Die Binomialverteilung

Bei einem Binomialexperiment interessiert uns oft die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Anzahl von Erfolgen eintritt. Dies führt zu der Binomialverteilung. Wir führen deshalb eine Abkürzung ein im Kontext von Biniomialepxerimenten:

Definition 1: Binomialverteilung

In einem Biniomialexperiment mit $n$ Repetitionen und Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ definieren wir $N$ als

N=\text{Die Anzahl Erfolge nach $n$ Repetitionen}

und

p(N=k) = \text{Die W'keit für $k$ Erfolge nach $n$ Repetitionen}

Der Einfachheitshalber führen wir noch eine andere Notation ein (die dann auch auf dem Taschenrechner zu finden ist). Diese zeigt explizit die Parameter an:

p(N=k)=\operatorname{binom{\color{red} p}df}(n,p,k)

Die Liste der Wahrscheinlichkeiten $p(N=0), p(N=1), ..., p(N=n)$ wird Binomialverteilung von $N$ genannt. In der Tat steht $binom{\color{red} p}df$ für binomial probability distribution function.

Definition 2: Kumulative Binomialverteilung

Wir verwenden auch die Notation

\begin{array}{lll} p(N\leq k)&=& \text{Die W'keit für höchstens $k$ Erfolge}\\ p(N < k)&=& \text{Die W'keit für weniger $k$ Erfolge}\\ p(N\geq k)&=& \text{Die W'keit für mindestens $k$ Erfolge}\\ p(N > k)&=& \text{Die W'keit für mehr als $k$ Erfolge}\\ p(k \leq N \leq k)&=& \text{Die W'keit für mindestens $k$ und höchstens $l$ Erfolge}\\ p(k < N \leq k)&=& \text{Die W'keit für mehr als $k$ und höchstens $l$ Erfolge}\\ p(k \leq N < k)&=& \text{Die W'keit für mindestens $k$ und weniger als $l$ Erfolge}\\ \end{array}

Beachte, dass wir oben der Kürze halber nicht immer "nach $n$ Repetition" schreiben, obwohl es so gemeint ist. Wieder führen wir noch eine andere Notation ein (die wiederum auf dem Taschenrechner zu finden ist), welche explizit die Parameter $n$ und $p$ enthält:

p(N\leq k)=\operatorname{binom{\color{red} c}df}(n,p,k)

Die Liste der Zahlen $p(N\leq 0), p(N\leq 1),\dots, p(N\leq n)$ wird kumulative Binomialverteilungsfunktion von $N$ genannt. In der Tat steht $binom{\color{red} c}df$ steht für binomial cumulative distribution function. Sowohl $binompdf$ wie auch $binomcdf$ sind auf dem Taschenrechner zu finden.

$N$ wird übrigens auch Wahrscheinlichkeitsvariable genannt. Wieso? $N$ ist ja eine Variable, sie steht für die Anzahl Erfolge, so wie in der Physik $v$ für die Geschwindigkeit steht, oder $F$ für die Kraft. Aber die Werte von $N$ ändert sich zufällig mit jeder Durchführung des Experiments.

Example 1

Gegeben sei ein Binomialexperiment mit $n=4$ Repetitionen und $p=0.3$ Erfolgswahrscheinlicheit. Wir führen das Experiment durch, und bekommen das Ergebnis $EEMM$ (also zwei Erfolge, zwei Misserfolge). Es ist also $N=2$ .

