Äquivalenzumformungen

Wir diskutieren nun, wie Terme so umgeformt werden können, dass sie immer noch gleich sind (siehe vorheriges Kapitel). Wir nennen dies Äquivalenzumformungen.

Die Subtraktion kann auch als Addition geschrieben werden

\boxed{a-b=a+(-b)}

\boxed{a-(-b)=a+b}

Zum Beispiel:

$3-4=3+(-4)$
$3-(-4)=3+4$
$a-b-3=a+(-b)+(-3)$
$a-2ab=a+(-2ab)$

Die Multiplikation kann als Addition von gleichen Zahlen verstanden werden

\boxed{nb=n\cdot b=\underbrace{b+b+...+b}_{\text{n mal ein }"b"}}

wobei $n$ eine natürliche Zahl ist

Zum Beispiel:

$3\cdot 4=4+4+4$
$2b=b+b$
$3b=b+b+b$
$3(a+b)=(a+b)+(a+b)+(a+b)$
$3(-b)=(-b)+(-b)+(-b)=-b-b-b$

Kommutativgesetz

lat. commutare "vertauschen"

Wenn wir mehrere Variablen addieren (wie üblich von links nach rechts), können wir die Reihenfolge der Variablen ändern. Dasselbe gilt, wenn mehrere Variablen multipliziert werden. Wir haben also

\boxed{ab=ba\quad \text{und}\quad a+b=b+a}

$a+3+b+u=3+u+b+a$
$(ab+c)+abc=abc+(ab+c)$
$ab=ba$
$3abc=ba3c$
$a(a+b)(c+d+3)=(c+d+3)a(a+b)$

Beachte, dass Subtraktion und Division nicht kommutativ sind: $2-3\neq 3-2$ und $10:5\neq 5:10$ . Aber für die Subtraktion gilt

\boxed{a-b=-b+a}

Und warum? Weil $a-b=a+(-b)=(-b)+a=-b+a$

Assoziativgesetz

lat. associare "vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen", im Sinne von Gruppenbildung.

Wenn wir mehrere Variablen addieren, können wir wählen, welche Variablen wir zuerst miteinander addieren. Wir können einfach von links nach rechts vorgehen, oder wir können mit den beiden mittleren oder den beiden letzten beginnen, und so weiter. Zum Beispiel

\boxed{\underbrace{a+b+c+d}_{\text{von links nach rechts}} = \underbrace{a+(b+c)+d}_{\text{zuerst die beiden in der Mitte}}= \underbrace{a+b+(c+d)}_{\text{zuerst die letzten beiden}}}

Das Gleiche gilt, wenn man mehrere Variablen (oder Teilterme) multipliziert:

\boxed{\underbrace{abcd}_{\text{von links nach rechts}} = \underbrace{a(bc)d}_{\text{zuerst die beiden in der Mitte}}= \underbrace{ab(cd)}_{\text{zuerst die beiden letzten}}}

Die Subtraktion und Division ist aber nicht assoziativ: Also $(3-4)-5 \neq 3-(4-5)$ und $(3:4):5 \neq 3:(4:5)$ .

Minus mal Minus

Es ist

\boxed{(-a)b=-ab,\quad a(-b)=-ab, \quad (-a)(-b)=ab}

Dies folgt aus dem Kommutativgesetz und Assoziativgesetz. Wieso? Probiere selbst, dann klicke rechts.

Show

In der Tat,

(-a)(-b)=((-1)a)((-1)b)=(-1)a(-1)b=(-1)(-1)ab=1ab=ab

und

(-a)b=((-1)a)b=(-1)ab=-ab

Exercise 1

Sind die rechten und linken Terme gleich? Falls nicht, gib ein Gegenbeispiel.

$2xyz+3yzx+5zxy=3yxz+2xyz+5zyx$
$3k+12x = 12x+3k$
$c-d = c+(-d)$
$c-d = d-c$
$c-d = -d+c$
$c-d = d+(-c)$
$za = az$
$2x\cdot (-k) = -2xk$
$-3a\cdot (-2b) = -6ab$
$-3a\cdot (-2b) = 6ab$
$-x\cdot(-y)\cdot(-z) = xyz$
$-x\cdot(-y)\cdot(-z) = -xyz$
$3ab\cdot 5c=15abc$
$4x\cdot 5y \cdot (-x) = 20xy$
$(-a)(-b)=ab$

