Wendepunkte

Betrachte eine Funktion $f$ und einen Punkt $P(x|y)$ auf dem Graphen von $f$ . Wir erinnern uns, dass $P$ ein lokales Extremum (lokales Maximum oder Minimum) ist, wenn

f'(x)=0\text{ und } f''(x)\neq 0

Die Steigung der Tangente an $P$ wechselt von einer negativen Steigung in eine positive Steigung (lokales Minimum) oder von einer positiven Steigung in eine negative Steigung (lokales Maximum). Die Steigung wechselt also bei $P$ das Vorzeichen. Ausserdem ist die Steigung abnehmend oder zunehmend. Dies wird unten dargestellt.

Wenn sich das Vorzeichen der Steigung bei $P$ nicht ändert, sich aber von zunehmend auf abnehmend oder von abnehmend auf zunehmend ändert, nennen wir $P$ einen Wendepunkt (siehe Abbildung unten).

Aus der Abbildung sehen wir, dass die Wendepunkte in der Mitte der $S$ -artigen Strukturen liegen. Wir sehen auch das Folgende:

Theorem 1

Betrachte eine Funktion $f$ und einen Punkt $P(x|y)$ auf dem Graphen von $f$ . Wir haben Folgendes:

f''(x)=0\text{ und } f'''(x)\neq 0 \rightarrow P \text{ ist ein Wendepunkt}

Falls $f'''(x)=0$ ist, ist eine visuelle Inspektion notwendig, um zu überprüfen, ob $P$ ein Wendepunkt ist.

Beachte, dass ein Wendepunkt kein stationärer Punkt sein muss, da die Tangente an $P$ nicht unbedingt horizontal ist. Wenn dies aber der Fall ist, ist der Wendepunkt ein Sattelpunkt. In der Tat kann man sich einen Wendepunkt als einen Sattelpunkt vorstellen, bei dem das Pferd ausschlägt ... .

Example 1

Angenommen, der Ausgang einer Funktion $f(x)$ ist die Position eines Autos zum Zeitpunkt $x$ (der Input der Funktion). Die Steigung $f'(x)$ ist also die momentane Geschwindigkeit und $f''(x)$ ist die momentane Beschleunigung des Autos zum Zeitpunkt $x$ .

Angenommen, du trittst auf die Bremse, so dass das Auto immer langsamer wird, und zum Zeitpunkt $x=3$ trittst du auf das Gaspedal, so dass das Auto wieder schneller wird. Dann haben wir einen Wendepunkt bei $x=3$ . Man beachte, dass die Beschleunigung des Autos bei $x=3$ null sein muss, da sie vom negativen Wert beim Bremsen (man wird in den Sicherheitsgurt gedrückt) zum positiven Wert beim Betätigen des Gaspedals (man wird in den Sitz gedrückt) wechselt.

Wenn das Auto bei $x=3$ stoppt, haben wir sogar einen Sattelpunkt.

Exercise 1

F1

Finde die Wendepunkte (falls es welche gibt) der Funktion $f(x)=x^3-2x^2+x$ .

F2

Betrachte die Funktion $f(x)=e^{-x^2}$ . Bestimme die stationären Punkte und klassifiziere sie. Finde auch die Wendepunkte.

Solution

A1

Finde $x$ mit $f''(x)=0$ , und prüfe dann, ob $f'''(x)\neq 0$ .

$f'(x)=3x^2-4x+1$
$f''(x)=6x-4$
$f'''(x)=6$

$f''(x)=0\rightarrow 6x-4=0$ , also $x=\frac{2}{3}$ . Da $f'''(\frac{2}{3})=6\neq 0$ ist, folgt, dass es einen Wendepunkt bei $x=\frac{2}{3}$ gibt. Er hat die Koordinaten $\underline{P(\frac{2}{3}|\frac{2}{27})}$ .

