Algebraische Notationen

Dies ist grösstenteils eine Wiederholung.

Die Grundoperationen

Beginnen wir mit den vier Grundoperationen:

Addition a+bSummand plus Summand gleich SummeSubtraktion a−bMinuend minus Subtrahend gleich DifferenzMultiplikation a⋅bFaktor mal Faktor gleich ProduktDivision a:bDividend geteilt durch Divisor gleich Quotient\begin{array}{lll} \text{Addition } a+b & \text{Summand plus Summand gleich Summe} \\ \text{Subtraktion } a-b & \text{Minuend minus Subtrahend gleich Differenz} \\ \text{Multiplikation } a\cdot b & \text{Faktor mal Faktor gleich Produkt}\\ \text{Division } a:b & \text{Dividend geteilt durch Divisor gleich Quotient} \end{array}

Nicht so wichtig sind die Begriffe Minuend, Subtrahend, Dividend und Divisor. Die Bedeutung der Begriffe Summand, Faktor, Produkt, Differenz, Summe und Quotient sollte aber bekannt sein.

Gleiche Terme

Wir sagen oft, dass ein Term gleich einem anderen Term ist, oder dass ein Term äquivalent zu einem anderen Term ist. Was wir damit meinen, lässt sich am besten anhand eines Beispiels zeigen. Der Term

a+b−3a+2b−aa+a+1a+b-3a+2b-\frac{a}{a}+a+1

ist tatsächlich gleich dem Term

3b−a3b-a

Wir schreiben dies wie folgt:

a+b−3a+2b−aa+a+1=3b−aa+b-3a+2b-\frac{a}{a}+a+1 = 3b-a

Damit ist gemeint, dass für jede Zahl, die wir für aa und bb verwenden, die beiden Terme denselben Wert besitzen. Wenn wir zum Beispiel a=5a=5 und b=6b=6 einsetzen, erhalten wir für die linke Seite

5+6−3⋅5+2⋅6−55+5+1=135+6-3\cdot 5+2\cdot 6-\frac{5}{5}+5+1=13

und für die rechte Seite erhalten wir ebenfalls

3⋅6−5=133\cdot 6-5=13

Dies muss für jedes Zahlenpaar aa und bb gelten (ausser wir sagen explizit, dass die Gleichheit für bestimmte Zahlenwerte nicht gelten muss).

Example 1

Zeige, dass die Gleichung

x+2y=2x+yx+2y =2x+y

im allgemeinen nicht gilt (daher nicht für alle Zahlen).

Tipp: Finde zwei Zahlen, bei denen sich die linke Seite von der rechten Seite unterscheidet.

Wir schreiben dann x+2y≠2x+yx+2y \neq 2x+y

Notationen für Multiplikation

Es ist sehr wichtig, dass die verschiedenen Schreibweisen von Termen bekannt sind. Es gibt dazu ein paar Regeln oder Konventionen:

  1. Multiplikation mit oder ohne Punkt: Da Variablen immer aus einem Buchstaben bestehen, interpretieren wir abab als das Produkt aus den Variablen aa und bb: ab=a⋅b\boxed{ab=a\cdot b} und ähnlich abc=a⋅b⋅cabc=a\cdot b\cdot c und so weiter. Dies gilt auch, wenn Zahlen beteiligt sind: 3ab=3⋅a⋅b3ab=3\cdot a\cdot b und 2a3b=2⋅a⋅3⋅b2a3b = 2\cdot a\cdot 3\cdot b Beachten, dass wir typischerweise die Zahl vor der Variablen schreiben, also eher 3a3a als a3a3. Typischerweise würden wir auch eher a⋅3a\cdot3 schreiben. Die Schreibweise a3a3 sollte eher nicht gebraucht werden, da sie sehr schnell zu Missverständnissen führen kann (etwa wenn wir eine Variable mit 'a3' bezeichnen würden, was vorkommen kann).
  2. Auch aufeinanderfolgende Klammern werden multipliziert: (−2)(a+b)=(−2)⋅(a+b)(-2)(a+b)=(-2)\cdot (a+b) (a+b)(a−b)=(a+b)⋅(a−b)(a+b)(a-b)=(a+b)\cdot (a-b) und dasselbe gilt für eine Variable oder eine Zahl gefolgt von einer Klammer: 3(a+b)=3⋅(a+b)3(a+b)=3\cdot (a+b) a(a+b)=a⋅(a+b)a(a+b)=a\cdot (a+b)
  3. Multiplikation mit einer negativen Zahl: Das Gleiche gilt für negative Zahlen, wobei wir oft eine Klammer um die negative Zahl bilden, um anzuzeigen, dass das Minuszeichen zur Zahl gehört −2ab=−2⋅a⋅b=(−2)⋅a⋅b-2ab=-2\cdot a\cdot b = (-2)\cdot a\cdot b Wenn eine negative Zahl in der Mitte einer Multiplikation vorkommt, müssen wir Klammern verwenden oder brauchen das Multiplikationszeichen: a(−2)b=a⋅−2⋅ba(-2)b=a\cdot -2\cdot b Wir brauchen die Klammern oder das Multiplikationszeichen, weil a−2ba-2b als Subtraktion a−(2⋅b)a-(2\cdot b) gelesen wird.
  4. Notation für Multiplikation mit 11 und −1-1: Die "1" wird oft weggelassen 1a=a\boxed{1a=a} und −1a=−a\boxed{-1a=-a} Das gilt für Klammern, also 1(a+b)=(a+b)1(a+b)=(a+b) und −1(a+b)=−(a+b)-1(a+b)=-(a+b)