Solution

$2xyz+3yzx-5zxy=3yxz+2xyz-5zyx$ richtig, man kann jedes $x, y$ und $z$ umordnen, und auch die Terme zwischen den Pluszeichen (Kommutativgesetz)
$3k+12x = 12x+3k$ richtig, Kommutativgesetz
$c-d = c+(-d)$ richtig, Subtraktion kann als Addition geschrieben werden
$c-d = d-c$ falsch, z.B. stimmt nicht für $c=1$ und $d=2$
$c-d = -d+c$ richtig, wir können $c-d=c+(-d)=(-d)+c=-d+c$ schreiben
$c-d = d+(-c)$ falsch, z.B. stimmt nicht für $c=1$ und $d=2$
$za = az$ richtig, Kommutativgesetz
$2x\cdot (-k) = -2xk$ richtig, wir können schreiben $2x\cdot (-k)=2x(-1k)=2x(-1)k=(-1)2xk=-2xk$ . Wir verwenden das Assoziativgesetz (Klammern weglassen) und das Kommutativgesetz.
$-3a\cdot (-2b) = -6ab$ falsch, z.B. stimmt es nicht für $a=1$ und $b=1$
$-3a\cdot (-2b) = 6ab$ richtig, $-3a(-2b)=-3a(-2)b=-3(-2)ab=6ab$ . Wir verwenden das Assoziativgesetz (Klammer weglassen) und das Kommutativgesetz.
$-x\cdot(-y)\cdot(-z) = xyz$ falsch
$-x\cdot(-y)\cdot(-z) = -xyz$ richtig
$3ab\cdot 5c=15abc$ richtig
$4x\cdot 5y \cdot (-x) = 20xy$ falsch
$(-a)(-b)=ab$ richtig

Distributivgesetz

Dieses Gesetz zeigt auf, wie die Klammern in einem Term wie $a(b+c)$ aufgelöst werden können:

\boxed{a(b+c)=ab+ac}

Die Multiplikation verteilt sich über die Addition:

a{\color{red}\cdot}(b+c)=a{\color{red}\cdot} b+a{\color{red}\cdot }c

Zum Beispiel,

$3\cdot (4+5) = 3\cdot 4 + 3\cdot 5$
$2a(x+y) = 2ax+2ay$
$5k(3t+2b) = 5k\cdot 3t+5k\cdot 2b = 15kt+10kb$

Da sich die Addition auf die Subtraktion zurückführen lässt, gilt das Distributivgesetz entsprechend:

a(b-c) = a\cdot \left(b+(-c)\right) = ab+a\cdot(-c) = ab+(-ac)=ab-ac

Wir haben also auch die folgende Regel:

\boxed{a(b-c) = ab-ac}

Zum Beispiel,

$3\cdot (4-5) = 3\cdot 4 - 3\cdot 5$
$2a(x-y) = 2ax-2ay$
$5k(3t-2b) = 5k\cdot 3t-5k\cdot 2b = 15kt-10kb$

Es ist wichtig zu beachten, dass das Distributivgesetz das Multiplikationszeichen über die Addition oder die Subtraktion verteilt, nicht aber über die Multiplikation. Das Folgende ist falsch:

a(bc)=abac \quad \text{FALSCH}!!!

Tatsächlich behandelt das Assoziationsgesetz diesen Fall und sagt uns, wie wir die Klammern loswerden können:

a(bc)=abc \quad \text{RICHTIG}!!!

Ausmultiplizieren und Ausklammern

Wir haben gesehen, dass wir mit dem Distributivgesetz Klammern auflösen können - wir nennen das Ausmultiplizieren. Zum Beispiel

$3(a+b)=3a+3b$
$3(a-b)=3a-3b$

Beim Ausmultiplizieren werden Klammern verloren. Der umgekehrte Prozess, also die Klammern wieder einführen, nennen wir Ausklammern (es ist ein Möglichkeit Faktoren zu bilden, was Faktorzerlegung genannt wird).

Zum Beispiel

$3a+3b=3(a+b)$
$3a-3b=3(a-b)$
$1.5a+2.1a=a(1.5+2.1)=3.6a$

Wie lautet die Regel für das Ausklammern? Wir brauchen zwei Terme, die wir addieren oder subtrahieren, z. B.