A2

Wir beginnen mit den Ableitungen. Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir

f'(x)=e^{-x^2}\cdot (-2x)=-2x e^{-x^2}

Unter Verwendung der Produktregel und der Kettenregel erhalten wir

\begin{array}{lll} f''(x)&=&-2 e^{-x^2}- 2x (-2x e^{-x^2})\\ &=& -2 e^{-x^2} +4x^2 e^{-x^2}\\ &=& 2e^{-x^2}(2x^2-1)\\ \end{array}

\begin{array}{lll} f'''(x)&=&-4x e^{-x^2} (2x^2-1)+8xe^{-x^2}\\ &=&e^{-x^2}(12x-8x^3) \end{array}

Stationäre Punkte: Finde $x$ mit $f'(x)=0$ , d.h.,

-2x e^{-x^2}=0

Da $e^\text{irgendwas}$ niemals $0$ ist, ist die einzige Möglichkeit, dass $x=0$ ist. Wir haben also einen stationären Punkt bei $Q(0|1)$ . Da

f''(0)=2e^0\cdot(0-1)=-2<0

sehen wir, dass $Q$ ein lokales Maximum ist.

Wendepunkte: Finde $x$ mit $f''(x)=0$ , d. h.,

2e^{-x^2}(2x^2-1)=0

Da $e^{-x^2}(2x^2-1) =0$ ist, ist die einzige Möglichkeit $2x^2-1=0$ , woraus folgt, dass

x_1=\sqrt{\frac{1}{2}}=0.707

x_2=-\sqrt{\frac{1}{2}}=-0.707

Eine kurze Rechnung zeigt, dass in beiden Fällen $f'''(x_1)\neq 0$ und $f'''(x_2)\neq 0$ . Damit haben wir die beiden Wendepunkte $P_1(0.707| 0.606)$ und $P_2(-0.707| 0.606)$ gefunden

Example 2

Um eine Intuition für den Wendepunkt zu bekommen, besprechen wir das Beispiel eines Autos, das entlang einer geraden Strasse fährt. Zum Zeitpunkt $t=0$ (Stunden) sei es am Ort $0$ (km). Zu jeder Zeit $t$ befindet sich das Auto an einem Ort $s(t)$ (gemessen vom $0$ Punkt der Strasse). Die Funktion $s(t) ist unten abgebildet.

Die Ableitung von $s$ ist die momentan Geschwindigkeit:

v(t)=s'(t)

Wir sehen dies am besten mit dem Differenzenquotienten: es gilt ja

s'(t)\approx \frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}

und die linke Seite ist die gefahrene Strecke des Autos pro Zeitintervall $\Delta t$ , und dies ist ja gerade die Geschwindigkeit. Momentane Geschwindigkeit daher, weil $\Delta t$ extrem klein gewählt wird. Wir sehen anhand der grafischen Ableitung (Bild unten), dass $v$ die grösste Geschwindigkeit beim Wendepunkt hat. Vorher und nachher ist die Geschwindigkeit kleiner.

Die zweite Ableitung von $s$ ist ja die Ableitung der Geschwindigkeit:

s''(t)=v'(t) \approx \frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}

und wir sollten den rechten Teil als die momentane Beschleunigung erkennen (Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit). Im Bild unten sehen wir, dass sich das Vorzeichen der Beschleunigung beim Wendepunkt ändert.

Stellen wir uns vor, wir pressen das Gaspedal ganz hinunter. Wir beschleunigen stark, und werden immer schneller. Der Luftwiderstand bremst gleichzeitig das Auto stärker ab, so dass die Beschleunigung immer kleiner wird, wir aber trotzdem noch an Geschwindigkeit gewinnen. Nehmen wir den Fuss vom Gaspedal, und wir von einer leichten Vorwärts-Beschleunigung in eine leicht Bremsbeschleunigung, bedingt durch den Luftwiderstand, wechseln. Dies ist der Wendepunkt. Dies Bremsbeschleunigung wird grösser, bis die Geschwindigkeit 0 wird und der Wagen stehen bleibt.

Dieses Beispiel dient auch als Übergang zur Integralrechnung. In der Physik wird gelehrt, dass die Fläche unter der Kurve der Geschwindigkeit gerade der Strecke entspricht, welche das Auto gefahren ist (siehe Bild unten). Integralrechnung ist genau das: die Berechnung von Flächen mit gekrümmten Rändern.