Faktorisieren

Faktorisieren bedeutet, einen Term als Produkt zu schreiben.

Exercise 1

Aufgabe 1: Binomische Formeln

  1. Schreibe die drei binomischen Formeln auf und beschreibe sie in Worten.
  2. Wende die binomische Formeln an, um die folgenden Terme auszumultiplizieren.
    1. (2x+3)2(2x+3)^2
    2. (2x−3y)2(2x-3y)^2
    3. (4x−3)(4x+3)(4x-3)(4x+3)
    4. (x2−2x)(x2+2x)(x^2-2x)(x^2+2x)
  3. Ergänze das Symbol so, dass eine binomischen Formel entsteht.
    1. x2−□⋅x+64x^2-\square\cdot x+ 64
    2. 9x2+□+499x^2+\square+49
    3. x2+3x+□x^2+3x+\square
    4. □+2ab+◊\square+2ab+\Diamond
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Lösung

    1. (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, aa plus bb im Quadrat ist das Quadrat des Ersten, plus das doppelte Produkt beider, plus das Quadrat des Zweiten.
  2. (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2, aa minus bb im Quadrat ist das Quadrat des Ersten, minus das doppelte Produkt beider, plus das Quadrat des Zweiten.
  3. (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2, aa plus bb mal aa minus bb ist das Quadrat des Ersten minus das Quadrat des Zweiten.
    1. 4x2+12x+94x^2+12x+9
  5. 4x2−12xy+9y24x^2-12xy+9y^2
  6. 16x2−916x^2-9
  7. x4−4x2x^4-4x^2
    1. x2−□⋅x+64=(x−8)2=x2−16‾⋅x+64x^2-\square\cdot x+64=(x-8)^2=x^2-\underline{16}\cdot x+64
  9. 9x2+□+49=(3x+7)2=9x2+42x‾+499x^2+\square+49=(3x+7)^2=9x^2+\underline{42x}+49
  10. x2+3x+□=(x+1.5)2=x2+3x+2.25‾x^2+3x+\square = (x+1.5)^2=x^2+3x+\underline{2.25}
  11. □+2ab+◊=(a+b)2=a2‾+2ab+b2‾\square+2ab+\Diamond=(a+b)^2=\underline{a^2}+2ab+\underline{b^2}
Exercise 2

Aufgabe 2: Faktorisieren

Faktorisiere den Term soweit wie möglich (daher forme so viele Produkte wie möglich).

  1. x3−xy2x^3-xy^2
  2. a2+b2a^2+b^2
  3. a3−ab4a^3-ab^4
  4. x6y4−x2y8x^6y^4-x^2y^8
  5. 2x3−4x2−4x2x^3-4x^2-4x
  6. 2x3−4x2+2x2x^3-4x^2+2x
  7. 7y−77y-7
  8. x2(y−4)−x2(y+4)x^2(y-4)-x^2(y+4)
  9. (8−t)y−(6−2t)y(8-t)y-(6-2t)y
  10. q(r−s)+r−sq(r-s)+r-s
  11. (x2+y)⋅3−2x⋅(y+x2)(x^2+y)\cdot 3-2x\cdot(y+x^2)
  12. 18a2+48ab+32b218a^2+48ab+32b^2
  13. 3a2−48b23a^2-48b^2
  14. 20x3−60x2y+45xy220x^3-60x^2y+45xy^2
  15. 3y+3z+z2−y23y+3z+z^2-y^2
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Lösung