Die Binomialverteilung ist:

$p(N=0)=\operatorname{binom{\color{red} p}df}(4,0.3,0)=0.2401$ ist die W'keit für $0$ Erfolge nach $4$ Reptitionen
$p(N=1)=\operatorname{binom{\color{red} p}df}(4,0.3,1)=0.4116$ ist die W'keit für $1$ Erfolg nach $4$ Reptitionen
$p(N=2)=\operatorname{binom{\color{red} p}df}(4,0.3,2)=0.2646$ ist die W'keit für $2$ Erfolge nach $4$ Reptitionen
$p(N=3)=\operatorname{binom{\color{red} p}df}(4,0.3,3)=0.0756$ ist die W'keit für $3$ Erfolge nach $4$ Reptitionen
$p(N=4)=\operatorname{binom{\color{red} p}df}(4,0.3,4)=0.0081$ ist die W'keit für $4$ Erfolge nach $4$ Reptitionen

Mehr Werte kann $N$ nicht annehmen, da nur $4$ mal repetiert wird. Die kumulative Verteilung ist:

$p(N\leq 0)=\operatorname{binom{\color{red} c}df}(4,0.3,0)=0.2401$ ist die W'keit höchstens $0$ Erfolge nach $4$ Reptitionen
$p(N\leq 1)=\operatorname{binom{\color{red} c}df}(4,0.3,1)=0.6516$ ist die W'keit für höchstens $1$ Erfolg nach $4$ Reptitionen
$p(N \leq 2)=\operatorname{binom{\color{red} c}df}(4,0.3,2)=0.9163$ ist die W'keit für höchstens $2$ Erfolge nach $4$ Reptitionen
$p(N\leq 3)=\operatorname{binom{\color{red} c}df}(4,0.3,3)=0.9919$ ist die W'keit für höchstens $3$ Erfolge nach $4$ Reptitionen
$p(N\leq 4)=\operatorname{binom{\color{red} c}df}(4,0.3,4)=1$ ist die W'keit für höchstens $4$ Erfolge nach $4$ Reptitionen

Beachte, dass wir mit Hilfe des Tachenrechners diese Wahrscheinlichkeiten gerade auch berechnet haben.

Note 1

Beachte im obigen Beispiel, dass

$p(N\leq 0)=p(N=0)=0.2401$ . Es ist immer so, dass $p(N\leq 0)=p(N=0)$ , da $N$ ja nicht kleiner als $0$ werden kann.
$p(N\leq 4)=1$ . Es ist immer so, dass $p(N\leq n)=1$ (bei $n$ Wiederholungen), da die W'keit, höchstens $n$ Erfolge bei $n$ Wiederholungen zu haben, trivialerweise immer eintreffen wird.

Exercise 1

Berechne einige der obigen Wahrscheinlichkeiten in Beispiel 1 mit dem Taschenrechner und überprüfe das Resultat.

Anstatt den Taschenrechner zu benutzen, wollen wir nun eine Formel zur Berechnung von $binompdf$ und $binomcdf$ herleiten. Wir machen dies Anhand eines Beispiels. Eine Münze wird $n=4$ Mal geworfen, und die Wahrscheinlichkeit für Kopf (Erfolg) sei $(K)=0.3$ und $p(Z)=0.7$ . Die Baumdarstellung dieses Experiments ist unten gezeigt.

Wir wollen die Wahrscheinlichkeit

p(N=2)=binompdf(4,0.3,2)

berechnen. Wir wissen bereits aus der Diskussion der Binomialkoeffizienten (oder dem MISSISSIPPI-Problem), dass es

\left(\begin{array}{lll} 4 \\ 2\end{array}\right)=6

solcher Pfade gibt. Woher wissen wir das? Nun, jeder dieser Pfade muss einem Wort mit 4 Buchstaben entsprechen, das aus zwei $K$ und zwei $Z$ besteht (z.B. $KKZZ, ZKZK,\dots$ ), und es gibt

\left(\begin{array}{lll} 4 \\ 2\end{array}\right)

Möglichkeiten, ein solches Wort zu bilden. Aber bitte im obigen Baum nachprüfen!

