrechner:

    1. 8100\sqrt{8100}
    2. 361\sqrt{361}
    3. 2549\sqrt{\frac{25}{49}}
    4. 2775\sqrt{\frac{27}{75}}
    5. 1022\sqrt{102^2}
    6. 254\sqrt{25^4}
    7. (−55)2\sqrt{(-55)^2}
    8. (19)2\left(\sqrt{19}\right)^2

  2. Für welches xx ist diese Gleichung erfüllt?

    1. x=7\sqrt{x}=7
    2. x2=64x^2=64
    3. 2x2−6=662x^2-6=66

  3. Welche Aussagen gelten? Versuche es zuerst ohne den TA zu benutzen.

    1. 3⋅5=3⋅5\sqrt{3\cdot 5}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}
    2. 3+5=3+5\sqrt{3+5}=\sqrt{3}+\sqrt{5}
    3. 35=35\sqrt{\frac{3}{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}
    4. 72=7\sqrt{7^2}=7
    5. (7)2=7\left(\sqrt{7}\right)^2=7
    6. 66=6\sqrt{6}\sqrt{6}=6
    7. 74=72\sqrt{7^4}=7^2

  4. Ziehe soweit wie möglich die Wurzel

    1. 18\sqrt{18}
    2. 80\sqrt{80}
    3. 75\sqrt{75}
    4. 20⋅32\sqrt{20\cdot 3^2}
    5. 34⋅52\sqrt{3^4\cdot 5^2}

  5. Notiere den Bruch ohne Wurzel im Nenner:

    1. 53\frac{5}{\sqrt{3}}
    2. 38\sqrt{\frac{3}{8}}
    3. 1125\sqrt{\frac{1}{125}}
    4. 818\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}}
Show

Lösungen

  1. Im wesentlichen ausprobieren:

    1. 8100=90\sqrt{8100}=90
    2. 361=19\sqrt{361}=19
    3. 2549=57\sqrt{\frac{25}{49}}=\frac{5}{7}
    4. 2775=3⋅93⋅25=35\sqrt{\frac{27}{75}}=\frac{3\cdot 9}{3\cdot 25}=\frac{3}{5}
    5. 1022=102\sqrt{102^2}=102
    6. 254=252\sqrt{25^4}=25^2
    7. (−55)2=55\sqrt{(-55)^2}=55
    8. (19)2=19\left(\sqrt{19}\right)^2=19

  2. Gleichungen:

    1. x=7\sqrt{x}=7 Lösung: x=49x=49
    2. x2=64,x=x^2=64, x= Lösung: x=8,x=−8x=8, x=-8
    3. 2x2−6=66→x2=362x^2-6=66 \rightarrow x^2= 36 Lösung: x=6,x=−6x=6, x=-6

  3. Welche Aussagen gelten?

    1. 3⋅5=3⋅5\sqrt{3\cdot 5}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{5} richtig, da (3⋅5)2=(3)2⋅(5)2=3⋅5(\sqrt{3}\cdot \sqrt{5})^2=(\sqrt{3})^2 \cdot(\sqrt{5})^2 = 3\cdot 5
    2. 3+5=3+5\sqrt{3+5}=\sqrt{3}+\sqrt{5} nein (berechne mit TA)
    3. 35=35\sqrt{\frac{3}{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} richtig, da (35)2=(3)2(5)2\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{\left(\sqrt{5}\right)^2}
    4. 72=7\sqrt{7^2}=7, richtig
    5. (7)2=7\left(\sqrt{7}\right)^2=7 richtig
    6. 66=6\sqrt{6}\sqrt{6}=6 richtig
    7. 74=72\sqrt{7^4}=7^2 richtig, da (72)2=74(7^2)^2 =7^4

  4. Ziehe soweit wie möglich die Wurzel

    1. 18=9⋅2=9⋅2=32\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}
    2. 80=16⋅5=45\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}
    3. 75=25⋅3=5⋅3\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\cdot \sqrt{3}
    4. 20⋅32=3⋅20=34⋅5=3⋅25=6⋅5\sqrt{20\cdot 3^2}=3\cdot \sqrt{20}=3\sqrt{4\cdot 5}=3\cdot 2\sqrt{5}=6\cdot \sqrt{5}
    5. 34⋅52=32⋅5=45\sqrt{3^4\cdot 5^2}=3^2 \cdot 5 = 45

  5. Notiere den Bruch ohne Wurzel im Nenner:

    1. 53=5⋅33⋅3=5⋅33\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{5\cdot \sqrt{3}}{3}
    2. 38=38=3⋅88⋅8=248\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{8}}{\sqrt{8}\cdot \sqrt{8}}=\frac{\sqrt{24}}{8}
    3. 1125=1125=125125⋅125=125125\sqrt{\frac{1}{125}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{125}}=\frac{1 \sqrt{25}}{\sqrt{125}\cdot \sqrt{125}}=\frac{\sqrt{125}}{125}
    4. 818=818=49=23\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}}=\sqrt{\frac{8}{18}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}