3abx+3xc

Dann identifizieren wir die gemeinsamen Zahlen und Variablen in jedem Term

{\color{red}3}ab{\color{red}x}+{{\color{red}3x}}c

und nehmen diese nach vorne:

{{\color{red}3x}}(ab+c)

Eine knifflige Situation tritt im folgenden Fall auf:

{\color{red}3}a+{\color{red}3}

Wenn wir die $3$ nach vorne nehmen und den Rest in Klammern setzen, erhalten wir

{\color{red}3}(a)

Aber das ist natürlich falsch: ${\color{red}3}a+{\color{red}3}\neq {\color{red}3}(a)$ . Nimm zum Beispiel $a=1$ . Was ist also falsch gelaufen? Nun, die $3$ kann als $3\cdot 1$ geschrieben werden, also erhalten wir

{\color{red}3}a+{\color{red}3}={\color{red}3}a+{\color{red}3}\cdot 1={\color{red}3}(a+1)

und dies ist nun korrekt, was sich leicht durch das Erweitern des Terms $3(a+1)$ überprüfen lässt.

Exercise 2

Multipliziere oder klammere aus.

$3b(2k+z)$
$n(3-p)$
$ax-bx$
$-2u(5r-4p)$
$2a-2$
$2ab-xab$
$-(x+2)$
$2+2x$
$2x+2.3x$
$1.6 abc-0.5 abc+0.1 abc$
$\frac{2}{3}a +\frac{1}{5}a$

Solution

$3b(2k+z)=3b2k+3bz=6bk+3bz$
$n(3-p)=n\cdot 3-pn=3n-pn$
$ax-bx=x(a-b)$
$-2u(5r-4p)=-2u5r+2u4p=-10ur+8up$
$2a-2=2(a-1)$
$2ab-xab=ab(2-x)$
$-(x+2)=-x-2$
$2+2x=2\cdot 1+2\cdot x=2(1+x)$
$2x+2.3x=x(2+2.3)=x(4.3)=4.3x$
$1.6 abc-0.5 abc+0.1 abc=abc(1.6-0.5+0.1)=abc(1.2)=1.2\cdot abc$
$\frac{2}{3}a +\frac{1}{5}a= a(\frac{2}{3}+\frac{1}{5})=a\cdot \frac{13}{15}=\frac{13}{15}a$

Ein Minus vor der Klammer

Wenn wir ein Minus vor einer Klammer haben und die Klammer auflösen wollen, dann müssen wir die Plus und Minuszeichen in der Klammer anpassen:

\boxed{-(a+b)=-a-b \quad\text{und}\quad -(a-b)=-a+b}

ersetze in der Klammer alle $+$ durch ein $-$ , und alle $-$ durch $+$ um, und schliesslich
nimm das Minus vor der Klammer und die Klammern weg.

Beispiele:

$-(3x+5y) = -(+3x+5y)=-3x-5y$
$-(9a-2b) = -(+9a-2b)=-9a+2b$
$7k+3b-(2a+4b) = 7k+3b-(+2a+4b)= 7k+3b-2a-4b = 7k-2a-b$
$3x+8y-(x-4y) = 3x+8y-(+x-4y) = 3x+8y-x+4y = 2x+12y$
$-(k-p) = -(+k-p)= -k+p$
$-(-3x-2y) =3x+2y$
$-(12a-9b) = -(+12a-9b) = -12a+9b$

Warum? Versuch eine Erklärung zu finden, und klicke dann rechts.

Show

Wir wissen bereits, dass $-a=-1\cdot a$ . Das Gleiche gilt für Klammern. Ein Minus für die Klammer ist nichts anderes als die Klammer multipliziert mit $-1$ :

-(a+b)=-1\cdot (a+b)

Erweitert man diesen Term, erhalten wir

-(a+b)=-1\cdot a+ -1\cdot b = -a+(-b)=-a-b

und ähnlich

-(a-b)=-a+b=b-a

Exercise 3

Löse die Klammer auf, und vereinfache soweit wie möglich:

$-(w+z)$
$-(2i+3j)$
$-(7k-9s)$
$-(21uv-4x)$
$18p-4d-(3u+2a)$
$9x+2y-(3a-6x)$
$2a-3b-(6b-2a)$

Solution

$-(w+z)=-w-z$
$-(2i+3j)=-2i-3j$
$-(7k-9s)=-7k+9s$
$-(21uv-4x)=-21uv+4x$
$18p-4d-(3u+2a)=18p-4d-3u-2a$
$9x+2y-(3a-6x)=9x+2y-3a+6x=15x+2y-3a$
$2a-3b-(6b-2a)=2a-3b-6b+2a=4a-9b$

Produkte von Summen und Differenzen

Um den Term

(a+b)(c+d)

auszumultiplizieren, gehe wie folgt vor: Bilde alle möglichen Paare von Variablen, wobei eine Variable aus der ersten und die andere aus der zweiten Klammer stammt. Multipliziere diese Variablen, und addiere alles zusammen.