  1. x3−xy2=x(x2−y2)=x(x+y)(x−y)x^3-xy^2=x(x^2-y^2)=x(x+y)(x-y)
  2. a2+b2a^2+b^2 nicht möglich
  3. a3−ab4=a(a2−b4)=a(a+b2)(a−b2)a^3-ab^4=a(a^2-b^4)=a(a+b^2)(a-b^2)
  4. x6y4−x2y8=x2y4(x4−y4)=x2y4(x2+y2)(x2−y2)=x2y4(x2+y2)(x+y)(x−y)x^6y^4-x^2y^8=x^2y^4(x^4-y^4)\\=x^2y^4(x^2+y^2)(x^2-y^2)\\=x^2y^4(x^2+y^2)(x+y)(x-y)
  5. 2x3−4x2−4x=2x(x2−2x−2)2x^3-4x^2-4x=2x(x^2-2x-2)
  6. 2x3−4x2+2x=2x(x2−2x+1)=2x(x−1)22x^3-4x^2+2x=2x(x^2-2x+1)=2x(x-1)^2
  7. 7y−7=7(y−1)7y-7=7(y-1)
  8. x2(y−4)−x2(y+4)=x2[(y−4)−(y+4)]=x2[y−4−y−4]=−8x2x^2(y-4)-x^2(y+4)=\\x^2[(y-4)-(y+4)]=x^2[y-4-y-4]=-8x^2
  9. (8−t)y−(6−2t)y=y[(8−t)−(6−2t)]=y[8−t−6+2t]=y(2+t)(8-t)y-(6-2t)y=y[(8-t)-(6-2t)]\\=y[8-t-6+2t]=y(2+t)
  10. q(r−s)+r−s=q(r−s)+1⋅(r−s)=(r−s)(q+1)q(r-s)+r-s=q(r-s)+1\cdot (r-s)=(r-s)(q+1)
  11. (x2+y)⋅3−2x⋅(y+x2)=(x2+y)(3−2x)(x^2+y)\cdot 3-2x\cdot(y+x^2)=(x^2+y)(3-2x)
  12. 18a2+48ab+32b2=2(9a2+24ab+16b2)=2(3a+4b)218a^2+48ab+32b^2=2(9a^2+24ab+16b^2)=2(3a+4b)^2
  13. 3a2−48b2=3(a2−16b2)=3(a+4b)(a−4b)3a^2-48b^2=3(a^2-16b^2)=3(a+4b)(a-4b)
  14. 20x3−60x2y+45xy2=5x(4x2−12xy+9y2)=5x(2x−3y)220x^3-60x^2y+45xy^2=5x(4x^2-12xy+9y^2)=5x(2x-3y)^2
  15. 3y+3z+z2−y2=3y+3z+(z−y)(z+y)=3(y+z)+(y+z)(z−y)=(y+z)(3+(y−z))=(y+z)(3+y−z)3y+3z+z^2-y^2\\=3y+3z+(z-y)(z+y)\\=3(y+z)+(y+z)(z-y)\\=(y+z)(3+(y-z))\\=(y+z)(3+y-z)

Ein Term der Form

x2+7x+12x^2+7x+12

ist keine binomische Formel. Und trotzdem können wir ihn faktorisieren. Wir müssen einfach zwie Zahlen AA und BB suchen, so dass

x2+7x+12=(x+A)(x+B)x^2+7x+12 =(x+A)(x+B)

wobei A+B=7A+B=7 und A⋅B=12A\cdot B=12. Fangen wir damit an, dass wir die möglichen Faktoren von 1212 aufschreiben:

12=1⋅12=2⋅6=3⋅4=−1⋅−12=−2⋅−6=−3⋅−4\begin{array}{lll} 12&=&1\cdot 12\\ &=& 2\cdot 6\\ &=& 3\cdot 4\\ &=& -1\cdot -12\\ &=& -2\cdot -6\\ &=& -3\cdot -4\\ \end{array}

und überlegen uns, für welches dieser Zahlenpaare die Summe 77 ergibt. Dies ist 33 und 44. Also ist

x2+7x+12=(x+3)(x+4)x^2+7x+12 =(x+3)(x+4)

Hier ist noch ein Beispiel:

Exercise 3

Beispiel

Faktorisiere

x2−3x−10x^2-3x-10

Die möglichen Zahlenpaare für −10-10 sind

−10=−1⋅10=−2⋅5=1⋅−10=2⋅−5\begin{array}{lll} -10&=&-1\cdot 10\\ &=& -2\cdot 5\\ &=& 1\cdot -10\\ &=& 2\cdot -5\\ \end{array}

Das Zahlenpaar für welches die Summe −3-3 ergibt ist 22 und −5-5, es ist also

x2−3x−10=(x−5)(x+2)x^2-3x-10=(x-5)(x+2)
Exercise 4

Aufgabe 3

Faktorisiere.

  1. x2+9x+20x^2+9x+20
  2. x2−x−12x^2-x-12
  3. 2x2+18x−202x^2+18x-20
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Lösung

  1. x2+9x+20=(x+4)(x+5)x^2+9x+20=(x+4)(x+5)
  2. x2−x−12=(x−4)(x+3)x^2-x-12=(x-4)(x+3)
  3. 2x2+18x−20=2(x2+9x−10)=2(x−1)(x+10)2x^2+18x-20=2(x^2+9x-10)=2(x-1)(x+10)