Bedingte Wahrscheinlichkeit

Motivation

In der vorhergehenden Aufgabe sehen wir, dass die Astwahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades ändern können, auch wenn das gleiche Ereignis mehrere Male ausgeführt wird ("dreimal rot ziehen ohne zurücklegen"). Das ist dann aber offensichtlich kein Binomialexperiment mehr!

Astwahrscheinlichkeiten sind typischerweise beinflusst von den vorhergehenden Ereignissen ("die Wahrscheinlichkeit, das 2. mal rot ziehen höng davon ab, was beim ersten mal gezogen wurde"). Wir nennen Astwahscheinlichleiten deshalb auch bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Definition 1

Eine Astwahrscheinlichkeit wird auch bedingte Wahrscheinlichkeit genannt. Es ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Ereignis eintritt, falls die Ereignisse im Pfad oberhalb schon eingetroffen sind. Ist AA das Ereigniss oberhalb im Pfad, und BB das Ereignis unterhalb des Asts, so schreiben wir

p(B∣A)p(B|A)

für die Wahrscheinlichkeit, dass BB eintritt, geben, dass AA schon eingetroffen ist. Wir sprechen p(B∣A)p(B|A) aus als p von B gegeben A

Theorem 1

Es gilt immer, dass

Equation 1
p(B∣A)=p(B∩A)p(A)p(B|A)=\frac{p(B\cap A)}{p(A)}

daher, p(B∣A)p(B|A) ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse AA und BB eintreffen, dividiert durch die Wahrscheinlichkeit, dass AA eintrifft.

Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Exercise 1

Gegeben ist eine Schachtel mit 55 schwarzen und 1010 weissen Kugel. Zwei Kugeln werden zufällig gezogen, eine nach der anderen ohne zurücklegen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass

  1. die 2. Kugel weiss ist, gegeben, dass die erste Kugel schwarz ist.

  2. die 1. Kugel weiss ist, gegeben, dass die zweite Kugel weiss ist.

Solution

Dies ist in beiden Fällen eine bedinge Wahrscheinlichleit. Am besten zuerst den Baum zeichnen!

  1. p(2. Kugel weiss∣1. Kugel schwarz)=1014=57p(\text{2. Kugel weiss} \mid \text{1. Kugel schwarz})=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}

  2. Diese bedingte Wahrscheinlichkeit kann nicht direkt vom Baum abgelesen werden, wir müssen also das den Satz anwenden:

    p(1. Kugel weiss∣2. Kugel schwarz)=p(1. Kugel weiss und 2. Kugel schwarz)p(2. Kugel schwarz)=1015⋅5141015⋅514+515⋅415≈0.728\begin{array}{lll} p(\text{1. Kugel weiss} \mid \text{2. Kugel schwarz})&=&\frac{p(\text{1. Kugel weiss und 2. Kugel schwarz})}{p(\text{2. Kugel schwarz})}\\[0.5em] &=& \frac{\frac{10}{15}\cdot\frac{5}{14}}{\frac{10}{15}\cdot\frac{5}{14}+\frac{5}{15}\cdot \frac{4}{15}}\\[0.5 em] &\approx & 0.728 \end{array}