Da jeder dieser Pfade genau zwei Köpfe und zwei Zahlen hat, ist die Pfadwahrscheinlichkeit eines jeden Pfades

0.3^2\cdot 0.7^2

Die Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten ist also

\begin{array}{lll} p(N=2)&=&binompdf(4,0.3,2)\\ &=&\left(\begin{array}{lll} 4 \\ 2\end{array}\right)\cdot 0.3^2\cdot 0.7^2\\ &=&0.2646 \end{array}

Analog haben wir

\begin{array}{lll} p(N=0)&=&binompdf(4,0.3,0)\\ &=&\left(\begin{array}{lll} 4 \\ 0\end{array}\right)\cdot 0.3^0\cdot 0.3^4\\ &=&0.2401 \end{array}

und

\begin{array}{lll} p(N=1)&=&binompdf(4,0.2,1)\\ &=&\left(\begin{array}{lll} 4 \\ 1\end{array}\right)\cdot 0.2^1\cdot 0.8^3\\ &=&0.4116 \end{array}

Das Muster sollte nun erkennbar sein:

p(N={\color{red} k})=binompdf(4,0.3,{\color{red}k})=\left(\begin{array}{lll} 4 \\ {\color{red} k}\end{array}\right)\cdot 0.3^{{\color{red}k}} \cdot 0.7^{4-{\color{red}k}}

Allgemeiner haben wir:

Theorem 1: Berechnung von p(N=k)=\operatorname{binompdf}(n,p,k)

Gegeben sei eine binomialverteilte Zufallsvariable $N$ mit den Parametern $n$ und $p$ . Es gilt:

\begin{array}{lll} p(N={\color{red} k})&=&binompdf(n,p,{\color{red} k})\\ &=&\left(\begin{array}{lll} n \\ {\color{red} k}\end{array}\right)\cdot p^{\color{red} k}\cdot (1-p)^{n-{\color{red}k}}\end{array}

where ${\color{red}k} =0,1,2,...,n$ .

Kehren wir zurück zum Beispiel mit dem Münzwurf, und berechnen nun die kumulative Wahrscheinlichkeit $p(N\leq 2)$ . Zur Berechnung von

p(N\leq 2)=binomcdf(4,0.2,2)

ist zu beachten, dass erstens $N$ nur die Werte $0,1,2,3,4$ annehmen kann, und zweitens die Ereignisse $N=0$ , $N=1$ , $N=2$ sich paarweise gegenseitig ausschliessen. Wir haben also

\begin{array}{lll} p(N\leq 2)&=&p(N=0 \cup N=1 \cup N=2)\\ &=&p(N=0)+p(N=1)+p(N=2)\\ &=&0.2401+0.4116+0.2646\\ &=& 0.9163 \end{array}

Es gibt leider keine einfache Formel, um die kumulative Wahrscheinlichkeiten einfacher zu berechnen. Wir müssen immer Aufaddieren.

Theorem 2: Berechnung von p(N\leq k)=\operatorname{binomcdf}(n,p,k)

Gegeben sei eine binomialverteilte Zufallsvariable $N$ mit den Parametern $n$ und $p$ . Es gilt:

\begin{array}{lll} p(N\leq {\color{red} k})&=&binomcdf(n,p,{\color{red} k})\\ \end{array}

where ${\color{red}k} =0,1,2,...,n$ .

Note 2

Ohne $binomcdf$ müssten wir das folgende rechnen:

\begin{array}{lll} p(N\leq {\color{red} k})&=& p(N=0)+p(N=1)+\dots +p(N={\color{red} k})\\ &=& binompdf(n,p,0)\\ &=& +binompdf(n,p,1)\\ &=& +\dots\\ &=& +binompdf(n,p,{\color{red} k}) \end{array}

Die Funktion $binomcdf$ auf dem Taschenrechner ist sehr nützlich, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen wie "Anzahl der Köpfe ist gleich oder kleiner als $5$ " zu ermitteln. Sie kann aber auch für Ereignisse wie "mindestens 3 Köpfe", oder "mehr als Köpfe", "Anzahl der Köpfe liegt zwischen $2$ und $10$ ", usw. verwendet werden. Dazu muss man einige Umformungen machen. Siehe die folgende

Exercise 2

Betrachte eine binomialverteilte Zufallsvariable $N$ mit den Parametern $n=9$ und $p=0.2$ . Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des Taschenrechners und $binomcdf$ :