\boxed{(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd}

Wenn es sich um ein Minus handelt, gilt das Vorgehen, aber denke an das Minuszeichen, das an der Variablen hängt:

(a-b)(c+d)=ac+ad-bc-bd

(a+b)(c-d)=ac-ad+bc-bd

(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd

Beispiele:

$(w+x)(y+z) = wy+wz+xy+xz$
$(2p+n)(k+3r) = 2pk+6pr+nk+3nr$
$(4a+3b)(5x+2y) = 20ax+8ay+15bx+6by$
$(a+b+c)(x+y) = ax+bx+cx+ay+by+cy$
$(2r+s)(3w+8q+m) = 6rw+16rq+2rm+3sw+8sq+sm$
$(v-n)(g-q) = vg-vq-ng+nq$
$(7x-2t)(4y-6z) = 28xy-42xz-8ty+12tz$
$(2w-az-4r)(3p-7j) = 6wp-14wj-3azp+7azj-12rp+28rj$

Warum ist das so? Klicke rechts, um eine Erklärung zu sehen.

Show

Wir wollen den Term $(a+b)(c+d)$ multiplizieren. Dazu wenden wir das Distributivgesetz zweimal an

(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=c(a+b)+d(a+b)=ca+cb+da+db=ac+ad+bc+bd

Ähnlich für den Term $(a-b)(c+d)$ : Wir schreiben die Subtraktion als Addition $(a+(-b))(c+d)$ und wenden die obige Regel an. Wir erhalten

(a-b)(c+d)=(a+(-b))(c+d)=ac+ad+(-b)c+(-b)d=ac+ad-bc-bd

Falls es mehr als zwei Terme in Klammern sind, die wir multiplizieren wollen, zum Beispiel

(a+b)(n+k)(x+y)

dann multipliziere zuerst die ersten zwei Klammern aus (oder die letzten zwei)

(a+b)(n+k)(x+y) = (an+ak+bn+bk)(x+y)

und formen dann wiederum alle möglichen Paare, welche addiert werden müssen:

(an+ak+bn+bk)(x+y)=anx+akx+bnx+bkx+any+aky+bny+bky

Exercise 4

Multipliziere aus, und vereinfache so weit wie möglich:

$(d+i)(p+n)$
$(2x+z)(3y+u)$
$(t+s)(p-a)$
$(3z-f)(2e+k)$
$(c-x)(d-y)$
$(3k-2x)(9y-8z)$
$3p(8z+4f)(y-4e)$
$-2i(h-3z)(4t+9a)$
$(q+r)(t+z)(m+v)$
$(2a+u)(e-p)(3x+y)$
$(2a-b)(a+b)$
$-(3x-2y)(x+y)$
Ist diese Gleichung richtig? $(x-y)(a-b)=-(y-x)(b-a)$

Solution

$(d+i)(p+n)=d n + d p + i n + i p$
$(2x+z)(3y+u)=2 u x + u z + 6 x y + 3 y z$
$(t+s)(p-a)=-a s - a t + p s + p t$
$(3z-f)(2e+k)=-f k - 2 f e + 3 k z + 6 e z$
$(c-x)(d-y)=c d - c y - d x + x y$
$(3k-2x)(9y-8z)=27ky-24kz-18xy+16xz$
$3p(8z+4f)(y-4e)=3p(8yz-32ez+4fy-16ef)=24pyz-96pez+12pfy-48pef$
$-2i(h-3z)(4t+9a)=-2i(4ht+9ah-12tz-27az)=-8iht-18iah+24itz+54iaz$
$(q+r)(t+z)(m+v)=(q+r)(m t + m z + t v + v z)=m q t + m q z + m r t + m r z + q t v + q v z + r t v + r v z$
$(2a+u)(e-p)(3x+y)=(2a+u)(-3 p x - p y + 3 e x + e y)=-6 a p x - 2 a p y + 6 e a x + 2 e a y - 3 p u x - p u y + 3 e u x + e u y$
$(2a-b)(a+b)=2a^2+2ab-ab-b^2=2a^2+ab-b^2$
$-(3x-2y)(x+y)=-(3x^2+3xy-2xy-2y^2)=-(3x^2+xy-2y^2) = -3x^2-xy+2y^2$
Ist diese Gleichung richtig? $(x-y)(a-b)=-(y-x)(b-a)$ Nein, die linke Seite ist $(x-y)(a-b)=ax-bx-ay+by$ und die rechte Seite ist $-(y-x)(b-a)=-(by-ay-bx+ax)=-by+ay+bx-ax=-ax+bx+ay-by$ Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite.