$p(N < 3)$
$p(N>3)$
$p(N\geq 3)$
$p(3<N\leq 7)$
$p(3\leq N\leq 7)$
$p(3\leq N< 7)$
$p(3< N< 7)$

Solution

Ziel ist es, die Wahrscheinlichkeiten so umzuformen, dass wir $binomcdf$ , also $p(N\leq \dots)$ , brauchen können. Dazu helfen die Abbildungen unten. Die blauen Punkte zeigen das Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit wir berechnen wollen. Ein solches Ereignis wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeit aller farbigen Punkte abzüglich der Wahrscheinlichkeit aller roten Punkte addiert wird.

$p(N < 3)=p(N \leq 2)=binomcdf(9,0.2,2)$
$p(N>3)=1-p(N\leq 3)=1-binomcdf(9,0.2,3)$
$p(N\geq 3)=1-p(N\leq 2)=1-binomcdf(9,0.2,2)$
$p(3<N\leq 7)=p(N\leq 7)-p(N\leq 3)=binomcdf(9,0.2,7)- binomcdf(9,0.2,3)$
$p(3\leq N\leq 7)=p(N\leq 7)-p(N\leq 2)=binomcdf(9,0.2,7)- binomcdf(9,0.2,2)$
$p(3\leq N< 7)=p(N\leq 6)-p(N\leq 2)=binomcdf(9,0.2,6)- binomcdf(9,0.2,2)$
$p(3< N< 7)=p(N\leq 6)-p(N\leq 3)=binomcdf(9,0.2,6)- binomcdf(9,0.2,3)$

Exercise 3

Eine Münze ( $p(K)=0.1$ ) wird $10$ mal geworfen. $N$ bezeichnet die Anzahl der Köpfe. Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

$N$ ist gleich $0$ (ohne Taschenrechner)
$N$ ist gleich $10$ (ohne Taschenrechner)
$N$ ist nicht grösser als $5$
$N$ ist kleiner als $5$
$N$ ist mindestens $5$
$N$ ist grösser als $5$
$N$ ist mindestens $2$ und kleiner als $7$
$N$ ist grösser als $2$ und nicht grösser als $7$
$N$ liegt zwischen $2$ und $7$ (einschliesslich Grenzen)
$N$ liegt zwischen $2$ und $7$ (ohne Grenzen)
$N$ ist grösser als $0$ (ohne Taschenrechner)

Solution

Exercise 4

F1

Aus den Krankenhausunterlagen geht hervor, dass von den Patienten, die an einer bestimmten Krankheit leiden, $75\%$ an dieser Krankheit sterben. Sie wählen nach dem Zufallsprinzip $6$ Patienten aus.

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass $4$ wieder gesund werden?
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als $4$ genesen?

F2

Früher hatte jeder Versuch, einen Telefonanruf zu tätigen, eine Erfolgswahrscheinlichkeit von $0.8$ . (Dies hing oft von der Wichtigkeit der Person ab, die den Anruf tätigte, oder von der Neugier der Telefonistin!) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei $10$ Versuchen mindestens $7$ Erfolg haben.

F3

Ein Schütze (mit verbundenen Augen) stellt fest, dass er im Durchschnitt $4$ von $5$ Mal das Ziel trifft. Wenn er vier Schüsse abgibt, wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass

mehr als $2$ Treffer?
mindestens $3$ Fehlschüsse?

F4

In Singapur beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Jungen $0.5215$ , für die eines Mädchens $0.4785$ . Wie hoch ist der Anteil der Familien in Singapur mit genau $6$ Kindern, die mindestens $3$ Jungen haben?

F5

Du wirfst zweimal einen fairen Würfel und bildest die Summe. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $8$ in mehr als der Hälfte der Fälle zustande kommt, wenn man dies $20$ Mal wiederholt?

F6

Eine gezinkte Münze ( $p(H)=0.45$ ) wird $250$ mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für die Beobachtung von

$100$ Kopf.
mindestens $100$ Kopf.
zwischen $104$ und $120$ Kopf (einschliesslich Ränder)
Die Wahrscheinlichkeit für die Beobachtung von mehr als $k$ Köpfen sollte kleiner als $20\%$ sein. Bestimmen Sie $k$ (Sie müssen dies durch Versuch und Irrtum mit Hilfe des Taschenrechners tun).

F7

Überbuchung. Ein Medizinstudiengang ist auf $120$ Studenten begrenzt. Die Erfahrung zeigt, dass $10\%$ der Studenten ihre Bewerbung zurückziehen. Wie viele Bewerbungen können berücksichtigt werden, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass es zu viele Studenten gibt, kleiner als $5\%$ ist? Verwenden Sie auch hier Versuch und Irrtum, um die Lösung zu finden.

F8

Eine voreingenommene Münze mit $p(H)=0.4$ wird $n$ mal geworfen. Finden Sie $n$ so, dass die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen Kopf zu sehen, mindestens $99.99\%$ beträgt.

F9

In einem Dorf haben $44\%$ für Trump und $56\%$ für Biden gestimmt. Sie führen eine Umfrage durch und wählen eine Zufallsstichprobe von Personen aus.

Wenn die Stichprobengrösse $20$ Personen beträgt, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $5$ Personen, aber weniger als $15$ Personen für Biden gestimmt haben?
Sie möchten die Stichprobengrösse so wählen, dass die Stichprobe mindestens einen Biden-Wähler mit einer Wahrscheinlichkeit von $0.999$ oder mehr enthält. Was ist die minimale Stichprobengrösse?
Die Stichprobengrösse soll so gross gewählt werden, dass die Stichprobe mehr als $5$ Biden-Wähler mit einer Wahrscheinlichkeit von $0.999$ oder mehr enthält. Wie gross ist der minimale Stichprobenumfang?

Solution

A1

$N$ ="Anzahl der genesenen Patienten" ist eine binomische RV mit den Parametern $n=6$ und $p=0,25$ .

$p(N=4)=binompdf(6,0.25,4)=\underline{0.032}$
$p(N\leq 4)=binomcdf(6,0.25,4)=\underline{0.995}$ .

A2

$N$ ="Anzahl der Erfolge" ist eine binomialverteilte RV mit den Parametern $n=10$ und $p=0.8$ . $p(N\geq 7)=1-binomcdf(10,0.8,6)=\underline{0.879}$ .

A3

$N$ ="Anzahl der Treffer" ist eine binomische RV mit den Parametern $n=4$ und $p=4/5$ .

$p(N > 2)= 1-binomcdf(4,4/5,2)=\underline{0.8192}$
$p(N\leq 1)=binomcdf(4,4/5,1)=\underline{0.0272}$ .

A4

$N$ ="Anzahl der Jungen" ist eine binomialverteilte RV mit den Parametern $n=6$ und $p=0,5215$ . $p(N\geq 3)=1-binomcdf(6,0.5215,2)=\underline{0.695}$ .

A5

$N$ ="Anzahl der Fälle, in denen die Summe $8$ ist" ist eine binomische RV mit den Parametern $n=20$ und $p=5/36$ (Wahrscheinlichkeit für Summe $8$ ). $p(N>10)=1-binomcdf(20,5/36,10)=\underline{1.8\cdot 10^{-5}}$ .

A6

$N$ ="Anzahl der Köpfe" ist eine binomialverteilte RV mit den Parametern $n=20$ und $p=5/36$

$binompdf(250,0.45,100)=\underline{0.014}$
$1-binomcdf(250,0.45,99)=\underline{0.951}$
$binomcdf(250,0.45,120)-binomcdf(250,0.45,103)=\underline{0.719}$
Finde $k$ mit
$p(N>k)=1-binomcdf(250,0.45,k)<0.2$
Durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner erhalten wir $k=\underline{119}$ .