Die binomischen Formeln

Erweitert man den Term $(a+b)(c+d)$ für Spezialfälle, erhält man die binomischen Formeln:

\begin{array}{lll} (a+b)^2 & =& (a+b)(a+b) &= & a^2+2ab+b^2 &\quad \text{ 1. binomische Formel}\\ (a-b)^2 & = & (a-b)(a-b) &=& a^2-2ab+b^2& \quad \text{ 2. binomische Formel}\\ && (a+b)(a-b)& =& a^2-b^2 & \quad \text{ 3. binomische Formel} \end{array}

Die binomischen Formeln lassen sich gut in Worte fassen:

"das Quadrat des ersten Summanden, plus das doppelte Produkt beider, plus das Quadrat des zweiten Summanden"
"das Quadrat des ersten Summand, minus das doppelte Produkt beider, plus das Quadrat des zweiten Summanden"
"das Quadrat des ersten Summanden minus das Quadrat des zweiten Summanden".

Die binomischen Formeln erhält man einfach durch das Ausmultiplizieren der Terme:

$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=(a-b)(a-b)=aa-ab-ba+bb=a^2-2ab+b^2$
$(a+b)(a-b)=aa-ab+ba-bb=a^2-b^2$

Beispiele:

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
$(2x+y)^2 =(2x)^2+2\cdot 2xy+y^2 = 4x^2+4xy+y^2$
$(3x+5y)^2 = (3x)^2+2\cdot 3x5y+(5y)^2=9x^2+30xy+25y^2$
$(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$
$(2x-y)^2= (2x)^2-2\cdot 2xy+y^2= 4x^2-4xy+y^2$
$(3x-5y)^2= (3x)^2-2\cdot 3x5y+(5y)^2= 9x^2-30xy+25y^2$
$(x+y)(x-y)= x^2-y^2$
$(2x+y)(2x-y) = (2x)^2-y^2=4x^2-y^2$
$(3x+5y)(3x-5y)= (3x)^2-(5y)^2= 9x^2-25y^2$

Es ist nützlich, die binomischen Formeln auswendig zu kennen, vor allem, wenn es um die Faktorzerlegung eines Terms geht. Schreibe zum Beispiel den Term

s^2+2st+t^2

als das Produkt zweier Faktoren. Da wir wissen, dass dies die 1. binomische Form ist, können wir schreiben

s^2+2st+t^2 =(s+t)^2

Das Schreiben von Termen als Produkt zweier Faktoren ist oft nützlich, um Gleichungen zu lösen oder Brüche zu vereinfachen, wie wir später sehen werden.

Exercise 5

Multipliziere oder klammere aus mit Hilfe der binomischen Formeln:

$(n+p)^2$
$(z-w)^2$
$(3p+q)^2$
$(i-8u)^2$
$(c+d)(c-d)$
$(e-p)(e+p)$
$(5x+y)(5x-y)$
$(m+b)(b-m)$
$x^2+y^2+2xy$
$p^2-2pt+t^2$
$4x^2+y^2+4xy$
$25a^2+36b^2-60ab$
$r^2-t^2$
$64c^2-81d^2$

Solution

$(n+p)^2 = n^2+2np+p^2$
$(z-w)^2=z^2-2zw+w^2$
$(3p+q)^2=(3p)^2+2(3p)q+q^2=9p^2+6pq+q^2$
$(i-8u)^2=i^2-16iu+(8u)^2=i^2-16iu+64u^2$
$(c+d)(c-d)=c^2-d^2$
$(e-p)(e+p)=e^2-p^2$
$(5x+y)(5x-y)=(5x)^2-y^2=25x^2-y^2$
$(m+b)(b-m)=(b+m)(b-m)=b^2-m^2$
$x^2+y^2+2xy=x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$
$p^2-2pt+t^2=(p-t)^2$
$4x^2+y^2+4xy=(2x)^2+4xy+y^2$ . Kandidat: $(2x+y)^2$ . Multipliziere aus um zu überprüfen ... Richtig!
$25a^2+36b^2-60ab=(5a)^2-60ab+(6b)^2$ . Kandidat: $(5a-6b)^2$ . Multipliziere aus um zu überprüfen ... Richtig!
$r^2-t^2=(r-t)(r+t)$
$64c^2-81d^2=(8c)^2-(9d)^2=(8c-9d)(8c+9d)$