A7

Binomialexperiment mit Erfolg $S$ ="nicht abgesagt" und Erfolgswahrscheinlichkeit $p=0.9$ . $n$ ist die Anzahl der Bewerber (die Anzahl der Wiederholungen des Bernoulli-Experiments "ein zufällig ausgewählter Bewerber sagt ab oder nicht"). $N$ ="Anzahl der Fälle, in denen eine Bewerbung nicht abgesagt wird" (Anzahl der Erfolge) ist eine binomische RV mit den Parametern $n$ (unknown) und $p=0.9$ .

Finde $n$ so, dass

p(N > 120)<0.05

d.h.

1-binomcdf(n,0.9,120) <0.05

Versuch und Irrtum $\rightarrow n=\underline{127}$ .

A8

$N$ ="Anzahl der Köpfe" ist eine binomische RV mit den Parametern $n$ und $p=0.4$ . Wir müssen $n$ so finden, dass

p(N\geq 1)\geq 0.9999

Aufgrund von $p(N\geq 1)=1-p(N=0)$ müssen wir $n$ finden mit

p(N=0)\leq 0.0001

Finden wir zunächst $n$ mit

p(N=0)=0.0001

Mit

\begin{array}{lll} p(N=0)&=&\left(\begin{array}{lll} n \\ 0\end{array}\right) \cdot 0.4^0\cdot 0.6^n\\ &=& 0.6^n\end{array}

wir müssen also $n$ finden mit

0.6^n = 0.0001

Wenn wir den Logarithmus auf beiden Seiten nehmen, erhalten wir

n\cdot \ln(0.6)=\ln(0.0001)

und somit $n=\frac{\ln(0.0001)}{\ln(0.6)}=18.03$ , also $n=\underline{19}$ .

A9

Es handelt sich um ein Binomialexperiment, bei dem der Erfolg $S$ ="Ausgewählte Person hat für Biden gestimmt" ist, und die Erfolgswahrscheinlichkeit $p(S)=0,56$ beträgt. $n$ ist die Anzahl der Personen in der Stichprobe (die Anzahl der Wiederholungen des Bernoulli-Experiments, d.h. "wähle eine Person aus dem Dorf nach dem Zufallsprinzip aus, die für Biden stimmen wird oder nicht"). Sei $N$ die Anzahl der Erfolge, d.h. die Anzahl der Personen in der Stichprobe, die für Biden stimmen.

$n=20$ ,
$\begin{array}{lll} p(5<N<15)&=&p(N\leq 14)-p(N\leq 5)\\ &=&binomcdf(20,0.56,14)-binomcdf(20,0.56,5)\\ &=&\underline{0.929} \end{array}$
Finde $n$ mit
$p(N\geq 1) =0.999$
Wir können für $n$ lösen:
$\begin{array}{lll} p(N\geq 1)&=&1-p(N<1)\\ &=& 1-p(N=0)\\ &=& 1-\left(\begin{array}{cc}n\\0\end{array}\right) \cdot 0.56^0\cdot 0.44^n \\ &=& 1-0.44^n \end{array}$
Finde also $n$ mit
$\begin{array}{cll} 1-0.44^n &=&0.999\quad\vert +0.44^n, -0.999\\ 0.44^n &=&0.001 \quad\vert \log(.)\\ n\log(0.44)&=&\log(0.001)\quad\vert :\log(0.44)\\ n&=&\frac{\log(0.001)}{\log(0.44)}\\ &=& 8.414 \end{array}$
Es ist also $n=\underline{9}$ .
Finden Sie $n$ mit
$p(N>5)>0.999$
oder
$1-p(N\leq 5) > 0.999$
d.h.
$1-binomcdf(n,0.56,5) > 0.999$
Im Gegensatz zum vorherigen Problem (2) können wir $n$ nicht lösen, denn $binomcdf(n,0.56,5)$ lässt sich nicht auf eine einfache Formel reduzieren, die wir lösen können. Also müssen wir $n$ durch Versuch und Irrtum finden (geben Sie einige Zahlen für $n$ in den Taschenrechner ein). Wir erhalten $n=\underline{23}$ .